ilin2 (947409), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть теперь .Р— пронзвольная замкнутая ограниченная и-мерная область, граннца которой имеет и-мерный объем нуль, икратный интеграл от функции Г по области Р определяется как интеграл по п-мерному координатному прямоугольному параллелепипеду Я, содержащему область Р, от функцни Р, совпадающей с 1 в Р и равной нулю вне Р.
Для обозначения и-кратного ннтеграла от функции Г(х) по области Р естественно использовать один нз следующих сммволов: Г(х)йх=Ц,, ) Г(хы х„..., х„)йх,йха... дх„. (3.17) о Отметим, что произведение Ых=Ых,Ыхт...дх, обычно называют элементом объем а в пространстве Е". Точно так же, как и для случая п=2, доказывается ннтегряруемость по и-мерной области Р любой непрерывной функции, а й 4. Тройные н л-кратные интегралы также функции 1, обладающей в области Р 1-свойством '(т. е. ог.
раннченной в Р функции, множество точек разрыва которой имеет п-мерный объем нуль). Вообще, изменение интегрируемой функции ) иа множестве точек п-мерного объема нуль не изменяет величину интеграла от атой функции. Для определения п-кратного интеграла можно использовать разбиение области Р ~и пр~и помощи конечного числа произвольных многообразий объема нуль на конечное число частичных областей произвольной формы.
В полной аналогии с теоремой 3.5 доказывается, что такое общее определение п-кратного интеграла эквивалентно указанному выше определению. Для п-кратного интеграла остаются справедливымн 8 основных свойств, сформулированные в $2 для двойного ~интеграла. В полной аналопин с теоремами 3.6 и 3.7, устанавливается формула повторного интегрирования для интеграла (3.17).
Пусть и-мерная область Р„ обладает тем свойством, что любая прямая, параллельная оси Ох(, пересекает ее границу не более чем в двух точках (или по целому отрезку, ограниченному двумя точками), проекции которых на ось Ох( суть а(хы хз,...,х,) и Ь(хз, хз,, х,), где а(хы хз, ..., хл) <Ь(хз, хз,, х,). Пусть функция 1(х) интегрируема в области Р„и допускает существование для любых хз, хз,...,х из (п — 1)-мерной области Рл ь являющейся проекцией Р„на координатную гиперплоскость Охзхз...х„однократного интеграла ь(««,««,...,к„( к(хз, ..., хл)= ~ ('(хз, хз, ..., хл)йх,.
л(кл. кы, ., кл) Тогда существует (и — 1)-кратный интеграл ) .. ) 4(х„..., хл)йхз... йхл= Мк«., ..,«лг = ~ ...) йкз йкз " й л ) 1(хзг Хаг ..., Хл) й з Пл-з л(кл...,к ) по области Р, ( и справедлива формула повторного интегрирова- П, °,) ((хи хз, ...1 хл)йхзйхз ° йхл ол М«1,««,....к«1 =))".) йхз'"хз ° ° йхл ) 7(хтг хзг ° ° г хл)йхз (318) о -з л~кл кз «лг В сформулированном утверждении в роли х( может выступать любая из переменных хм хз, ° ., х,. Гл. 3. Двойные н л-кратные ннтегралы >36 Договоримся называть область Р простой, если для каждой из координатных осей любая прямая, параллельная этой оси, либо пересекает границу этой области не более чем в двух точках, либо имеет на этой границе целый отрезок.
Примером простой области может служить и-мерный прямоугольный параллелепипед (ребра которого не обязательно параллельны координатным осям). Для простой области формулу повторного интегрироваяия можно применять по любой из переменных х>, х<ь...,х,. В заключение отметим, что, как н для случая п=2, справедливо следующее утверждение: Пусть функция 1(х) интегрируема в ограниченной кубируемой области Р. Пусть пространство Е" покрыто сеткой п-мерных кубов с ребром Ь; С>, Се, ..., С <»> — те к~бы «казанной сетки, которые целиком содержатся в Р; $ =(ь>, ае, ..., й, ) — произволь<»>»> < > <и ная точка куба С»', п>»=1п1>(х), Ь=1, 2, ..., т(Ь).
Тогда каждая с„ из сумм ен»> «а<»> Е я<»>)Ьв и У п>»Ьп » ! имеет предел при Ь- О, равный и-кратному интегралу (3.17) от функции 1(х) по области Р. Примеры. 1'. Вычислить объем Т,(Ь) и-мерного симплекса ((х„х„'..., х„) ен Е": х, ,-.»О, 1=1, 2, ..., и; ',~ х, с. Ь).
! ! Применяя формулу (3.18) последовательно по переменным х>, хе,..., х, получим следующее выражение для объема: Сделаем в каждом однократном интеграле в правой части (3.19) замену переменной х>-— Ь5<, хе=Ьйе,...,х,=Ц„. Получим в — ! (3.20) Из (3.20) следует, что Т,(Ь)=дат (1). Для вычисления Т (1) по- лучаем следующую рекуррентную формулу: 4 4. Тройные и и-кратные интегралы 137 лй 41 1 1-Ц 1 1 1 Т„(Ц-) ( ) (... ( ~ Ц„)...) Ц,) Ц„=~Т,(1 — Р 1~,= о о 5 о 1 ! - (1 — й,)"-'Т.,(Ц а,=т„,(Ц~(1 — Ц"-'Д,=Т„,(Ц '.
о а-1 ~ л — 1 ! и Следовательно, Т„(Ц= —.—...— Т (Ц, и так как Т (Ц=1 1 1 1 л и — 1 ' 2 1 э йл то Т„(л) = —. а! 2". Вычислить объем Ра(14) и-мерного шара ВЯ) радиуса Я: л В(Я)= ((х1, х„..., х„) ~ Е": Я хо!<Яо), 1 Используя формулу (3.18), получаем ) ч(Л)-Ц„,11(х,д,... ( „= 'тял! н — 1 = ) ( 1 '(...( ) 1!!х„)...) !(х,) дх. — тl 2 Г л — ! гя л! — ~!Г и-~2 ! 1 ! В однократном интеграле по переменной хг сделаем замену пере- менной х1=Щ (1=1, 2,...,п). Получим н-1 У ()!) Рл ~( ) ( ( ) !(нн ) ) !1нн)!1на Яи)l (Ц вЂ” )/ '2,Г н — ! 2 ! ! для вычисления ул(ц, как и в,предыдущем примере, получаем рекуррентную формулу 1 1 н — 1 р.
(ц= ~р.— (У~ — ~,) а,= ~(1 — ц) ' р.— (ц а,= — 1 — 1 138 Гл. 3. Двойные н»-кратные интегралы ! »-! )/ (!) ~(1 ~т) 2 Ц вЂ” ! »/2 )/» ()) =2)1 †! (1) ~ з(п О с(О = 2)/„ ! (1) 1„ = ... = о =2 '1„1„! ... 1,)/,(1)=2 1„1„~ ... 1. Таким образом, объем п-мерного шара радиуса /т выражается формулой Ъ/»(/т) =2")1"1»1 ! ...1з, откуда, используя известные формулы для интегралов 1»з!, окон- чательно получаем »+! » — ! 2 з — 1с»п ', если и нечетно; »И » 22 — )т"и, если и четко. нп (/ ()т') = $ б.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В»-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ Устанавливаемая в этом параграфе формула замены переменной является одним из важнейших средств вычисления п-кратного интегр ал а. Предположим, что функция 1(у) =1(у!,...,у„) интегрируема в некоторой замкнутой, ограниченной кубируемой области О в пространстве Е".
Предположим, далее, что от переменных у!, ум ...,у» мы переходим к переменным хь хв ...,х, т. е. совершаем преобра- зование з! В н. 4 5 б гл. 9 ч. 1 показано, что / (й — 1)И , если й нечетнгя М! (й — 1)И н —, если й четко. М! 2 Сделаем замену переменной $!=созО в последнем интеграле, вве»/з дем обозначение 1»- ) а(пе О с(О и примем во внимание тот факт, что $/!(1) =2. Тогда 140 Гл. 3. двойные и л-кратные интегралы В (г) 0 (г) 0 (у) Р (х) Р (у) 0 (х) (3.24) или в подробной записи: 0(г„..., г„) Р(го ..., га) 0(уг уа) 0(х„..., х„) Р(у,, ..., у„) Р(х„..., х„) Доказательство леммы 1. Заметим, что для любых 1=1, 2, ..., и и й=1, 2, ..., и элемент — (х), стоящий на педгг дха ресечении 1-й строки и й-го столбца якобнана — и взятый Р (г) 0 (х) в точке х= (хь ..., х„), по правилу дифференцирования сложной функции равен дха л 1 дуг дха 1=! (3.25) где у=тра(х).
Но по правилу перемножения определителей равенство (3.25) и означает, что якобиаи —, взятый в точке х, равен Р (г) Р(х) ' произведению якобнана †, взятого в точке х, на якобиан 0(у) 0 (х) — взятый в точке у. Лемма 1 доказана. Р (г)' 0 (у) Напомним, что линейным преобра зов аи нем координат называется преобразование вида Доказательству теоремы 3,8 предпопглем семь лемм.
Сначала дадим обоснование формулы (3.23) для случая, когда преобразование (3.21) является линейным (леммы 1 — 4), а затем сведем к этому случаю общее преобразование (3.21) (леммы 5 — 7). Л е м м а 1. Если преобразование з=тр(х) является суперпозицией (или произведением) двух преобразований х=тр,(у) и У=фа(х) (т. е. х=тР,(туг(х))), пРичем все УчаствУюЩие в этих преобразованиях функции имеют непрерывные частнвге производные первого порядка, то якобиан —, взятый в точке Р (г) В (х) 0 (у) х=(хь ..., х„), равен произведению якобиана ", взятого Р (х) в точке х, на якобиан —, взятый в точке у=(уь ..., у„), О (г) 0 (у) ' где у=тра(х), т. е.
141 5 о. Замена переменных в и-крвтном интеграле у,=а х +а х,+ ... +а,„х„; у,=а„х,+а„х,+ ... +а,„х„; (3. 26) у„=а„,х, +а„,х, +... +а„„х„, где агв ((, 1=1, 2, ..., и) — произвольные постоянные числа. Р (д) Для линейного преобразования (3.26) якобиан " сов- Р (х) падает с определителем матрицы этого преобразования Т= =))ап)), т. е.
(3.27) — =— де( Т. Р (х) Если этот определитель отличен от нуля, то линейное преобразование (3.26) называется невы рожденным. В этом случае существует обратное преобразование, также линейное и не- вырожденное, и уравнения (3.26) можно разрешить относительно хь хь ..., х,. Кратко будем обозначать линейное преобразование (3.26) символом у=Тх, а обратное ему преобразование символом х=Т вЂ” 'у, Основной целью следующих трех лемм является доказательство того факта, что для невырожденного линейного преобразования (3.26) и для каждой непрерывной функции ((у) справедлива формула замены переменных (3.23), которую с учетом соотношения (3.27) можно представить в следующем виде: ~ 7 (у) <(у = ) 7" (Тх) )бе( Т ( г(х = ) бе1 Т( '1 "7 (Тх) г(х, (3. 28) В о и где Р'=Т-'Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
