ilin2 (947409), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Кратные аееобетаеааые интегралы Т=Ц -'-"дхду=)1 Я вЂ” — д ду= — ", а ог,Ц 4 о где Р=((х, у)еи Е', х>0, у>0), С„=((х, у)еиЕ', ха+ут<иа, х) О, у) О); и=1, 2..., (см. пример 4' йб, в котором следует заменить Я на и). Теорема 3.11 (общий признак сравнения). Пусть функции 1(х) и йг(х) всюду на открытом множестве Р удовлетворяют условию 0 ~)(х) <у(х) .
Тогда иэ сходимости несобственного интеграла ) у(х) дх вытекает сходимость несобственного интеграла о ) 1(х) дх, а из расходимости ) 1(х) дх вытекает расходимость о о д(х) дх. Доказательство. Пусть (Р„) — последовательность кубируемых областей, монотонно исчерпывающих область Р. Из очевидных неравенств а„= ) Т'(х)дх< ') д(х) дх=Ь„ ои следует, что ограниченность (Ь ) влечет ограниченность (а„) и неограниченность (а„) влечет неограниченность (Ь„) (для любой последовательности областей (Р )).
Отсюда н из теоремы 3.10 вытекает справедливость сформулированной теоремы. Обычно при исследовании несобственных интегралов на сходимость используют стандартные (эталонные) функции сравнения, наиболее употребительной из которых является функция у(х) = =(х~ а, Р)0, 1х~ =)/х',+хат+... +ха Легко пРовеРить, что если область Р— шар радиуса )т ()1)0) с центром в начале координат, то несобственный интеграл от функции 1х~ — л по областиР сходится при р«ст и расходится при р)т. Если же Р— внешность того же шара, то несобственный интеграл от функции ~х1-а по области Р сходится при р)от н расходится при р<т.
3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций. В этом пункте мы выясним связь между сходимостью и абсолютной сходимостью кратных несобственных интегралов. При этом, как и в одномерном случае, несобственный интеграл ) Т(х) дх о будем называть абсолютно сходящимся, если сходится интеграл ~1т(х)! дх. Кратные несобственные интегралы в отличие от одномерного случая обладают тем свойством, что нз обыч- 6 Зал. 25 Гл, 3 двойные и н-кратные интегралы 162 Представим их в виде )(х), если 7(х) > О; О, если ) (х) к. 0; У- (х) = — Г'(х), если 7(х) ~<0; О, если )(х) н 0 (3.66) н отметим следующие соотношения, непосредственно вытекающие из определения этих функций: О ~< )ь (х) < ~7'(х)(; 0 С, ) (х) < 17'(х)/; (3.67) )(х) =- 1ч (х) †) (х); (7'(х)! = 1 г(х) + 1 (х). (3.68) Из интегрируемости в собственном смысле функции 1(х) по любой кубируемой подобласти области .Р вытекает интегрируемость по любой такой подобласти функции 11(х) ~, а следовательно, и фУнкций ~е(х) и 1 (х) (что следУет из фоРмУл (3.65)).
Используя сходимость интеграла ~ 1Г(х)(г(х, только а что Указанное свойство фУнкций )е(х), 1 (х), неРавенства (3.67) и теорему 3.11, убеждаемся в сходимости несобственных интегралов ~ )н (х) ах и ) т' (х) йх. Из определения несобст- Ь О венного интеграла следует, что если сходится несобственный интеграл по области Р от каждой из функций 1+(х) и 1 (х), то сходятся интегралы от суммы и разности этих функций.
Из первого соотношения (3.68) следует сходимость интеграла ~ 7(х)йх. Первая часть теоремы доказана. и 2) Пусть кратный несобственный интеграл ) 7(х) с(х схоо дится. Докажем, что он сходится абсолютно. Допустим, что это утверждение неверно. Тогда из теоремы 3.10 вытекает, что пос- ной сходимостн несобственного кратного интеграла вытекает его абсолютная сходимость.
Теорема 3.12. Для несобственных т-кратных интегралов при гп)2 понятия сходимости и абсолютной сходимости эквивалентны. Доказательство. 1) Докажем, что из абсолютной сходимости кратного несобственного интеграла в области Р следует его обычная сходимость в этой области. Рассмотрим две неотрицательные функции ( )= )' ( )= ~ )1 ~ ) (365) 2 ' 2 5 3. Кратные несобственные интегралы 1бЗ ледовательность интегралов от функции 11(х) ~ по любой монотонно исчерпывающей область д) последовательности кубируемых областей ()ла) будет монотонно возрастающей бе с к о н е ч н о б о л ь шо й последовательностью.
В частности, последовательность (О„) можно выбрать так, что для любого в=1, 2, ... выполняется неравенство ~ 7 (х) ( с(х > 3 ~ ) 7 (х) ! с(х + 2п + 4 (3.69) льт (достаточно взять любую последовательность (О ) и «проредить» ее, отбросив те области, для которых неравенство (3.69) не выполняется). Обозначим через Р множество О,+~'ь,77 . Тогда нз (3,69) получим, что для любого и 17(х)(г(х > 2 ) 11'(х)~ с(х+2п+ 4. (3. 70) Из второго соотношения (3.68) следует, что ~7(х)) г(х= ) 7, (х) с(х+ ~ 7 (х) Лх. (3.71) Фиксируем произвольный номер и.
Пусть для этого и из двух интегралов в правой части (3.71) большим будет первый. Тогда из соотношений (3.70) и (3.71) получим ~ )» (х) с(х > ~ ~7(х)~ с(х+и+ 2. (3. 72) йв 0 «»' ~ 7+ (х) с(х — '~ т,Лп; ( 1. Тогда, заменив в левой части (3.72) интеграл нижней суммой, получим следующее неравенство: т;бог > ( ~7(х)( ~х+и+ 1. 1 (3. 73) и здесь вв —.1н11+(л), ьо, — ш-мерный объем Р '. р~ н Разобьем область Р„на конечное число областей Р ' так, чтобы нижняя сумма ХтьЛп; функции )ь(х) для этого разбиения удов- летворяла неравенству И Гл.
3. двойные и»-кратные нгпегралы !б4 Так как т;>О, то оставим в сумме у т,бо; лишь те слагаемыс, для которых т;>О. Объединение областей Р,', соответствующих оставшимся в сумме слагаемым, обозначим через Р„. В области Р, функция !+(х) положительна, поэтому в этой области 1+(х) =1(х) (см. (3.66)). Следовательно, согласись (3.73) получаем неравенство 1 7(х)йх ) ) !Г(х)! йх+п+1. (3.74) о» Обозначим через 0»е объединение 11, и Р,. Тогда, складывая неравенство (3.74) с неравенством ) 7(х)дх > — ~ ~7'(х)~ йх, заведомо справедливым для фиксированного нами и, получим ) 7(х) с(х ) и + 1.
(3.75у Если для фиксированного нами номера п из двух интегралов в правой части (3.71) ббльшим (или равным первому) будет второй, то, проделав аналогичные преобразования, учитывая, что в области Р, !' (х)=-!(х), получим неравенство ) !'(х)йх с. — п — 1. о (3.76) Из соотношений (3.75) и (3.76) следует, что для любого п=1,2, ... ~ ~ 7(х)йх~) и+1. (3.77) э* » Последовательность областей (1хв„) удовлетворяет всем условиям определения 1, кроме, быть может, условия связности областен 17т„ (свнзность областей 0'„ могла быть наРУшена пРи отбрасывании из Р, тех областей Р,', на которых точная нижняя грань т! равна нулю). Малой деформацией сделаем эти области связными а!. Соединим каждую область Р.'из Р, с областью 17, т-мерной кубируемой связной областью К»г (которую будем называть М Именно этот момент доказательства существенно использует требование ыэ 2 (при щ=1 описываемые рассуждения не проходят).
4 З. Кратные несобственные интегралы 165 с в я з к о й или к а н а л о м) так, чтобы полученное множество стало связным. Поскольку число областей Р„' в Р„конечно, то и число каналов конечно. Обозначим объединение всех каналов через К„. Наложим ограничение иа пт-мерный объем У(К„) каналов. Так как функция 1(х) интегрируема, а следовательно, и ограничена на Р„, то ~ ~ 7(х) с(х~ л ~ »7'(х)» с(х~М.У(Кл), где М=зпр»1(х)!. Потребуем, чтобы гп-мерный объем кана'л лов У(К ) удовлетворял условию У(К„) (1/М. Тогда 7(х) с(х~ с. 1. (3. 78) и„ Из неравенства (3.77) н (3.78) получаем для любого и нера- венство 7(х)с(х~ > и.
(3.79) с>оп к„ Последовательность св я з н ы х кубируемых областей (0т () К,„) монотонно исчерпывает область 0 тц Из неравенства (3.79) следует, что последовательность интегралов в левой части этого неравенства расходится, т. е. несобственный интеграл ~7(х) с»х расходится. Но по условию теоремы этот интег- Ь рал сходится. Полученное противоречие доказывает справедливость нашего утверждения. Теорема полностью доказана. 4. Главное значение кратных несобственных интегралов. Обозначим через В(Я, хе) т-мерный шар радиуса П с центром в точке хо, и пусть начало координат находится в точке ОенЕ'".
Определение. Пусть функция 1(х) определена при всех хенЕ~ и интегрируема в каждом шаре В(Я, 0). Будем говорить, что функция )(х) инте г р и р у ем а п о К о ш и в Е"', если существует предел 1 пи ~ 7 (х) с»х. " зя,с1 Этот предел мы будем называть гла в и ым значением несоб" Гбы берем (Рьа»ЦКт» вместо (Р* ЦК„», чтобы удовлетворить условию Ра ЦКа ~Раы+оЦКаы+о иа определения 1. )бб Гл. 3.
Лвойные и л-кратные интегралы ственного интеграла от функции 1(х) в смысле Ко)ии и обозначать символом ч. р. ( т(х))(х=1!и) ( )'(х)бх. ~П3 и " в)гоо) Пример. Нетрудно проверить, что для функции )'(х у)=" в Ео хо(хну = О; в))),о) тем самым функция г(х, у) =х интегрируема по Коши в Е' и ч. р. ~ хс)хну=-О. Отметим, что несобственный интеграл ) хухг)у расходится. В случае, когда функция )(х) имеет особенность в некоторой точке хо области Вс:Е~ и )'(х) интегрируема в каждой области Вн=е)~,В(то, хо), где В(то', хо)~0, интеграл в смысле Коши вводится как предел: ч. р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
