ilin2 (947409), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2. Функциональные последовательности и ряды Таким образом, коэффициенты степенного ряда (2.61), в который может быть разложена функция !(х), однозначно определяются формулой (2.66). Предположим теперь, что функция 1(х) имеет на интервале ( — тт, +1т) непрерывные производные любого порядка. Определение 2. Степенной ряд (2.61), коэффициенты которого определяются формулой (2.66), называется рядом Тейлора функции 1(х). Утверждение 2 приводит нас к следующему утверждению. Утверждение 3. Если функция 1(х) может быть разложена на интервале ( — К, +й) в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора фуйкции ((х). Из результатов $ 8 гл.
6 ч. 1 непосредственно вытекает следующее Утв е р ж де н и е 4. Для того чтобы функция ! (х) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале ( — 1т, +)т) (на множестве (х)), необходимо и достаточно, чтобы остаточнь!й член в формуле Маклорена для этой функции стремился к нулю на указанном интервале (укаэанном множестве). 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. В ч. 1 (см.
п. 2 $ 9 гл. 6) доказано, что остаточные члены в формуле Маклорена для функций е", созх и з!пх стремятся к нулю на всей числовой прямой, а остаточный член в формуле Маклорена для функции 1п(1+х) стремится к нулю на полусегменте — 1<х ~1. В силу утверждения 4 из предыдущего пункта это приводит нас к следующим разложениям: О х" е'=1+ аэ — ° п! в ! О Ч ! ( !)ьхеь созх=1+ ~„— (2п) ! и 1 Е ( — 1)"х'"е' з(их (2п+ 1)! -о ( 1)ля!хи 1п(1+ х) и Первые три нз этих разложений сходятся для всех значений х, а последнее — для значений х из полусегмента — 1(х~1. Остановимся теперь на разложении в степенной ряд функции (1+х), нли на так называемом биномиальном ряде.
Если ! (х) = (1+х) '*, то 109 $7. Разложение функций в степенные ряды 11»1(х) =а(а — 1) (а — 2)... (а — и+1) (1+х)" —" Поэтому формула Маклорена с остаточным членом в форме Ко* ши имеет вид (см. $8 гл, 6 ч, 1) (1 + х)" 1 + ~~1~~ ( )( ) " '( + ) х' + )с ).1(х), (2.67) И й-! где Х(„+, (х) = ) х"+'71»+'1 (Ох) = п1 )" х»+1а(а 1)(а — 2)... (а — п)(1+Ох)о н( 1 — 0 1~ (а — 1) (сс — 2) ... (а — н) а(1+Ох)а 1 „+1 (2 68) ( ) 1+ Ех/ и (1+х)а 1+ ~~~ ( )( ) '''( + ) х".
(2.69) й1 й 1 Докажем теперь, что при а)0 ряд, стоящий в правой части (2.69), равномерно сходится к функции (1+х) на замкнутом сегменте — 1(х<1. Всюду на указанном сегменте этот ряд мажорируется числовым рядом О Е (и( (1 — а( ....)й — ! — а( й( Ф-1 (2.70) ,(Π— некоторое число из интервала 0<0<1). Сначала убедимся в том, что при а)0 всюду на интервале — 1<х<1 остаточный член )7„+1(х) стремится к нулю (при п-тоо).
/ 1 — 01»1 В самом деле, все члены последовательности ~1+0.1 1 всюду на указанном интервале не превосходят единицы; последо(а — 1)(а — 2) ... (а — и) 1 вательность ~ ''' ~ ограничена, а число а(1+' п1 +8х)" ' определено при любом фиксированном а)0 и при любом х из интервала — 1<х<1; наконец, последовательность (х»+') является бесконечно малой для любого х из интервала — 1<х<1. Таким образом, в силу (2.68) остаточный член )т„+~(х)' стре.
мится к нулю для любого фиксированного а)0 и любого х из ин. терзала — 1<х<1. Следовательно, в силу (2.67) при а)0 всюду на интервале — 1<х<1 справедливо разложение ио Гл, 2, Функциональные последонательностн и ряды переносятся теоремы 2.13 и 2.14 (о существовании и величине радиуса сходимости). Ряды такого типа используются для определения функций комплексной переменной г. Функции е', сонг и з!пг комплексной переменной г определяются как суммы следующих рядов: ч! ае а*=1+ л! и ! (2.?2) ч'Ч ( ! )лаял сонг=1+ ~ е (2л)! я 1 (2. 73) В силу признака Вейерштрасса для установления равномерной на сегменте — 1«х(1 сходимости ряда, стоящего в правой части (2.69), достаточно доказать сходимость мажорирующего ряда (2.70). Обозначим л-й член ряда (2.70) символом рь.
Тогда для всех достаточно больших Й получим Ры! л а 1 (+о (2 "1) р, ь+! л+! Из формулы (2.71) вытекает, что 11!и й (1 — Р'"' ) = (1+ а) 1нп = (1 + а) > 1, л а~ ю Рь а „ь-1-! т. е. ряд (2.70) сходится в силу признака Раабе (см. п. 5 $2 гл. 1). Таким образом, доказано, что при а>0 ряд, стоящий в правой части (2.69), сходится равномерно на сегменте — 1(х~1.
Остается доказать, что указанный ряд сходится на сегменте -1~хе:1 к функции (1+х)". В силу доказанного выше сумма указанного ряда 5(х) и функция (1+х)" совпадают всюду на интервале -1<х<1. Кроме того, обе функции 5(х) и (1+х)" непрерывны на сегменте -1е,х~1 (функция 5(х) как сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций; непрерывность функции (1+х) при а)0 очевидна). Но тогда значения 5(х) и (1+х) в точках х=-1 и я=1 обязаны совпадать, т, е.
ряд, стоящий в правой части (2.69), равномерно сходится к (1+х)" на замкнутом сегменте — ! <х~ <1. 3. Элементарные представления о функциях кемплексной переменной. Выше отмечалось, что на случай степенного ряда относительно комплексной переменной г ао+а!г+аагт+...+а„.а +... й 7. Разложение функций в степенные рнды ( 1)азтвы з1п г = (2н+ 1)! -Х в=в (2.74) Легко проверить, что эти ряды абсолютно сходятся для всех значений г (их радиус сходнмостн )с=со).
Установим теперь связь между функциями е', сонг и з)пг. Заменяя в формуле (2.72) г на 1г, получим ее*=1+ 'г+ (") + (") + (") + (") +... = 2! 3! Ы 51 ат ат . / а' з' (1 — — + — —...) +1 ~г — — + — —...). (2.75) 2! 4! ) ~ 3! 51 еи 1 в-1х созх= (2.77) е1т е-1т збпх= В заключение остановимся на определении логарифмической функции и=!па комплексной переменной г. Эту функцию естественно определить как функцию, обратную показательной, т. е. из соотношения г=е'".
Полагая в=и+то, г=х+ту, поставим перед собой цель — выразить и и о через г=х+ту. Из соотношения г=х+1у=ев+1е=ев'(соз и+1 з)п и) получим, используя понятия модуля и аргумента комплексного числа, 1г( ~/ха+у'=е", агин=о — 2пй, Сопоставляя правую часть равенства (2.75) с разложениями (2.73) и (2.74), придем к следующей замечательной формуле: ем=сон г+1 з1п г.
(2.76) Формула (2.76) играет фундаментальную роль в теории функций комплексной переменной и называется формулой Эйлер а. Полагая в формуле Эйлера переменную г равной сначала вещественному числу х, а затем вещественному числу — х, по» лучим следующие формулы ез"=сон х+1 гйп х, е — "=сон х — та)п х. Складывая и вычитая эти формулы, получим формулы, выра.
жающие сон х и з)их через показательную функцию: Гл, 2. Функциональные последовательности и рады Пй где й=О, +.1, ~2, Из последних равенств находим, что и=1п[г[ =!и)'х*+ у', о=агдг+2пй (й=О, .+1, .ь2, ...), или окончательно 1пг=!п]г]+1(агйг+2пй), где я=О, +.1, .ь2, ... (278) Формула (2.78) показывает, что логарифмическая функция в комплексной области не является однозначной: ее мнимая часть для одного и того же значения г имеет бесчисленное множество значений, отвечающих различным я=О, ь1, ч 2, ... Легко понять, что аналогичная ситуация будет иметь место н при определении в комплексной области обратных тригонометрических функций.
4. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непре- рывной функции многочленамн. Теорема 2.18 (теорема Вейерштрасса) ">. Если функция [(х) непрерывна на сегменте [а, Ь], то существует последовательность многочленов (Р„(х)], равномерно на сегменте [а, Ь] сходящаяся к 1(х), т. е. для любого е>0 найдется многочлен Р„(х) с номером и, зависящим от е, такой, что ]Р„(х) — 1(х) [(е сразу для всех х из сегмента [а, Ь]. Иными словами, непрерывную на сегменте [а, Ь] функцию [(х) можно равномерно на этом сегменте приблизить многочленом с наперед заданной точностью е.
Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем вместо сегмента [а, Ь] рассматривать сегмент [О, Ц'". Кроме того, достаточно доказать теорему для непрерывной функции 1(х), об- ращающейся в нуль на концах сегмента [О, 1], т, е. удовлетворяю- щей условиям [(0)=0 и [(1)=0. В самом деле, если бы 1" (х) не удовлетворяла этим условиям, то, положив д(х) =[(х) -[(0) — х[[(1) -1(0)], мы получили бы непрерывную на сегменте [О, 1] функцию д(х),, удовлетворяющую условиям й(0) =0 и й(1)=0. Тогда из возмож- ности представления й(х) в виде предела равномерно сходящей- ся последовательности многочленов вытекало бы, что и 1(х) пред- " Эта фундаментальная теорема была доказана Вейерпгтрассом в 1895 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
