ilin2 (947409), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функц~ия Р(х, у), определенная формулой (3.2), в данном случае обладает Рсвойством в прямоугольнике )?. В самом деле, функция Р(х, у) ограничена в Р и все ее точки и линии разрыва либо совпадают с соответствующими разрывами 1(х, у), либо лежат нв границе Г области Р. Но грагвнца Г имеет площадь нуль. Таким образом, утверждение теоремы следует из теоремы З.З. Теорема доказана. Следствие 1 и з те ор е м ы 3,4. Если функция !(х, у) ограничена в области 0 и имеет в этой области разрывы лишь на .конечном числе спрямляелсых линий, то 1(х, у) интегрируема в области О.
С л едет в не 2 н з т е о р е м ы 3.4. Если функция 1(х, у) обладает в области Р Рсвойством, а у(х, у) ограничена и совпадает с )(х, у) всюду е О, за исключениелс множества точек площади нуль, то функция д(х, у) интегрируема в области О, причем Цд(х, у)йхйу ~~~(х, у)йхйу.
о о В отношении данного нами определения двойного интеграла возникает вопрос о его корректности. Зависит ли факт существования двойного интеграла и его величина 1) от выбора на плоскости координатных осей Ох и Оу, 2) от выбора прямоугольника Р, на котором определяется функция Р(х, у)? В следующем пункте будет дано другое определение интегрируемости функции 1(х, у) ~и двойного интеграла, не зависящее ни от выбора координатных осей, ни от выбора прямоугольника )?, н доказана эквивалентность этого определения .приведенному выше, 4.
Общее определение двойного интеграла. Пусть 0 — замкнунутая ограниченная область с границей Г площади нуль. Разобьем область 0 при помощи конечного числа произвольных кривых площад~и нуль на конечное число г (не обязательно связных) замкнутых частичных областей Рь Рь..., Р,. Каждая область 0; имеет границу площади нуль и потому квадрируема. Обозначим площадь области Р; символом ЛОь В каждой области Р; выберем произвольную точку Р;Яь тр).
Гл. 3. двойные и н-нратные интегралы Определение 1. Число l о= ~' !(Р,) Л0; 1-1 (З.З) называется и и т е г р а л ь и о й с у м м о й функции ((х, у), соответствующей данному разбиению области 0 на частичные области О, и данному выбору промежуточных точек Р~ в частичных областях. Назовем диаметром области 0; число А= ьпр р(МыМв) м,м,еО~ (р(Мь Мв) — расстояние между точками Мы М,).
Дна метром р аз 5 и е н на области 0 назовем число Л=гпахдо 1<1~е Оп р еде л е н и е 2. Число ! называется и ре дел ам и и тегр ал ь н ых сумм (3.3) при Л-~О, если для любого положительного числа е можно указать такое положительное число б, что при Л(б независимо от выбора точек Р; в частичных областях 0; выполняется неравенство ~ а — ! ~ ( а. О яр еде лен не 3 (общее определение интегрируемости). Функция )(х, у) называется интегрируемой (по Риману) в области О, если существует конечный предел ! интегральных сумм о этой функции при Л-~-О.
Этот предел 1 называется два йи ы м и и т е г р а л о м от функции ((х, у) по области О. Докажем следующую фундаментальную теорему. Теорема 3.5. Общее определение интегрируемости эквивалентно определению, данному в п. 3. Доказательство. 1) Пусть функция !(х, у) интегрируема в области 0 согласно общему определению интегрируемостн и ее двойной интеграл согласно этому определению равен 1. Заключим 0 в прямоугольник к, разобьем его на частичные прямоугольники и введем на Рг функцию Р(х, у) по правилу (3.2). Рассмотрим интегральную сумму (3.3) о функции !(х, у) ~и интегральную сумму (3.!) о функции Г(х, у). Этн суммы могут отличаться друг от друга лишь слагаемыми, соответствующими частичным прямоугольникам разбиения„имеющим общие точки с границей Г области О. Поскольку Г имеет площадь нуль, а функция !(х, у) ограничена, то эта функция интегрируема и согласно определению п.
3. По этому же определению она имеет тот же самый двойной интеграл 1. 2) Пусть функция )(х, у) интегрнруема в области 0 согласно определению п. 3 и 1 — двойной интеграл от ((х, у) по области 0 согласно этому определению. Докажем, что для функции 1(х, у) существует равный 1 предел интегральных сумм о при Л-еб. $1. Определение и условия существования двойного интеграла 125 Составим для данного разбиения области 11 верхнюю и нижнюю суммы 3 ~, М,Л0г и з ~~ т,ЬВг г ! г ! (здесь Мг=зцр/(х, у), т, 1п1/(х, у)). Так как для любого разо, в, биения (при любом выборе промежуточных точек в интегральной сумме о) то достаточно доказать, что обе суммы Я и У стремятся к ! при Л-е-0: для любого е 0 найдется б)0 такое, что каждая из сумм Я и У отклоняется от / меньше чем на а при Ь<б.
Фиксируем произвольное е)0. В силу теоремы 3.1 и утверждения 1 для этого е найдется разбиение Т прямоугольника )г(0с:Р) на частичные прямоугольники Ра такое, что для него Я вЂ” < — и Ь Ма<— е ъч в 2 бма ивог а (3.4) (3.5) 3<5+в/2, з — а/2<У.
Докажем первое неравенство (3.5) (второе неравенство доказывается аналогично). Удалим из суммы Я все слагаемые Мсбйь соответствующие областям Йь каждая из которых не лежит целиком в одном частичном прямоугольнике разбиения Т. Все такие области 11;с:~ (так как А<Ь<б), а поэтому общая сумма площадей таина областей меньше числа и/6Ма. где Ма=вар!/(х, у)1.
о Заключим все отрезки прямых„производящих разбиение Т, и границу Г области 0 строго внутрь элементарной фигуры Я, плов щадь которой меньше числа —. Тогда заведомо существует 6Мо положительная точная нижняя грань б расстояния между двумя точка~ми, одна из которых принадлежит границе фигуры Я, а другая — отрезкам прямых, производящим разбиение Т, или границе Г области 11. Построение фигуры Я может быть проведено по схеме, предложенной при обосновании утверждения 1 в п. 3, Докажем, что для сумм Я и У любого разбиения области Т), удовлетворяющего условию Л б, справедливы неравенства й 2.
Основные свойства двойного интеграла Так как в онлу (3.4) каждая из сумм з и Я отклоняется от! меньше чем на е/2, то каждая из сумм й и Я в силу (3.8) отклоняется от 1 меньше чем на е. Теорема доказана. $2, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА Свойства двойного интеграла вполне аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.
Г. Аддити в ность. Если функция 1(х, у) интегрируема в области О и если область О при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области О| и Оа, то функция 1(х, у) интегрируема в каждой из областей О~ и О,, причем Ц~(х, у)йхйу Д~(х, у)йхйу+ Ц~(х, у)йхс1у. (3.9) о о, 'о. Для доказательства этого свойства разобьем области О1 и Оа на конечное число квадрируемых областей, тем самым получим разбиение области О. Пусть Я и з, 8~ и г„Яа и за — верхние и нижние суммы функции 1(х, у) соответственно в областях О, О,О.
Так как О1с:О и От~О, то Я,— з, -Я вЂ” з и Яа — Уз~Я вЂ” з, откуда н вытекает интегрируемость функции 1(х, у) в каждой из областей О~ иОь Справедливость соотношения(3.9) следует из того, что (3.10) 31+ 32 з з!+ за" 3 а м е ч а н и е. Справедливо и обратное утвержден~не: из интегрируемости функции 1(х, у) в каждой из областей О, и Оа следует интегрируемость функций в области О и справедливость формулы (3.9). Действительно, разбивая область О на конечное число квадрируемых частей О; ~и вводя верхние и нижние суммы функции Т(х, у) в областях О, Оь От, мы получим равенства (3.10), верные с точностью до слагаемых, отвечающих тем областям Оь которые имеют общие внутренние точки с кривой Г.
Кривая Г имеет площадь нуль, функция )(х, у) ограничена,поэтомуобщая суммаэтих слагаемых будет стремиться к нулю при стремлении к нулю диаметра разбиения А. Вывод последующих свойств (так же, как и вывод свойства 1) вполне аналогичен выводу соответствующих свойств однократного определенного интеграла. Ограничимся формулировкой этих свойств, 2'. Линей ное свой ство. Пусть функции 1(х, у) и к(х, у), интегрируемы в области О, а и б — произвольные вещественные 128 Гл. 3. Двойные н л-нрвтные ннтегралы числа.
Тогда функция ««г(х, у)+(1д(х, у) также интегрируема в области О, причем Ц 1а7 (х, у) + ()у (х, у)) дх йу и Ц «' (х у) «(х йу+ ао о + р Ц у(х, у)«(х«(у. о 3. Если функции 7(х, у) и у(х, у) интегрируемы в области Р, то и произведение этих функций интегрируемо в Р. 4'. Если функции ((х, у) и д(х, у) интегрируемы в области О и всюду в этой области 7(х, у) ~у(х, у), то Цу(х, у)дхйу»Цу(х, у)д ау.
о о б', Если функция ((х, у) интегрируема в области Р, то и функция Ц)(х, у) ( интегрируема в области О, причем ~ Ц/(х, у)йхйу~ » Ц ~7(х, у)~дхйу. (Обратное утверждение неверно: из .интегрируемости ~)(х, у) ~ в О, вообще говоря, не вытекает интегрируемость 1(х, у) в О.) 6'. Если функция Г(х, у) интегрируема в области Р, а у(х, у) ограничена и совпадает с 1(х, у) всюду в О, за исключением множества точек площади нуль, то и у(х, у) интегрируема в области О. 7'.
Теорема о с р е днем за а ч е ни и. Если функции )(х,у) и д(х, у) интегрируемы в области О, функция у(х, у) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, М =знрГ(х, у), о н«=1н17(х, у), то найдется число 1«ен(«п, М) такое, что справ ведлива формула Ц ~(х, у)у(х, у) дх«(у= р Ц у(х, у) йхйу. Если при этом функция Г(х, у) непрерывна в О, а область О свяэна, то в этой области найдется такая точка (й, «1), что 1«= =7(В, Ч). 8'.
Геометрическое свой ство. Ц 1«(хйу равен плоецади области Р (см. утверждение 2 из и. 3). $ Э. Сведение двойного интеграла к повторному однократному 129 5 3. СВЕДЕНИЕ ДВОПНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ ОДНОКРАТНОМУ Эффективным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к однократным интегралам.
1. Случай прямоугольника. Начнем с простого случая, когда область интегрирования представляет собой прямоугольник = (а<х <Ь] Х (с <у«д]. Те о р ем а 3.6. Пусть функция 1(х, у) интегрируелга в прямоугольнике )т, и пусть для каждого хан(а, Ь] существует однократный интеграл Т(х)=] Т(х, у)йу. г (3.11) Тогда существует повторный интеграл ь ь ]Р Т (х) йх = ~ Их ]г Т (х, у) г(у и справедливо равенство ь е ] ] Т(х, у) с(х с(у = ] дх ] Т (х, у) г(у. и а (3.12) Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
