ilin2 (947409), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Поскольку 1(Н=р, то Ла (М) о (р) = Ае+ —. Р Р Переходя в этом соотношении к пределу при Р-ьй, получаем формулу (6.20), т. е. то, что и требовалось доказать. Вернемся снова к рассмотрению формулы (6.19): Ьа(М) =АЬ+о(Ь1|), Здесь А — линейный оператор, действующий на вектор Ь нз Е'. Как мы знаем, в фиксированном базисе всякий линейный опера- $2. Скалярные я векторные поля. гькффереяпквлькые операторы 203 тор определяется своей матрицей. Найдем матрицу линейного оператора А в ортоиормированном базисе 1, 1, Ь, с которым связана декартова прямоугольная система координат Охуг. Пусть в этом базисе вектор а(М) имеет координаты Р, Я, )г. Согласно формулам (6.20) — = — = А1, — = — = А1, — а = — о = АЬ.
(6.21) д! дх д) ду д'к дг о По формулам (6.13) вычисляем элементы матрицы А оператора А: ! дР дР дР дх ду дг ае ае ае дх ду дг ай дй дгт дх ду дг ! 1 ! а! аг аз а! аз аз з з з а! аг аз о А= (6.22) 2. Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля. Пусть а(М) — дифференцнруемое в области )9 векторное поле. Тогда согласно (6.19) Ла(М) =АЬ+о((!Ь!!), где А — линейный оператор, зависящий от точки М, вектор Ь вЂ” приращение аргумента а(М), о(!!Ь|!) — вектор, стремящийся к нулю прн (!Ь!(-6. Определение 1.
Дивергенцией векторного поля а(М) в точке М называется дивергенция линейного оператора А из условия дифференцируемости (6.19): й)ч а(М) = й(ч А. Определение 2, Ротором векторного поля а(М) в то ч к е М называется ротор линейного оператора А из условия дифференцируемости (6.19): го1 а(М) =го( А. Заметим, что поскольку векторное поле днфференцируемо во всей области Р, то 61ча(М) и го1а(М) определены в каждой точке М области 0 Зги величины по своему определению инвариантны, т. е. не зависят от выбора базиса. Поэтому 61ча(М) представляет собой скалярное поле, а го1а(М) — векторное поле.
Выберем ортонормнроваиный базис 1, ), Ь и свяжем с ннм декартову прямоугольную систему координат Охуг. Пусть координаты поля а(М) в базисе з, 1, 1с есть Р, Я, К. Матрица оператора А в этом базисе нами уже найдена (см. формулу (6.22)). Поскольку д(па(М) =йззчА, но формуле (6.14) сразу получаем 6 1 ч а (М) = (1, А!) + (1, А1) + (К АК) = =аз+ аз+ аз = — + — + — т=(!Р, а(М)), (6.23) г з дР дЕ дй' дх ду дг 204 Гл. б. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа где р=! — +) — +й —, а(М)= =Р+а+т. д д д дх ду дг Далее, так как го!а(М) =го(А, то по формулам (6.15) и '(6.221 получим го! а(М) = ( — — — ) 1+ ( — — — ) ) + (6.24) 1 ) 1с д д д / до др'1 + ~~ — — — ) й=)уха= ( дх ду / дх ду дг Р Я /! Написанный определитель — символическая запись ротора, удобная для запоминания.
Вычислим производную векторного поля а(М) по направлению е, воспользовавшись формулой (6.20). Поскольку единичный вектор е имеет координаты (соз сг, сов (), сову), то да (М) де =Ае=А((ссва+1соз()+ ясону)= сими(А1) + соз р (А1)+ соз у (Ак). Далее, по формулам (621) А! = —, А) = —, А1с= —. дх ду дг Поэтому да (М) да да да = соз а — + соэ р — + сои у —. де дх ду дг Учитывая, что а=Р1+Щ+Ис, запишем еще одно выражение для производной по направлению: да(М) / дР др дР = ( — соза+ — созр+ — сон у) 1+ де (, дх ду дг + ( — соза+ — соз()+ — созу) )+ / дЯ дО дО (, дх ду дг / д/( д/т дЯ + ~ — соза+ — сон р+ — созу ) Ь.
( дх ду дг 3. Некоторые другие формулы векторного анализа. Допустим, что в области 1я заданы скалярное поле и(М) и векторное поле а(М), причем все частные производные второго порядка функций $2. Скалярные н аекторные поля. Лнфференпнальные операторы МЗ и(М) и а(М) непрерывны в области с!.
Тогда йча(М) — дифференцируемое скалярное поле, пгаб и и го1 а(М) — дифференцируемые векторные поля. Следовательно, можно повторно применять дифференциальные операторы пгаб, йч, го1, н имеют смысл следующие операции: го1 йтаб и, йч агат! и, пгаг! йч а, йч го1 а, го1 го1 а. Пусть 1, 1, й — фиксированный ортонормированный базис, с которым связана декартова прямоугольная система координат Охуа. Утверждение. Имеют место следующие пять соотношений: го1ягаби= р х Чи=О; дги д'и д'и йчйгаби=(Ч, Чи)=Чи= — + — + —; дх* ду' дг' I деР дге! дттт т йгабйча=Ч(Ч, а)= ! — + — + — ) !+ 1 дхе дхду дхдг) йчго1а=(р, Ч х а)=0; го1го1а=Ч х (Ч х а) =агат(йча — Ла, еде д д д Ч=! +! +" —. дх ду дг Доказательство. Все эти формулы доказываются по одной схеме: последовательно применяются дифференциальные операторы к скалярному или векторному полю.
Докажем, например, ! ди первое равенство. Вектор йтаб и=туи имеет координаты '! дх' ди ди ! — — поэтому для го1 пгаб и=ЧХпгаг( и по формулам ду' дг ) (6.24) получаем выражение / даи дги го!агади=Ч х йгайи= ( — — — ) !+ (, дуда даду) Докажем второе равенство (см. формулу (6,23)): д д д йч ягаб и = (Ч, Ч и) = (! — + ! — + !г —, дх ду дг 206 Гл. 6, Теория поля. Основные интегральные формулы анализа ди . ди ди 1 дзи д"'и ази — 1+ — )+ — й) = — + — + — = сзи. дх ду дг ) дхз дуз дг' Символ Л («дельта») имеет специальное название — оператор Л а п л а с а т>. Символически можно записать: Л=~7з.
Докажем еще третье соотношение, предоставив доказательство двух остальных равенств читателю. Запишем соотношение игас) 41ч а = т1(тт, а) = 17 ~ — + — + †) = У Ь, т дР дО д1т 1 ~ дх ду дг ) где Ь вЂ”вЂ” — + +— дх ду дг Далее, хь= — 1+ — 1+ — й. аь аь . аь дх ду дг Подставляя вместо Ь его выражение, получим правую часть третьего соотношения. Утверждение доказано.
3 а меч ание. Как уже неоднократно подчеркивалось, величины вагаб и, Йчи, го(а инвариантны. Поэтому инвариантны и величины го(пгаг(и, Йчягаби, Огас) Йч а, Йч го(а, готго(а. Следовательно, в любой системе координат имеем, например, что го(нгаби=О, Йчнгаби:=тли= д'и дзи дзи = — + — + —, Йчго(а=О. дхз дуз дга 4. Заключительные замечания. Обсудим физический смысл рассмотренных понятий дивергенции и ротора. Дивергенцию век- дР дф д1т торной функции Йч а = (у, а) = — + — + — еще называют дх ду дг р асход им о стью. Она определяет скорость изменения каждой компоненты вектора в своем «собственном» направлении.
Если векторное поле описывает поток жидкости, то положительность дивергенцни (Йча)0) в данной точке означает, что нз этой точки вытекает больше жидкости, чем в нее притекает. Говорят, что такая точка служит источником. Если же Йч а<0, то наблюдается обратный баланс и точка служит стоком, т, е. в нее притекает больше, чем вытекает. Если Йч а=О, то существует баланс в жидкости притекает столько же, сколько и вытекает. Величина ротор векторного поля ! дО дЯ 1 .
/ д17 дР 1 . го(а=~ зс а= ( — — — ) 1+ ~ — — — ~ )+ дг ду ) (, дх дг ) т> Пьер Симон Лаплас — аыпающийся французский астроном, математик и физик (1749 — 1827). 207 $3. Осноаные интегральные формулы анализа (с д д д дх ду дг Р Я й еше называется в и х р е и, Это название связано с тем, что он как бы «смешивает» производные и компоненты. Он как бы «следит», как меняются компоненты векторного поля а (М) в «чужих» направлениях. Таким образом, ротор — это мера «вращения» векторного поля. Кстати, если Ч вЂ” линейная скорость, то вектор ез угловой скорости вращения есть аз=(!/2)го(Ч. Этот вектор направлен по оси вращения. Отсюда и возникло название ротора. В заключение приведем систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме: 1) ЙуЕ =— 2) б(у В=О; ее 3) гоТЕ= — —; дВ 4) го(В= — + — ° —.
1 дЕ д( еаст ее д( Здесь р(М, 1) — плотность электрического заряда (количество заряда, отнесенное к единице объема), )(М, () — вектор плотности электрического тока (скорость протекания заряда через единичную площадку), Е(М, !) и В(М, 1) — векторы напряженности электрического и магнитного полей соответственно, ео и е — размерные постоянные, с — скорость света в вакууме. $3.
ОснОВные интеГРАльные ФОРмулы АнйлизА В этом параграфе будут доказаны основные интегральные формулы анализа — формула Гринаа>, формула Остроградского— Гаусса' > и формула Стокса!о>. Эти формулы, с одной стороны, являются далеко идущими обобщениями формулы Ньютона— Лейбница — основной формулы интегрального исчисления,а с другой стороны, являются важнейшими формулами математического анализа и математической физики. 1, Формула Грина. Пусть ж — плоскость в пространстве Е', ы — единичный вектор нормали к и, а) — односвязная область на л (напомним, что область 0 называется односвязной, если любая кусочно гладкая замкнутая без самопересеченнй кривая, расположенная в (), ограничивает область, все точки которой также принадлежат й). Пусть, далее, область Ет удовлетворяет следующим двум условиям: а> Дж.
Грин — английский математик (1793 — 1841). ы М. В. Остроградский — русский математик (1801 †18), К. Ф. Гаусс ееменкий математик (1777 †18!. 'ы Дж. Г. Стокс — английский физик и математик (18!9 †!903). 208 Гл б, Теория поля. Основные интегральные формулы анализа ) ) (к, го1 а) до = ф (а, 1) д!. с (6.25) Выражение справа обычно называют циркуляцией векторного поля а по кривой С, а выражение слева — пот о к о м в е к т о р н о г о п о л я го1 а через область Б. Данная формула допускает такую физическую трактовку: поток векторного поля го1а через область 0 (поток тепла, жидкости и т. п.) равняется циркуляции векторного поля а по замкнутому контуру С (работе сил поля а по перемещению точки вдоль С). Доказательство. Поскольку все входящие в формулу (6.25) функции непрерывны, то оба интеграла существуют.
Заметим также, что интегралы слева и справа в формуле (6.25) инвариантны относительно выбора прямоугольной системы координат, поскольку величины ((с, го1 а) и (а, 1) инвариантны, элементы площади до и длины дуги д1 не зависят от выбора декартовой системы координат. Поэтому достаточно доказать формулу (6.25) в какой-то одной специально выбранной системе.
Выберем декартову прямоугольную систему координат Охух так, чтобы выполнялось условие 2), и ось Ог направим вдоль й, Поскольку векторное поле а=Р(х, у)!+О(х, у))+1«(х, у)1с плоское, то 1«(х, у)=0, 1=(сова, совр, сову)=(сова, совр, 0)= =(соэа, в(па, О). Следовательно, можно записать: 1) граница С области 0 является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек; 2) на плоскости и можно выбрать такую декартову прямоугольную систему координат, что все прямые, параллельные координатным осям, пересекают С не более чем в двух точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
