ilin2 (947409), страница 3
Текст из файла (страница 3)
!. Чяслояые ряды р»~ср»'. (1.15) где с — любая положительная постоянная. В самом деле, в силу замечания 2 из п. 1 $1 вопрос о сходи- мости ряда Е р' эквивалентен вопросу о сходимости ряда й-1 ~~~ (ср„'). При этом, конечно, можно требовать, чтобы неравенство (1.15) было выполнено лишь начиная с некоторого достаточно большого номера я. Следствие из теоремы 1,3. Если )„р — ряд с неотй-1 рицательными членами, 1 р„' — ряд со строго положительными й-1 членами и если суисествует хо>сенный предел !1ш — '", =Е, й О Р>, р„' влечет за собой сходимость ряда » ! ряда 21„(р» влечет за собой расходимость то сходимость ряда Я р», расходимость »=! О ряда ~с' р' й-1 Доказательство. Так как 1пп — »ОО1., то по определеРй йы Р» найдется номер Л> такой, что нию предела для некоторого з>0 при >с)У Рй+1 Р»+1 — <— Р» , Рй (1.
16» Š— е( сй ч. Е+е. Р» Следовательно, при й)У справедливо неравенство р»((Е+е)р»'. Последнее неравенство совпадает с йеравенством (1.15) при с= Е+а. В силу замечания 2 к теореме 1.3 следствие доказано. О О Теорема 1.4, Пусть Я р» и ~с„р' — два ряда со строго пой-1 » 1 ложительными членами. Пусть далее для всех номеров й справедливо неравенство $2, Ряды с неотрицательными членами 0 Тогда сходимость ряда ~, р' влечет за собой сходимость ряда »=! р„, расходимость ряда ~„ р» влечет за собой расходимость »=! »-! О ряда ~' р».
»-! Доказательство. Запишем неравенство (1.16) для Ь=1, 2, ..., я — 1, где и — любой номер: Р, Р2 — <— » Р! Ра Ра Рп Рп «( Р л †! Рл — ! Перемножая почленно все написанные неравенства, получим — «( —,, или р„«( —, р„'. Р» Рл Р! Р! Р! Р! Поскольку в последнем, неравенстве величина с=р!/р!' представляет собой положительную постоянную, не зависящую от номера а, то в силу замечания 2 к теореме 1.3 теорема 1.4 доказана. 3 а меча ни е к теореме 1.4. В условии теоремы 1.4 можно требовать, чтобы неравенство (1.16) было выполнено не для всех номеров Й, а лишь начиная с некоторого номера я (см.
замечание 2 п. 1ф1). Обе доказанные в настоящем пункте теоремы называют теоремами сравнения или признаками сравнения. П р и м е р ы. 1'. Исследуем вопрос о сходимости ряда 1 где Ь)0. »=! Если Ь(1, то А-й член рассматриваемого ряда не стремится к нулю при й-!-со. Следовательно, нарушено необходимое условие сходимости ряда, и ряд расходится. Если же Ь> 1, то, поскольку для любого номера й справедливо неравенство 1 1 2+ Ь» Ь» Гл. 1. Числовые ряды 1б и ряд ~ — сходится, теорема сравнения 1.3 позволяет утверж- 1 2~ Ьа а-! дать сходимость рассматриваемого ряда. 2'.
Исследуем вопрос о сходимости для любого а(1 следующего ряда: 1 1 1 — =1+ — +...+ — +.. Е йв 2" йо Ь-1 (1.17'р Этот ряд часто называют обобщенным гармоническим рядом. Поскольку при а(1 для любого номера )а справедливо неравенство ! ! — >— йа ~~, да=!)+да+... +г("+..., )д)( 1, (1.187 а-! или с расходящимся рядом Я 1=1+1+... +1... а ! (1.19) Теорема 1.5 (прнзнак Даламбера) 41. 1.
Если для всех номеров й, по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо неравенство " Расходимость гармонического ряда обоснована в конце и. 2 $ 1. и Жак Лероя Лаламбвр — французский математик н философ (1717— 1733). и гармонический ряд ~' — расходится '), то теорема сравнения 1 х'.г й 1.3 позволяет утверждать расходимость ряда (1.17) для любого а- 1. 3. Признаки Даламбера и Коши. К признакам сравнения непосредственно примыкают два весьма употребительных признака сходимости рядов с положительными членами — признаки Даламбера и Коши, которые основаны на сравнении рассматриваемого ряда с рядом, составленным из элементов геометрической прогрессии, а именно со сходящимся рядом $2.
ряды с неотрицательными членами (1.20) Р пго ряд ~!~1 р» сходится (расходится). » ! П. Если существует предел р»+, р»+1 — < —, Р» р» (1.22). Так как ряд г р„', совпадающий с рядом (1.18) ((1.19)), схо»=! дится (расходнтся), то неравенство (1.22) на основании теоремы сравнения 1.4 гарантирует сходнмость (расходимость) ряда ~ р» »=! Теорема 1 доказана. 2) Докажем теперь теорему 11. Если 1<1, то найдется положительное число е такое, что Ь= 1 — 2е, т.
е. Е+е= 1 — е. По определению предела последовательности для указанного е найдется номер У такой, что при Й)й! Š— в( ( 1+а=1 — е. р»+! Р» Число Ь+е=1 — е играет роль д в теореме 1. Ряд сходится. Если же Е>1, то найдется положительное число е такое, что А=1+в и Ь вЂ” е=1. В этом случае на основании левого из неравенств (1.23) получим '! Прн атом, конечно, предполагается, что все члены ряда (по крайней мере начиная с некоторого номера) строго положктельны.
11п! +' =Е, (1.21) »Ф р» пю ряд ~~1~~р» сходится при Ь<1 и расходится при Ь>1. » 1 Теорему П обычно называют признаком Даламбера в предельной форме. В этой форме он наиболее часто используется. Доказательство. Докажем отдельно теоремы 1 и 11. 1) Для доказательства теоремы 1 положим р»'=д» (р»'=1). р»+! ~ р»+, Тогда —,— =д, где д( 1 —,— = 1, и мы можем переписать р» равенство (1.20) в виде Гл. 1. Числовые ряды 18 — ) Š— е=1 (при й)У). р»+! Р» (1.24) также Е=1, но этот ряд, как будет показано в следующем пункте, сходится. Теорема 1.6 (признак Коши).
1. Если для всех номеров й, по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо нера- венство 'р»<у(1 (М>1), то ряд ~'„р» сходится (расходится). »=! 11. Если существует предел (1.25) » 1пп у' р» = Е, » о (1.26) то ряд 2 р» сходится при Ь<1 и расходится при Ь>1.
»-! Теорему П обычно называют признаком Коши в п р е д.е л ьной фар ме. Доказательство. Докажем отдельно теоремы 1 и 11. Ряд Я р» расходится на основании теоремы 1. Теорема !.5 полностью доказана. Замечание к теореме 1.5. 1) Обратим внимание на то, что в теореме 1.5 (1) неравенство +' ~<в( 1 (для всех й, р» р»+! начиная с некоторого) нельзя заменить на — ( 1.
Р» В самом деле, как доказано выше, гармонический ряд (1.13) р»--!» расходится, но для этого ряда — = — ( 1 (для всех номер»»+! ров й). 2) Если в условиях теоремы 1.5 (11) Е=1, то нельзя сказать ничего определенного о сходимости ряда (т. е. при Е=1 признак Даламбера «не действует»). В самом деле, для гармонического ряда (1.13) Е=1, причем этот ряд, как мы знаем, расходится. Вместе с тем для ряда й 2. Ряды с неотрицательными членами 1) Для доказательства теоремы 1 положим Ре'=д" (ре'=1). Тогда из неравенства (1.25) получим Ребре (Ра~Ре ).
(1.27) Так как ряд Я Р', совпадающий с рядом (1.18) ((1.19)), сходите-~ ся (расходится), то неравенство (1.27) на основании теоремы сравнения 1.3 гарантирует сходнмость (расходимость) ряда ~'„ Ре. ТеоРема 1.6 (1) доказана. и-1 6 л 1 (1.ЗО) 2) Для доказательства теоремы (П) следует дословно повторить схему' доказательства теоремы 1.5 (П), заменив во всех Ра~,, е рассуждениях на р'Рм Теорема 1 6 полностью доказана. Рд Замечания к теореме 1.6.
1) Как и в теореме 1.5 (1)„ в теореме 1.6 (1) неравенство ~/Ра<д(1 нельзя заменить на У РьС 1. 2) При Ь=1 признак Коши в предельной форме «не действует». Можно сослаться на два примера, указанные в соответствующем замечании к признаку Даламбера. Примеры. 1'. Исследуем вопрос о сходнмости ряда Е (Ух)' (!.28) и ь-! Применим признак Даламбера в предельной форме. Имеем и ' р, (а+11~(у'Х)' )'ь-~. ~ ', На основании (1.29) 1пп 1нп11+ — 1 =О )/е=О< 1. ъ+Ф~+1йиРтй / т. е. зпяд (1.28) сходится. 2 . Изучим вопрос о сходимости ряда Гл.
1. Числовые ряды Применим признак Коши в предельной форме. Имеем ь — 1 ь 'г' Рь= — г' ге. 2 (1.31) ь — 1 . ь,— На основании и (1.31) 1пп )г~рь = — (пп й = — ( 1. Таким ь ~ 2 ь с 2 бравом, признак Коши устанавливает сходимость ряда (1.30). Возникает вопрос о том, какой из двух признаков, Даламбера или Коши, является более сильным. Проанализируем этот вопрос в отношениипризнаков Даламбера и Коши, взятых в предельной форме. Ниже будет доказано, что из существования предела (1.21) вытекают существование предела (1.26) и факт равенства этих пределов. Обратное неверно.
В самом деле, легко убедиться в том, что для ряда О Е ( — 1)ь+ 3 2" гг Ь-1 (1.32) предел (1.26) существует и равен 1гг2, в то время как предел (1.21) вообще не существует. Таким образом, признак Коши является более сильным, чем признак Даламбера, ибо всякий раз, когда действует признак Даламбера, действует и признак Коши и вместе с тем существуют ряды (например, ряд (1.32)), для которых действует признак Коши и не действует признак Даламбера.
Несмотря на это, признак Даламбера на практике употребляется чаще, чем признак Коши. Итак, докажем Утверждение. Из существования равного Ь предела (1.21) вытекает существование равного тому же Е предела (1.26) . Доказательству утверждения предпошлем две леммы. Лемма 1. Если последовательность (а„) сходится к пределу 1, то к тому же пределу сходится и последовательность о„= =(а,+а,+,,+а )(п средних арифметических чисел а„аы...,а . Доказательство. Так как последовательность (а„) сходится к пределу 1, то для любого е>0 можно фиксировать номер 1(т такой, что ~)а — 1~ <е/2 для всех и 1)1. Используя этот факт и учитывая, что при всех п>й( (и, — 1)+...
+ (п„— 1) и Для вычисления 1пп хих следует прологерифмировить выражение х-~+ ю хЧ и применить привила Лопиталя. 5 2. Ряды с неотрицательными членами 21 (н! — ))+ +(нн — 0 1 ((нн+! — 0+ . +(н» вЂ” ()1 н и мы получим, что )໠— Ц (е при всех и:ь-)т'!. В самом деле, модуль дроби, заключенной в фигурные скобе (н — У) ки, не превосходит числа — —, меньшего е/2. Далее, 2 и поскольку номер й( фиксирован, модуль дроби, заключенной в квадратные скобки, ие превосходит е/2 при всех и)/т'„где Ь/! — достаточно большое число.
Лемма доказана. Л е м м а 2. Если последовательность положительных чисел (а„) сходится к пределу Ь, то к тому же пределу сходится и последовательность Ь„= )т а,ая... а„средних геометрических кисел а!, ая, ..., а,. Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу непрерывности логарифмической функции для Ь 01пп 1па„= » а =1пЬ. Но тогда по лемме 1 о пределе среднего арифметического существует предел » е» »» н Из последнего равенства в силу непрерывности показательной функции получим »т 1пп у' а~а~...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
