ilin2 (947409), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Так как при любом расположении точек х' и х" на сегменте [хл ь хл) справедливо неравенство [(' (х') — Р (х") Р=от 0 ). то из (2.41) получим $4, почлениое интегрирование и почленное дифференцирование 89 тельности точек (хр') и (хр") (р=-1, 2,...) сегмента [хь ь хь] такие, что 1(гпх' =гИь, 111п х =ать. Ф с В силу (2,42) для любого номера р ]~(х') — 7(х )] ~(юь(7'„)+— (2.43) / '] )„(х) г(х — ~ ) (х) г[х] е. е.
Но это вытекает из того, что в силу равномерной сходимости ц„(х)) к 1(х) на сегменте [а, Ь] существует номер Л/(е) такой, что для всех х из сегмента [а, Ь] и для всех номеров и, удовлетворяющих условию п)Ь (е), ]7'„(х) — 1(х)] ( 2 (Ь вЂ” а) Из неравенства (2.44) и из известных оценок из теории определенного интеграла ю получим (2.44) ю Имеются в виду следующие установлеаные в и. 2 $4 гл. 9 ч.
1 оценки: 1) если г(х) интегрируема на [а, Ь), то и [г(х) [ интегрируема на [и, Ь[, приь ь чем ~ ] Р(х) ох]ч ) [г" (х)[г(х; 2) если 1(х) и Ь((х) интегрнруемы на сегмен- ь ь те [о, ь[ и всюду на этом сегменте [(х)~а(х), то ] 1(х) ых< ] й(х)пх. а ч Переходя в неравенстве (2.43) к пределу при р-гоо и замечая, что предел левой части (2.43) равен ̄— гпь=юь(1), получим в пределе из (2АЗ) требуемое неравенство (2.38).
Таким образом, доказательство интегрируемости предельной функции )(х) на сегменте ]а, Ь] завершено. Заметим, что если бы мы в условиях теоремы 2.8 дополнительно потребовали непрерывности каждой функции )„(х) на сегменте [а, Ь] (что делается в большинстве учебников по математическому анализу), то доказательство интегрируемостй предельной функции ]'(х) на сегменте [а, Ь] стало бы совсем тривиальным: в силу следствия 2 из теоремы 2.7 при таком дополнительном требовании предельная функция [(х) являлась бы непрерывной на сегменте [а, Ь], а потому и интегрируемой на этом сегменте.
Остается доказать второе утверждение теоремы 2.8 о том, что интегрирование последовательности (1„(х)] на сегменте [а, Ь] можно производить почленно. Достаточно доказать, что для любого е>О найдется номер Лг(е) такой, что для всех п)Лг(е) ь ь 90 Гл. 2. а!уикциональные послеловвтельностн и ряды ь ь ь ! ] у„(х) йх — ~ ) (х) йх ~ = / ~ [у„(х) — ) (х)] йх ! < а а а ь ь ч, '] [)„(х) — )"'(х)[ йх < ') йх= — «, и.
2(Ь вЂ” а) ! 2 Доказательство теоремы 2.8 полностью завершено. Приведем формулировку теоремы 2.8 в терминах функциональных рядов: Теорема 2.8*. Если функциональный ряд и» (х) »=1 сходится к своей сумме 8(х) равномерно на сегменте [а, Ь] и если каждый член этого ряда и»(х) представляет собой функцию, интегрируемую на сегменте [а, Ь], то и сумма 5(х) интегрируема на сегменте [а, Ь], причем указанный ряд можно интегрировать на сегменте [а, Ь] почле ни о, т. е. можно утверждать, что числовой ряд ь ),' ] и»(х)йл » ! а ь сходится и имеет своей суммой ] Я(х) дх.
а 3 а меч а ние. В следующей главе будет указан аналог теоремы 2.8 (см. теорему 3.9) для случая, когда функциональнан последовательность определена и интегрируема в некоторой области т-мерного евклидова пространства Е'" (при т)2). 2. Почленное дифференцирование. В дальнейшем под словами «функция )'(х) имеет производную на сегменте [а, Ь]» мы будем подразумевать, что функция 1(х) имеет обычную (двустороннюю) производную в любой внутренней точке сегмента [а, Ь], правую производную Г'(а+0) в точке а и левую производную )'(Ь вЂ” О) в точке Ь. Теорема 2.9.
Если каждая функция )"„(х) имеет производную на сегменте [а, Ь], причем последовательность производных сходится равномерно на сегменте [а, Ь], а сама последовательность ([„(х)) сходится хотя бы в одной точке хо сегмента [а, Ь], то последовательность ()„(х)) сходится к некоторой предельной функции )(х) равномерно на сегменте [а, Ь], причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте [а, Ь] и о«лен но, т.
е, всюду на сегменте [а, Ь] предельная функция й 4. Почленное интегрирование и почленное дифференннрование 91 имеет производную о> /'(х), являющуюся предельной функцией последовательности (/„'(х)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала, что последовательность (/„(х)) сходится равномерно на сегменте [а, Ь]. Из сходи- мости числовой последовательности (/„(хо)) и из равномерной на сегменте [а, Ь] сходимостн (/„'(х)) следует, что для любого е>0 найдется номер Лт(е) такой, что ]/л+р(хо) — /л(хо)] < —, ]/лер(х) — /л(х)] < (2.45) 2 ' 2 (Ь вЂ” а) для всех и'-:)т'(е), всех натуральных р и для всех х из сегмента [а, Ь]. Пусть х — произвольная точка сегмента [а, Ь].
Так как для функции [/„+я(Ь) — /„(/)] прн любых фиксированных номерах и и р выполнены на сегменте, ограниченном точками х и х„ все условия теоремы Лагранжа, то между х и хо найдется точка в такая, что [/л+, (х) — /, (х)] — [/л+л(Хо) — /л (хо)] = [/л+л Й) — /л ($)] (Х вЂ” хо). Из этого равенства н из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим, учитывая (2.45) и неравенство ]х — х,] Ь вЂ” а, что ]/„4р (х) — /„(х) ] <е, (для любого х нз [а, Ь], для любого п>йг(е) и любого натурального р). Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность (/„(х)) сходится равномерно на сегменте [а, Ь] к некоторой предельной функции /(х).
Остается доказать, что эта предельная функция в л ю б о й фиксированной точке х сегмента [а, Ь] имеет производную (в граничных точках одностороннюю производную) и эта производная является предельной функцией последовательности (/„'(х)). Фиксируем пронзвольяую точку х сегмента [а, Ь] и по ней 6>0 такое, чтобы 6-окрестность точки х целиком содержалась в [а, Ь] (в случае, если х является граничной точкой сегмента [а, Ь] под 6-окрестностью точки х будем подразумевать правую полуокрестность [а, а+ 6) точки а н левую полуокрестность (Ь вЂ” 6, Ь] точки Ь). Обозначим символом (Лх) множество всех чисел Лх, удовле.творяющих условию 0<]Лх]<6 при а<х<Ь, условию 0<Лх<6 при х=а и условию — 6<Лх<0 при х=Ь, и докажем, что последовательность функций аргумента Лх ч В граничных точках (л, Ь) имеется в виду односторонняя производная.
Гл. 2. Функциональные последовательности н ряды 92 рл (х + Лх) !л (х) тра( и) = Лх (2.46) сходится равномерно на указанном множестве (Лх). Для произвольного е)О в силу критерия Коши равномерной сходимости последовательности ()„'(х)) найдется номер )у'(е) такой, что 11 ля р (х + Лх) — !е (х + Лх)] — !!л, р (х) — !л (хй = ~, ьл (х+ ОЛх) — р„(х+ ОЛх). Используя обозначение (2.46), последнее равенство можно переписать в виде ср ~ (Лх) — <р (Лх) =7„рл(х+ОЛх) — тел(и+ ОЛх). Из этого равенства и из (2.47) заключаем, что ] ~~„н р (Лх) — ~р„(Лх) ] <е для любого Лх из (Лх), любого п)М(е) и любого натурального р.
В силу критерия Коши (т. е. теоремы 2.1) последовательность (~рн(Лх)) сходится равномерно на множестве (Лх). Но тогда к этой последовательности можно применить теорему 2.7 о почленном предельном переходе в точке Лх=О (в терминах функциональных последовательностей). Согласно этой теореме функция !(х+ Лх) — /(х) Лх являющаяся предельной функцией последовательности (2.46), имеет предел в точке Лх=О, причем этот предел' можно вычислять почленно, т. е. 1!гп !( +Лх) !(~) =1!т (11 р„(Л ))= л о Лх Лх .О л-ее =]пп !]пп ~р„(Лх)) = — 1нп ]1!пт " + ' " 1=1!щ 7„(х). ° л* о л [л о Лх л-ее ]7.+,(.) — 7.(.и С. (2.47) для всех х нз [а, Ь), всех л> Л)(е) и всех натуральных р. Фиксируем теперь произвольное Лх из множества (Лх) и при любых фиксированных номерах а и р применим к функции У е (!) — ! (!)1 по сегменту, ограниченному точками х и х+Лх, теорему Лагранжа.
Согласно этой теореме найдется число 0 из интервала О< <0<1 такое, что з 4. Почленное интегрирование и цочленное дифференцирование 9З Это и доказывает, что производная предельной функции [(х) в точке х существует и равна 1йп 7"„(х). Теорема доказана. и ь В терминах функциональных рядов теорема 2.9 формулируется так: Теорема 2.9*. Если каждая функция ид(х) имеет производ- О ную на сегменте [а, Ь] и если ряд из производных у и' (х) 1=1 С сходится равномерно на сегменте [а, Ь], а сам ряд у иа(х) схоФ=! дится хотя бы в одной точке ха сегмента [а, Ь], то этот последний ряд сходится равномерно на сегменте [а, Ь] к некоторой сумме Я(х), причем этот ряд можно дифференцировать на сегменте [а, Ь) почленно, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
