ilin2 (947409), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Эти равенства справедливы и в случае, когда функции )(х, у), Р(х, у) и Я(х, у) являются лишь кусочно непрерывнымн вдоль кривои Е (т. е. когда кривая Е распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, вдоль каждого из которых указанные функции непрерывны). 3 а м е ч а н и е 2, Аналогичные результаты и формулы справедливы и для криволинейных интегралов, взятых по пространственной кривой 1.=АВ=((х, у, г): х=ф(1), у=ар(1), г=у(1) при а <1 . Ь). Так, формулы для вычисления этих интегралов имеют следующий вид: ~ )( ° у г) (1= ] ) ]гр(1) ф(1) Х (1)! Ь~]гр'(1)]'+ [ф'(1)]а+]Х'(1)]н ] Р(х,у,г)гтх= ] Р]гр(1) тр(1) у(1)]'р (1)ь((; лв а ь ~ Я(х у г) ду=~ЯЬ(1).ф(1),Х(О]ф'(1)д4; лв а ь ~ )т (х„у, г)]дг = ~ Я ] р (1), ф ((), К(1)] у' (1) г(1.
лв 3 ам еч а н не 3. Выше было отмечено, что криволинейный интеграл второго рода зависит от направления обхода кривой 1.=- =АВ. Поэтому следует договориться о том, что мы будем понимать под символом (4.7) Р(х, у) дх+Я(х, у) ь(у в случае, когда Š— замкнутая кривая (т.
е. когда точка В совпадает с точкой А). Из двух возможных направлений обхода замкнутого контура Е назовем положительным то направление обхода, прн котором область, лежащая внутри этого контура, остается по левую сторону по отношению к точке, совершающей обход (т. е. направление движения «против часовой стрелки»). Будем считать, что в интеграле (4.7) по замкнутому контуру Е этот контур всегда обходится в положительном направлении. В случае, когда необходимо подчеркнуть, что контур Ь замк- пз $2. Условия существования криволинейных ннтсгралов нут, будем использовать следующую форму записи интеграла (4.7): ~ Р (х, у) йх + Я (х, у) йу, 3 а м е ч а н и е 4. Криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные интегралы (доказательства аналогичны изложенным в $4 гл.
9 ч. !). Отметим, что при более жестких предположениях указанные свойства сразу вытекают из формул (4.5'), (4.5'), (4.5'). Перечислим эти свойства применительно к криволинейным интегралам первого рода. 1'. Линейное свойство. Если для функций у(х, у) и й(х, у) существуют криволинейные интегральс па кривой АВ и если и и р — любые постоянные, та для функции (а1(» у)+Рк(х у)1 также существует криволинейный интеграл па кривой АВ, причем ~ )а) (х, у) + ру (х, у)) й( = а ~ 7 (х, у) й(+ 5 ~ д (х, у) й(. лв лв лв 2'. Лддити впасть. Если дуга АВ составлена из двух дуг АС и СВ, не имегощих общих внутренних тачек, и если для функции ~(х, у) существует криволинейный интеграл по дуге АВ, та для этой функции существует кривалинейньгй интеграл па каждой из дуг АС и СВ, причем ~ 1(х, у) Й = ~ )' (х, у) Ж+ ~ ~ (х, у) Ж.
лв Ас св 5'. Оценка модуля ни тегр ал а. Если существует криволинейный интеграл по кривой АВ от функции 1(х, у), та существует и криволинейный интеграл па кривой АВ от функции (у(х, у) ~, причем ~ ) ~(х,у)й((< ) Ц(х,у)!йй лв лв 4'. Формул а среднего значения. Если функция у (х, у) непрерывна вдаль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка М такая, чта ~ П,у)й(=Ч(М), АВ еде ( — длина кривой АВ. 3 а меч анне 5. В полной аналогии с изложенной здесь теориен криволинейного интеграла на плоскости строится теория криволинейного интеграла а пространстве Е" (п>2). Гл, 4 Крнволннейные интегралы Г74 П р и и е р ы. 1 .
Найти длину дуги пространственной кривой 1., определяемой параметрическими уравнениями х=е — 'сов 1, у=е — 'яп1, г=е-' при 0~1~2п. Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла первого рода ) 1Ж. С помощью формулы для вычисления криволинейного интеграла первого рода, приведенной в замечании 2, получим ~ 1 й = ') )7 1(е †' соз 1)')в + Ие †'яп 1)')в + 1(е †')')в г(1 = о = ~ )гге — "+ е и+ е -"' Й = ог Т(1 — е "').
о 2'. Вычислить криволинейный интеграл второго рода 1 = ~ (х+у) г(х+(х — у)г(у, лв хт лв в котором А — часть эллипса — + — =1, у»0, А(а, 0), В(0, Ь). аа Ьв Указанную кривую можно задать параметрическими уравнениями х=асоз1, у=Ьяп1 при 0 ~~1 ( —, 2 Поэтому с помощью формул (4.5'), (4.54) получим ле 1 = ~ '1(и соз 1+ Ь Мп 1) ( — а з! и 1) + (а соз( — Ь яп 1) Ь соз 1) г(1 = о = ~ — яп(21)$+ ' соз (21)1 2 4 )~а 2 Отметим, что подынтегральное выражение (х+у)~(х+(х — у)иу является полным дифференциалом функции и(х, у) = ~ +ху. 2 Ках будет доказано в гл. 6, из этого факта следует, что интеграл 1 не зависит от кусочно гладкого пути интегрирования, соединяющего точки А и В (рассмотренная часть эллипса — лишь одна из таких кривых), и равен разности и (В) — и (А) = и (О, Ь) — и (а, 0) =— 2 Глава 5 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этой главе будет рассмотрен вопрос об интегрировании функций, заданных на поверхностях в трехмерном евклидовом пространстве Е', а также исследуется вопрос о понятии поверхности и понятии площади поверхности.
й к понятия повннхности и нн площади 1. Понятие поверхности. О и р е д е л е н и е Е Отображение 1' области 6 на плоскости на множество 6* трехмерного пространства называется гомеоморфным, если это отображение осуществляет взаимно однозначное соответствие между точками 6 и 6*, при котором каждая фундаментальная последовательность точек 6 переходит в фундаментальную последовательность точек 6* и, наоборот, каждая фундаментальная последовательность точек 6" является образом фундаментальной последовательности точек 6. Определение 2, Отображение 1 области 6 на 6* называется локально гаме омар фн ым, если у каждой точки 6 есть окрестность, которая гомеоморфно отображается на свой образ.
О п р е д е л е н и е 3. Область 6 на плоскости Т называется з л е м е н т а р н о й, если эта область является образом открьпого круга 0 при гомеоморфном отображении этого круга на плоскость Т. Определение 4. Связная область 6 на плоскости Т называется простой, если любая точка 6 имеет окрестность, являющуюся элементарной областью. О п р е д е л е н и е 5.
Множество точек Ф пространства называется и о в е р х н о с т ь ю, если это множество является образом простой плоской области 6 при локально гомеоморфном отображении ) области 6 в пространство Еэ. В дальнейшем мы договоримся называть окрестностью точки М поверхности Ф подмножество точек Ф, принадлежащее окрестности точки М в Е'. П р имер. Пусть 6 — простая область на плоскости Оху (например, круг), (х, у) — координаты точек Мен6, г=г(М) — непрерывная в 6 функция, 6* — график этой функции. Очевидно, отображение 1 области 6 на 6*, задаваемое соотношениями 1 та Гл.
3. Поверхностные интегралы х=и, у=э, г=х(и, о), является гомеоморфным отображением этой области на множество 6*, а Ф=бо является поверхностью. Пусть на плоскости (и, с) задана простая область 6 и для всех точек этой области определены три функции: (5.1) х=х(и, и), у=у(и, и), х=х(и, о), или, что то же самое, одна векторная функция (5.1') г=г(и, и), где г(и, с) — вектор с компонентами х(и, и), у(и, и), х(и, о).
Будем считать выполненными следующие д в а т р е б о в ани я А: 1) функции (5.1) имеют в области 6 непрерывные частные производные первого порядка по переменным и н о; 2) всюду в области 6 матрица (5.2) А= имеет ранг, равный двум. Утверждение. При выполнении этих двух требований А множество Ф точек, определяемых уравнениями (5.1), представ. ляег собой поверхность, т.
е. является образом плоской области 6 при локально гомеоморфном отображении 6 в Е'. Пусть Фо(ио, эо) — любая точка 6. Ясно, что малая окрестность этой точки отображается в малую окрестность точки М(хо, уо, хо), где хо=х(ио, оо), уо=у(ио, оо), хое а(ио, по) (для этого достаточно, чтобы функции (5.1) являлись непрерывными в 6, что в нашем случае заведомо выполняется). Ясно также, что если й7„(и„, со) — фундаментальная последовательность точек в малой окрестности точки тт7о, то последовательность образов этих точек М„(х„, у„, яо), где х„=х(57„), у = =у(тУ„), х„=х(тт'„), также является фундаментальной в Ф.
Это сразу вытекает из непрерывности функций (5.1); например, разность (х,+„— х„(=(х(Лг,+о) — х(тт7 ) ! может быть сделана меньше произвольного числа е)0 при р(тт' +о, й7„) <б=б(е). Остается доказать, что при отображении, определяемом уравнениями (5.1), каждой точке множества Ф из достаточно малой окрестности точки М, отвечает определенная точка области 6 из малой окрестности точки Лто, причем любой фундаментальной последовательности точек (М„) из указанной окрестности точки Мо отвечает фундаментальная- последовательность (1Ч ) точек 6. !тг $ !. Поиятия поверхиости и ее плошади Так как в каждой точке тто(ио, по) енб ранг матрицы (5.2) равен двум, то в этой точке )то отличен от нуля хотя бы один минор второго порядка матрицы (5.2). Пусть зто будет минор дк ду ди ди у'= О в точке й!о.
Р(х, у) Р(и, о) дк ду до до Объединяя это условие с первым из двух требований А, придем к выводу, что для системы ! х(и, и) — х= О; . у(и, и) — у= О в окрестности точки Мо выполнены все условия теоремы Юнга— Ковалевского (см. $2 гл. Рй ч. 1). Поэтому система (5.3) имеег в окрестности точки Мо единственное непрерывное и дифференцнруемое решение (5.3) ! и=и(х, у); пг в(л, у).
(5.4) Это означает, что существует гомеоморфное отображение малой окрестности точки Уоыб на малую окрестность точки Ро(хо, уо) плоскости Оху. (В одну сторону это отображение задается непрерывными функциями (5.4), а в другую сторону — первымн двумя соотношениями (5.1), в которых функции х=х(и, и) и у=у(и, и) также непрерывны; непрерывность и тех и других функций обеспечивает перевод фундаментальной последовательности в окрестности одной из точек Уо или Р, и фундаментальную последовательность в окрестности другой из этих точек.) Подставляя функции (5.4) в третью функцию (5.1), получим непрерывную в окрестности точки Ро(хш уо) функцию х=х(и(х, у), п(х, у))=ср(х, у).
(5.5) Эта функция осуществляет гомеоморфное отображение малой окрестности точки Ро(хо, уо) плоскости Оху на малую окрестность точки Мо(хо, уо, го) енФ. Можно сказать, что (5.5) проектирует Ф в малой окрестности точки Мо на плоскость Оху. Так как суперпозиция гомеоморфных отображений представляет собой снова гомеоморфиое отображение, то гомеоморфно и. отображение малой окрестности точки Уо~б на малую окрестность точки Мо~Ф. Таким образом, множество Ф точек, определяемых уравнениями (5.1), при выполнении этих требований А представляет собой поверхность. Гл. З. Поверхностные интегралы дг и до !%Н (5.5) представляет собой вектор единичной нормали к поверхности Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
