ilin2 (947409), страница 29
Текст из файла (страница 29)
~~(х) о(х=1(п) ') т(х) о(х. о я~о Глава 4 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этой главе мы перенесем понятие одномерного определенно. го интеграла, взятого по прямолинейному отрезку, на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой нлоской нли пространственной кривой. Такого рода интегралы называются криволинейными. $ Е ПОНЯТИЯ КРИВОЛИНЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА Рассмотрим на плоскости Оху некоторую спрямляемую кривую Г., не имеющую точек самопересечення и участков самоналегания. Предположим, что эта кривая определяется параметрическими уравнениями х = ср (с); р=ф(1) (а< (< Ь), (4.
1) (4.2) и сначала будем считать ее незамкнутой и ограниченной точками А и В с координатами А (ср(п), ф(а) ), В(ср(Ь), ф(Ь) ). Пусть на кривой Г.=.4В определены три функции: Г(х, у), Р(х, у), Я(х, у), каждая нз которых является непрерывной (а еле. довательно, и равномерно непрерывной) в дол ь это й к р и во й (так, для функции с'(х, у) это означает, что для любого е)0 найдетса б>0 такое, что ~((Мс) — 1(М») ~ <а длЯ любых точек МьМ»=.
ен1., расстояние между которыми меньше б). разобьем сегмент (а, Ь) при помощи точек а=10<(с<1»«... <1 =Ь на л частичных сегментов (1» ь (») (»с=1, 2, ..., л). При этом кривая Е распадается на л частичных дуг: М»Мь МсМП ..., М„сМ„, где точки М»(х», у»), а=О, 1, ..., л, имеют координаты х»=~р(1») у»=ф(1»). Выберем на каждой частичной дуге М» сМ» произвольную точ. ку Ас»Д», »1»), координаты которой отвечают некоторому принадлежащему сегменту (1» ь 1») значению т» параметра Г, так что я»= =ср(т»), т1»=ф(т ). Обозначим символом Ж» длину л-й частичной дуги М,,М» (А=1, 2, ..., л). Как было доказано в $10 гл.
1О ч, 1, для А1» справедлива формула с» 01,= ~ У(р'(1))»+(р'(г))' (( с »-с Гл. 4. Криволинейные интегралы Назовем дна метром р аз биения яр и во й 1. число 1»= !пах 1»1». з(»<н Составим три интегральные суммы: а от=К )(й» Ч») 61»' »=! (4.3') аз = ~ Р Д,, т1») йх»; »=1 (4.3') аз=~ Яй»,Ч»)АЧ»; »=! (4,3з) ~ 1(х, у)а1 или ) )(х, у)й1. (4 4!) 1 лв О п р е д е л е н и е 3. Если существует предел интегральной суммь! оз (соответственно оз) при б.
О, то этот предел называется криволинейным интеграла»! второго рода от функции Р(х, у) ( !ч'(х, у)) по кривой Е=ЛВ и обозначается символом ') Р(х,у)ах ~соответственно ) !ч(х,у)йу1. (4.4') лв лв Сумму ') Р(х, у) ах+ ) Я(х, у) с(у лв принято называть общим криволинейным интегралом второго рода и обозначать символом ') Р (х у) йх+ Я (х, у) йу. лв (4.4') Из определения криволинейных интегралов следует, что: 1) криволинейный интеграл первого рода ие зависит от того, в хахом направлении (от Л и В или от В и Л) пробегает кривая где йх»=х» х» — !, Ау» у» Определение 1. Назовем число 1 пределом интегр а л ь н о й с у м м ы о, (з=1, 2, 3) при стремлении к нулю диаметра разбиения б, если для любого г>0 найдется 6>0 такое, что (независимо от выбора точек У» на частичных дугах М,,М») ~ о,-11 <е, как только 6<6.
О п р е дел е н и е 2. Если существует предел интегральной суммы о! при Л вЂ” !-О, то этот предел назьзвается криволинейным интег ралом первого рода от функции 1(х, у) по кривой 1. и обозначается одним из символов; 169 й 2. Условия существования крявояяяеаяих интегралов Е, а для криволинейного интеграла второго рода изменение на- правления на кривой ведет к изменению знака, т.
е. '] Р(х, у)йх+Ях,у)йу=.— ] Р(х, у)й. +С1(х, у)йу1 лв вл 2) физически криволинейный интеграл первого рода (4.4') представляет собой массу кривой Е, линейная плотность вдоль которой равна 1(х, у); общий криволинейный интеграл второго рода (4.4') физически представляет собой работу по перемещению материальной точки нз А в В вдоль кривой Е под действием силы, имеющей составляющие Р(х, у) и 11(х, у) 3 а м е ч а н и е. Для пространственной кривой Е=АВ аналогично вводятся криволинейный интеграл первого рода ~ 1(х,у,г)йг лв и три криволинейных интеграла второго рода Р(х,у,г)йх, ] Я(х,у,г)йу, ~ тг(х,у,г)йг. лв лв лв Сумму трех последних интегралов принято называть общим криволинейным интегралом второго рода и обо; значать символом ~ Р (х, у, г) йх + Я (х, у, т) йу + В (х, у, г) йг.
лв $2. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 0 п р е д е л е н н е. Кривая Е называется гл ад кой, если функции ~р(1) и ф(1) из определяющих ее параметрических уравнений (4,1) имеют на сегменте [а, Ь] непрерывные производные ср'(1) н ф'(1) (т. е, производные непрерывны в интервале а<1(Ь и обладают конечными предельными значениями в точке а справа и в ~очке Ь слева). Напомним, что в гл. 13 ч, 1 мы договорились называть о с о б ыи и т о ч к а м и кривой Е точки, соответствующие тому значению параметра 1 из [а, Ь], для которого [~р'(1)]Я+[ф'(1)]'=О, т.
е. обе производные обращаются в нуль. Те точки кривой Е, для которых Ьр'(1)]Я+[Чт'(1)]ЯРО, мы назвали обыкновенными точками. Т е о р е м а 4.1, Если кривая Е=АВ является гладкой и не содержит особь1х точек и если функции 1(х, у), Р(х, у) и Ю(х, У) непрерывны вдоль этой кривой, - то криволинейные интегралы (4.4') и (4.4Я) существуют и могут быть вычислены по следующим формулам, сводящим эти криволинейные интегралы к обычным определенным интегралам: 1то Гл, 4. Криволинейные интегралы ) 1(х,у)Ж=] ! (гр(!), ф (!)]]' 1гр'(г)]'+ (тр'(г)]' Й; АВ а л Р(х, 1!) г(х = ] Р ~ф (1), тй(1)] <р' (1) г(1; АВ а и ] Я(х,у)(у=] Я1р(1),ф(1)И'(1) (1. (4.5') (4.5') (4.5з) представим интегральные суммы (4.3') и (4.3') в следующем виде: а 'л ,=Я(~Ы;),ф(")]~ ~( (1)]'+И(1)] (1); л=! и пи=~'1 Р]гр(т ), тй(тл)] ] !р'(1) г(1) и=! ге-! Обозначим определенные интегралы, стоящие в правых частях формул (4.5') и (4.5'), соответственно через г! и ти и представим эти интегралы по сегменту (а, Ь] в виде суммы и интегралов по частичным сегментам (!» !, гл], 1=1, 2,..., и.
рассмотрим и оценим разности и — у =~ ~ Ир(т), ф(тл)] — 1(р(1), ф(1)]) У[р'(1)]!+ И'(1)]е~(, (4.5!) Доказательство. Прежде всего отметим, что определенные интегралы, стоящие в правых частях формул (4.5'), (4.5'), (4.5'), существуют, ибо при сделанных нами предположениях подынтег- ральные функции в каждом из этих интегралов непрерывны на сегменте а ~ 1~ Ь. Отметим также, что вывод соотношений (4.5') и (4.5') для кри- волинейных интегралов второго рода вполне аналогичен, поэтому мы будем выводить только соотношения (4.5') и (4.5') и доказы- вать существование интегралов (4.4') и (4.4').
Как и в $1, разобьем сегмент (а, Ь] на и частичных сегментов [Гл — и (л], /г=1, 2, ..., и, и составим интегральные суммы (4.3'), (4.3л). Учитывая соотношение (4.2) и соотношение 'л = р(14) — гр(1 — ) = ~ р'(1) е(1, 'л-! й 2. условия существования криволинейных интегралов пе — 1а = '(' ~ (Р [ср (ть), ф (ть)] — Р [гр ((),тр(()]) тр' (1) Ш.
(46') ь=' 'ь-т При сделанных нами предположениях о функциях )(х, у), Р(х, у) и функциях (4.1) функции ([~р((), тр(()] и Р[ср((), ф(()] как сложные функции аргумента ( непрерывны на сегменте а«(<Ь, а следовательно, и равномерно непрерывны на этом сегменте. Заметим теперь, что при стремлении к нулю диаметра разбиения Л кривой т'. стремится к нулю и наибольшая из разностей гать=(ь — (ь-ь Действительно, так как функции ~р'(1) и ф'(() непрерывны на [а, Ь] и не обращаются в нуль одновременно, то с„ т = пцп Ьу [ср'(()]е+ [ф' (()[а> 0 и Л1ь ) т ~ Ш =тй(„т. е. а<с<а 1 ь-т 1 Л(ь< — Жь (мы учли формулу (4.2) для длины ст(ь).
м Таким образом, для любого в>0 можно указать 6>0 такое, что при Л(6 фигурная скобка в формуле (4.6') по модулю меньше вт(, где 1 — длина кривой Е, а фигурная скобка в (4.6') по модулю меньше, где М = шах [гр' (() ~ . М(Ь вЂ” )' «<т<ь Полагая, что диаметр разбиения Л меньше 6, получим для разностей (4.6'), (4.6') следующие оценки: л л ~"-'~ <+Е 1 ~['(')]" [ '(()]""'=тХ'"=' ь=! 1ь т л та [и — т !<, т~ [ ~ср (()~т(( ~ М л б(ь=е. М(Ь вЂ” а) аи) .1 и(ь — а) ь=1 ь=! Итак, мы доказали, что интегральные суммы о~ и ат при Л-+О имеют пределы, соответственно равные 1, и (ь Таким образом, доказано существование криволинейных интегралов (4.4'), (4.4т) и справедливость для них формул (4.5'), (4.5е) соответственно.
Отметим, что при выводе формулы (4.5т) мы не использовали условия непрерывности функции ф'((). Теорема доказана. 3 а меча н не 1. Будем называть кривую (. кусочно гл адкой, если она непрерывна' и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В случае кусочно гладкой кривой Е криволинейные интегралы по этой кривой естественно определить как суммы соответствующих криволинейных интегра- Гл, 4. Криволинейные интегралы 172 лов по всем гладким частям, составляющим кривую Е. При этом равенства (4.5'), (4.5'), (4.5') будут справедливы н для кусочно гладкой кривой В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
