ilin2 (947409), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Таким образом, к произвольному базису е; построен биортогопальный базис ег, причем все векторы этого базиса определяются единственным образом. В самом деле, если бы наряду с е! был бы еше один биортогональный базис е|, то мы имели бы, что (е„ е,— е') =0 для всех 1,1=1, 2,...,л. Отсюда следует, что ег=е1, поскольку если некоторый вектор ортогонален всем векторам базиса, то он ортогоиален и самому себе, поэтому является нулевым вектором. Утверждение доказано. Заметим, что если базис е; — ортонормированный, то бнортогональный к нему совпадает с ним самим.
3. Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариантные координаты вектора Мы часто будем пользоваться переходом от биортогональных базисов еь е' к новым биортогональным базисам ег, е'. Используя наши соглашения о суммировании, запишем разложения базисных векторов: (б.! ) е"=Ь';е', е'=Ь,'е", 1, 1'=1, 2, ..., и.
(6.2) Здесь (Ь' ,) — матрица перехода от старого базиса ег к новому ен, (Ь,' ) — матрица обратного перехода от базиса ег к е,. Аналогично (Ь',) и (Ь';) — матрицы прямого и обратного перехода от базиса е' к базису е'. " Т. е. из подпространства пространства Е", все векторы которого ортогоиалвиы Мв и Т. е. вектор е' был бы линейной комбинацией векторов е' при р~В. 4 1. Обозначения. Биортогональные базисы.
Инварианты оператора !93 Формулы (6.1) — это формулы перехода от старого базиса е! к новому е; и формулы обратного перехода. Формулы (6.2)— это формулы перехода от старого базиса е' к новому е" и формулы обратного перехода. Преобразования (6.1) взаимно обратны, поэтому и матрицы (Ь~! ) и (Ь';) взаимно обратны. Действительно, умножив первое из равенств (6.1) скалярно на е!', а второе из равенств (6.1) на е1, получим, учитывая биортогональность базисов: 61; =Ь~ (еь е"), Ь,'=Ь) (ес. е').
Однако, как следует из тех же формул (6.1), (е„е') =Ь,' У; =Ьг,(е, е1)=ЬЯ=Ь~ . (6.3) Таким образом, т. е. матрицы (Ьг ) и (Ь„') взаимно обратны. Аналогично устанавливается, что и матрицы (Ь,') и (Ь,') взаимно обратны. Справедливо следующее утверждение о связи между матрицами (Ь'; ) и (Ьг), (Ь! ) и (Ь! ). Утверждение. Матрица (Ьг~) совпадает с матрицей (Ь") а матрица (ЬГ) совпадает с матрицей (Ь; ). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Очевидно, в силу взаимной обратности матриц (Ьг ) и (Ь'; ) и матриц (Ь) ) и (Ь) ), достаточно доказать, что совпадают (Ьс) и (Ьс). В силу (6.3) получим, что Ь; '=(е;, ег). (6.4) Аналогично с помощью (6.2) получим, что Ь, '=(е;, е'). (6.4') Правые части соотио1пений (6.4) и (6.4') равны, поэтому Ь,' =Ь)ы что н требовалось. Следствие. Для перехода от базисов еь е' к базисам ет, е' достаточно знать только матрицу (Ь; ') перехода от базиса е; к базису ег (магприца (Ь'; ) является обратной к (Ь'; ), и вычисляется по ней). Таким образом, мы приходим к следующим формулам преобразования базисов: с ег — — Ь;е,, е;=Ь; е;, (6.5) е' = Ь; 'е', ег = Ьг е".
заа. м 194 Гл. 6. Теории поля Основные ннтегральные формулы аналнаа Выведем теперь формулы преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Сначала проведем следующие рассуждения. Пусть ес .и ес — биортогональные базисы, а — про~извольнысг вектор. Тогда разложения вектора а имеют вид а4 всеь а=асес. (6.6) Биортогональный базис дает очень удобный способ вычисления коэффициентов ас и ов в разложении (6.6). Действительно, умножая первое из соотношений (6.6) скалярно на ес, в второе — на еь получаем ос=(а, ес), а;=(а, ес), 1=1, 2,...,п.
(6.7у Следовательно, формулы (6.6) с учетом соотношений (6.7) принимают вид а= (а, е')еь а= (а, ес)е'. (6.8) В частности, представляя в первое равенство (6.8) вместо вектора а вектор ес, а во второе равенство — вектор ес, получим: ес=(ес, ес)ес=пссес, ес='(еь ес)е' й';сес, где псс= (ес, е'), асс=(еь е;). Если умножить первое из соотношений (6.9) скалярно на еа, а второе — на е", то дссдса=бас, дс дса=бс», с, се=1, 2, ..., а, т. е. матрицы (асс) и (асс) взаимно обратны и по своему построению в силу симметрии скалярного произведения симметричны.
Выведем формулы преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Если е; — старый базис, а ег — ноьый, е' и е' — биортогональиые к ним базисы и если аг а Е" то, как мы знаем, из формул (6.7) следует, что а; =(а,е;), Подставляя в правую часть этого соотношения вместо ес. его выражение из (6.5), получим с с с ас =(а, Ьс ес)=Ь; (а, е,)=Ь, аь $1. Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты оператора 195 Итак, координаты аз вектора а, разложенного по базису е" (биортогональному к новому базису е; ), в новом базисе е' имеют вид а, =Ь,'аь (6.10) здесь (Ьг) — матрица прямого перехода от старого базиса ез к новому базису езь а,— координаты вектора а в разложении по биортогональному базису е'. а=а;е'. Таким образом, координаты рл при переходе от старого ба( зиса е; к новому ег преобразуются с помощью (Ь;) — матрицы перехода от старого базиса к новому по формуле (6.10).
Поэтому говорят, что координаты а; преобразуются «согласованно», и эти координаты называются кона ри антными (что означает «согласованно изменяющийся») координатами вектора а. Если теперь согласно формулам (6.7) записать а"=(а, е") и подставить сюда вместо е' его выражение из (6.5), то а" =(а, Ь'; ет)=Ь'; (а, е') =Ь; 'а'. Из формулы (6.11) видно, что при переходе к новому базису координаты и' в разложении вектора а по старому базису е;(а=а'е;) преобразуются с помощью матрицы (Ь; ) перехода от нового базиса к старому. Поэтому говорят, что координаты а' преобразуются «несогласоваино», и эти координаты называются контр а вар на нтны ми (что означает «противоположно изменяющийся») координатами вектора а. 4. Инварианты линейного оператора.
Дивергенция и ротор. Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что у нас рассматривается трехмерное пространство Е'. Рассмотрим произвольный линейный оператор Л в этом пространстве. Напомним, что оператор Л называется линейным, если для любых векторов а и Ь и любых вещественных чисел Х и 1з справедливо равенство А()а+рЬ) =т 4а+рАЬ. Пусть е; и е' — биортогональные базисы в Е'. Ниже нам понадобятся два равенства, справедливые для линейного опера. тора А: 1) (еь Ле') = (е', Ле,) м. " Напомним, что если в выражении у сомножителей встречаются повторя- 7» 196 Гл 6. Теория поля Основные интегральные формулы анализа 2) е~ ХАе'= е'ХАег (аХЬ означает векторное произведение векторов а и Ь).
Докажем эти соотношения. Согласно формулам (6,9) чим е'=д'зез, е;=Имея. Поэтому (еь Аег) = (йг еа, Ад'зез) =дмй'з(ез, Аез) = =б,з(ел, Аез) = (е', Аез) = (е', Аег). полу- Выше мы воспользовались тем, что матрицы (дг ) и (д'з) взаимно обратны и оимметричны. Соотношение 1) доказано. Перейдем к доказательству соотношения 2).
Используя те же равенства для е' и ег и свойства матриц (доя) и (д'з), получим е; х Аег=д~зез х Лдгаез=аглае'е' х Ае„= = бае' х Аез = ел х Ае„= ег х Аеь Запишем, используя формулы (6.5): е;=Ьг ее, е'=Ь;е ', ев (Ьз)— где (Ьг ) — матрица перехода от базиса е, к базису обратная ей матрица. Тогда (еь Ае')=Ь) Ьл (егь Ае') = =бас (егч Аез') =-(ег, Ае"). Сравнивая первый и последний члены н этой цепочке равенств„ получаем доказательство утверждения. кяпиеся индексы, один нз которых вверху, а другой — внизу, то суммировании проводится по этим индексам. Некоторое выражение называется инва риантом (или инв а р и а н т н ы м), если оно не меняется при преобразовании базиса пространства. Например„инвариантом является скалярное произведение двух векторов, значение скалярной функции в данной точке пространства. Рассмотрим некоторые величины, связанные с оператором А, являющиеся инвариантамн.
Пусть е; — базис пространства Ез, е' — бнортогональный базис. У т в е р ж д е н и е 1. Величина (еь Ае') (или ей равная (е', Ле;) ) — инвариант. Доказательство. Необходимо показать, что если перейти к другому базису е~ (е" — биортогональный базис к е, ), то будет выполнено равенство (еь Ае') =(е, Ае'). $1. Обознзчеиия. Биортогонзлъные базисы. Инззризиты оператора 197 Определен~не 1. Инвариант (еь Ае') (или (е', Ае;)) линейного оператора А называется д ивер генз(и ей э того о п вратат ар а и обозначается йчА. Таким образом, с11чА=(еь Ае') =(е', Ае;)'. 3 а ме ч а н и е 1.
Всякий линейный оператор в данном базисе е; однозначно может быть задан с помощью матрицы, называемой матрицей линейного оператора. Для построения этой матрицы достаточно задать оператор на базисных векторах еь т. е. задать векторы Аеь Разлагая эти векторы Ае~ по базису еь получаем Аез= але, и (ет, Ае;) = а;з (е1, ез) = а;т. (6.12) Матрица (а,з) и есть матрица линейного оператора А в базисе еь Теперь дивергенция оператора А может быть выражена через элементы матрицы (ар): йчА= (еь Ае') = (е', Ае~) =аз'+азз+азз. Замечание 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
