ilin2 (947409), страница 32
Текст из файла (страница 32)
З. Пвверхиостные интегралы Применяя к интегралу (5.13) первую формулу среднего значения, получим (5.14) о,=созт ° Д~ [ — ' ° — '] ~д 1 6; где М;и — некоторая точка части Фь Заменив сагум в (5.14) с представлением (5.7), получим равенства о; = (1 — ас) Д ~ [ —, —" ~ ~ с(и до. сс (5.15) Просуммируем эти равенства по всем 1, учитывая, что ~~Л~ [ — — 1~дида= Д~ [ —, — 1~дида=сг. с о; о Получим ~~)~ ~а, = о — ~~~~~ ас Д ~ [ —, — 1 ~ ди до. с т ос Отсюда, используя оценку для аь будем иметь ~~о,— сг|.ч: ~ )а;) Ц~ [ — '. — '~ (с1идо ч; с ! 6, -'-'Е~ЙУ Н "=-' =' Теорема доказана. 3 а м е ч а н н е 1, Формула (5.10) инвариантна относительно выбора осей координат.
3 а м е ч а н и е 2. Теорема 5.1 доказана в предположении, что поверхность Ф определяется уравнениями (5.1). В общем случае согласно лемме 2 поверхность Ф может быть разбита на конечное число частей, каждая из которых определяется своими уравнениями (5.1). После этого площадь поверхности можно определить как сумму площадей указанных частей. Площадь каждой такой части может быть вычислена по формуле (5.10). Таким образом, имеет место следующая Теорем а 5.1*. Гладкая ограниченная полная двусторонняя поверхность без особых точек квадрируелса. Замечание 3. Пусть поверхность Ф кусочно гладкая, т. е. составлена из конечного числа гладких ограниченных полных двусторонних поверхностей. Очевидно, поверхность Ф квадрируема, и Гл.
о. Поверхностные интегралы Составим четыре суммы: (5.18') ~ —,), Р (М;) а! соз Хо ! (5.18') л!.'.з = Е (ет (М!) в! соз 1;.„ (5. 18') 2' е= 1' Р(М!)вгсоэЛ!. ! (5. 18') Определение 1. Число !» (1=1, 2, 3, 4) назьгвается пределом сумм Х» при Л-+О, если для любого е>0 найдется 6= =6(е)>0 такое, что при А<6 (независимо от выбора точек Мг~ ~Ф!) выполняется неравенство '1 г,» — !'»1к,. е. Определение 2. Если при Л-+О существует предел сумм Хг, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функ!(ии ((х, у, г) по поверхности Ф и обозначается символом (5.19») 4е= ) ) Р(М)созХао; Ф (5.19') 1,= !1 !) Я(М)соз)'с(о; ( =Ц Д(М)созЯйо.
(5. 19') (5.19») Сумма последних трех интегралов называется о б щ и м и оверхностным интегралом второго рода. Этот интеграл может быть записан в виде Д(А, п) йо, (5. 19') где А=А(х, у, г) — вектор с компонентами Р(х„у, г), Я(х, у, г), Оп редел ение 2». Если при Л- 0 существуют предельс сумм г», где А=2, 3 или 4, то эти пределы называются поверхностными интегралами второго рода и обозначаются соответственно символами й 2. Поверхностные интегралы 187 П1(М) йо = Ц ~ 1х(и, о), у (и, с), г(и, о)] )' Е0 — Ра ди йа (529х) Ф а (с помощью соответствующей из формул ]] Р(М) созХдо= ]] Р1х(и, о), у(и, о), г(и, о)] х Ф о эс соз Х ]/Е — Р' ди до; 1] Я(М) созУйа = ] ~ Я(х(и, о), у(и, о), г(и, о)] х Ф с Х соз 1 ]~ ЕТ2 — Ра ди ао; (5.20а) (5 29а) 1с(х, у, г), а п=(созХ, соз У, соз2) — вектор единичной нормали к поверхности Ф. Из определений поверхноствых интегралов следует, что: 1) поверхностный интеграл первого рода не зависит от выбора стороны поверхности и не меняется при изменении направления нормали на противоположное, а поверхностные интегралы второго рода меняют знак при изменении направления нормали на противоположное; 2) поверхностный ~интеграл первого рода (5.19') и общий поверхностный интеграл второго рода (5.19') не зависят от выбора системы координат и инвариантны относительно перехода к новым координатам; 3) физически интеграл (5.19а) представляет собой поток вектора А через поверхность Ф, а интеграл (5.19') дает массу нагруженной поверхности Ф при условии, что поверхностная плотность распределенная массы равна 1(х, у, г): 4) каждый нз поверхностных интегралов второго рода (5.19')— (5.194) сводится к поверхностному интегралу первого рода (5.19'): достаточно взять в поверхностном интеграле первого рода подынтегральную функцию 1(М) соответственно равной Р(М) созХ, О(М) соз У и )е(М) созХ, причем если Р, Я и )г являются непрерывными на Ф, то и 1 окажется непрерывной вдоль Ф.
Отметим, что в случае замкнутой поверхности Ф вектор нормали всегда считают направленным во внешность области, ограниченной этой поверхностью. Теорема 5.2. Если Ф гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особсчх точек, задаваемая уравнениями (5.1), а функция 1(х, у, г) 1соответственно функции Р(х, у, г), Я(х, у, г), К(х, у, г)] непрерывна вдоль Ф, то поверхностный интеграл (5.19') (соответствующий из поверхностных интегралов (5.19е) — (5.19') ] существует и сводится к обычному двойному интегралу с помощью формулы й 2.
Пнаерхггостные интегралы поверхности составляет с осью Ог острый угол, можем переписать формулу (5.20') следующим образом: ~ ~ Я(х, у, г)созЯйа =)((х, у, г(х, уЯйхйу. В самом деле, достаточно учесть, что м=~ еΠ— г'д шу, еь — г'=1т1 — ! т1 — ~ . (, ) (, ), 1 сон Ев Это оправдывает следующее обозначение для поверхностного интеграла второго рода: () 1т'(х, у, г)созУаа= )1гс(х, у, г)йхйг. (5.23) Ф Ф Отметим, что обозначение (5.23) используется н в случае, когда Ф не является графиком функции г=г(х, у). Для обгцего поверхностного ~интеграла второго рода (5.19а) также применяется следующее обозначение: ) ) (РсозХ+ЯсозУ+ Ясоз_#_) да= ) ) Рйуйг+сгдгйх+ )тс(хйу.
3 а м е ч а н и е. Понятия поверхностных интегралов первого и второго рода естественно распространяются на случай, когда поверхность Ф является кусочно гладкой. Для таких поверхностей, очевидно, также справедлива доказанная в этом параграфе теорема существования. Глава 6 ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА В этой главе будут рассмотрены скалярные и векторные поля, а также основные понятия н операции, связанные с ними.
Важнейшей формулой анализа является уже ~известная нам формула Ньютона — Лейбница. Здесь будут получены формулы Грина, Остроградского — Гаусса и Стокса, которые, с одной стороны, являются обобщением формулы Ньютона — Лейбница на многомерный случай, а с другой стороны, составляют важную часть аппарата интегрального исчисления. $ Ь ОБОЗНАЧЕНИЯ. БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ. ИНВАРИАНТЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА Е Обозначения.
Ниже нам часто придется записывать суммы некоторого числа слагаемых. Поясним обозначения, которыми бу. дем пользоваться. Мы будем иметь дело с системами величин, которые помечены несколькими индексами, например а' . Обычно в таких случаях один индекс пишут внизу, другой — вверху. Если индексы меняются независимо, то они обозначаются разными буквами. Если индексов много, то оии обозначаются одной буквой с подындексом. Например, ыь... или Ц'... Ц'а. В некоторых случаях для обозначения суммирования будет использована запись Хл(о), а где суммирование производится по некоторому множеству величин и.
Если индексы суммирования 1ь 1Б...,1 меняются так, что при этом 11(1~(...(1зь то будем писать Вьь па ь(... (~ Наконец, заключим следующее соглашение о суммировании. Пусть имеется выражение, составленное нз сомножителей. Если в этом выражении имеется два буквенных индекса, из которых один верхний, а другой нижний, то будем полагать, что по этим индексам происходит суммирование. При этом индексы последовательно принимают значение 1, 2,..., а полученные слагаемые складываются.
$ !. Обозначения. Виортогонвльные базисы. Инварианты оператора 191 Например, если 1, 1= 1, 2, ..., п, то а,е: = а,е'+ а,е'-1-... +а„е", а; 1ете1 = а„е'е1 + азгеве1 +... + а„,е"е1 = = а„е'е'+ а„е'е'+... + а,„е'е" + а„е'е'+ +а„е'е'+... +а,„е'е" +... +а„,е"е'+а„,е"е'+ ... +а„зе"е". При этих обозначениях разложение вектора а по базису еь ез,...,е, пространства Е" может быть записано так: а = а'еь где а' — коэффициенты разложения этого вектора. Эта запись означает, что а= '~ ате,. Символом 6,1 будем обозначать величину, принимающую всего два значения: бз=1, ба=0, при 1~1, 6У вЂ” так называемый символ Кронекера '>.
Скалярное произведение двух векторов а и Ь в пространстве Е" обозначается (а, Ь). 2. Биортогональиые базисы в пространстве Е". Пусть еь (= = 1, 2,...,п — базис '1 в и-мерном пространстве Е". Очевидно, что е; — линейно независимые векторы. Определение. Базис ег (индекс вверху), /=1, 2,...,п, называется био рто го и ал он ым к ба зи с у еь если выполнены соотношения 1, 1=-1; (еь е1)=6,'= т, 1==1, 2, ..., и; О, 1~1'. У т в е р ж д е н и е. Для всякого базиса еь 1= 1, 2,..., и, пространства Е" существует единственный биортогональный базис ет, 1=1, 2,...,и.
показ а тел ь ство. Обозначим линейную оболочку (т. е. множество всех линейных комбинаций) векторов еьеь...,е; ь ы Л. Кронекер — немецкий математик (1823 †18). " Векторы еп ем ..., е образуют базис в Е", сели любой вектор а из Е" представим единственным образом в виде а=а'ез+азез+...+а"е =а'ев $92 Гл, 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа еыь..., е„через Мо Взяв из ортогонального дополнения к М > вектор е', нормированный условием (еь е') =1, ыы, очевидно, найдем, что (е', ег) =б,г, г, 1'=1, 2, ..., и. Векторы ег также образуют базис пространства Е".
Действительно, если бы это было не так, то нашелся бы вектор из этого пространства, который неоднозначно разлагался бы по системе ег, т. е. нулевой вектор имел бы разложение по базису с коэффициентами, не равными одновременно нулю.
Следовательно, какой. нибудь вектор е' нз системы ег' принадлежал бы линейной оболочке о М' векторов е', еа, ..., е'-', еа+'„..., е". Но эгого быть не может, так как е' в этом случае был бы ортогонален вектору е, (поскольку (е», е') =0 прн йи'-р). Однако вектор е' не можа| быть ортогональным еа, потому что по построению (еа, е") =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
