ilin2 (947409), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Величина а|'+азз+аз' в линейной алгебРе называется матричным следом оператора А. Там же доказывается, что этот матричный след равен сумме собственных чисел оператора А с учетом их кратности (спектральному следу оператора), т. е. а,'+ азз+аз' — — 7., +7 з+Ъ з, где 1ч, лз, )з — занумерованные с учетом их кратности собственные числа оператора А. Ясно, что сумма 7,~+7з+),з не зависит от выбора базиса пространства. Следовательно, и йчА не зависит от выбора базиса, т.
е. является ннвариантом. Это еще одно доказательство утверждения об инвариантности дивергенции. Утверждение 2. Величина е;ХАе' (или ей равная е'ХАе~)— инвариант. Доказательство, Пусть е; — новый базис (е" — биортогональный базис к ег ). Запишем согласно формулам (6.5): е, = Ьт ев, е' = Ь, е'.
с с Подставив эти величины в выражение е;ХАе', получим ег Х Ае'=-~ь~ ~ь;ез х Ае~'= б',е, х Ае'=е~ Х Ае". Таким образом, инвариантность величины е;ХАе' доказана. О п р е де л е н н е 2. Инвариант е; ХАе' (или е'ХАе ) линейного оператора А называется ротором этого оператора и обозначается го1 А. 198 Гл 6. Теория поля Основные ннтееральные формулы анализа Таким образом, го1А=е;ХАес=е'ХАе;=е~ ХАе'+езХАе'+ +ез ХАе'=е'ХАес+е'ХАез+е'ХАез. а,'= (1, Ас), аз'= (1, А1), аз'=(1, А)с), асз = (), А1) азз = (1, А!), азз= (1, А)с), (6.13) а,з (й А!) азз (1с, А)), азз (й Ай) Поэтому с)!У А =а,'+азз+азз= (1, А1)+ (1, А))+ (1с, А)с).
(6.14) Найдем выражение для го1А. Имеем го1А =!ХА!+! ХА)+)с ХА)с. Осталось вычислить векторные произведения слагаемых справа через элементы матрицы оператора А. Запишем по формуле (6.12): А!=а,с!+пса!+а,Чс. !ХА!=а~с)Х1+асз! Х!+а~ЧХЙ= псз) + пса)с, 1ХА)с азЧ вЂ” азск, )сХА)с= — паз!+аз'). Поэтому Аналогично Поэтому го1 А = (азз — аз')! + (аз' — асз) )+ (асз — аз') 1с. (6.15) й 2. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 1.
Скалярные и векторные поля. В теории поля рассматриваются функции, которые каждой точке М фиксированной области 0 сопоставляют некоторый специальный объект а(М), называемый тензором. В этом случае говорят, что в области 0 задано т е и з ор н о е п о л е. Мы будем изучать только два простейших частных случая тензорного поля, а именно скалярное и векторное поля. 5. Выражения для дивергенции и ротора линейного оператора в ортоиормированном базисе.
Пусть в пространстве Е' выбран оргонорз ированный базис 1, 1, )с. В этом случае, как уже говорилось, биортогональный базис совпадает с самим собой (см. п. 2). Согласно формулам (6.12) получаем й 2. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы 199 Будем говорить, что в области О задано скалярное поле, если каждой точке М этой области сопоставлено по некоторому закону определенное число и(М).
Таким образом, понятия скалярного поля н скалярной функции, определенной в области О, совпадают. Аналогично говорят, что в области О задано векторное пол е, если каждой точке М этой области сопоставлен по некоторому закону вектор а(М). Таким образом, понятия векторного поля и векторной функции, определенной в области О, совпадают. Пусть, например, Е(М) — напряженность электрического поля, созданного единичным отрицательным зарядом, помещенным в начало координат трехмерного пространства Ез. Тогда в точке М(х, у, г) вектор Е(М) имеет, как известно, длину 1/р, где р= =(х'+у'+гг)иг, и направлен от точки М к началу коордииат. Получаем следующую формулу для задания данного векторного поля Е(М) .
х у г Е(М)=~ — —, — —, — — ~. рз ' рз ' рз Другими примерамиг скалярного и векторного полей могут быть скалярное поле температур внутри нагретого тела, векторное поле скоростей установившегося потока жидкости и т. д. Приведем еще ряд примеров скалярных и векторных полей, играющих важную роль в анализе и физике, Для этого понадобится изучить понятие дифференцируемости скалярного и векторного полей. Поскольку скалярное поле — это числовая функция, заданная в области О, то понятие дифференцируемости скалярного поля (этой числовой функции) мы уже знаем (см, определение и.
2 $4 гл. 12 ч. 1). Напомним это определение, заменяя слово «функция» на слова «скалярное поле». Пусть задано скалярное поле и=1(х, у, г) в области О из Ез. О и р е д е л е н и е 1. Скалярное поле и =1(х, у, г) =1(М) называется д и ф ф е р е н ц и р у е м ы м в т о ч к е М (х, у, г) области О, если его полное приращение Ли(М) в этой точке может быть представлено в виде Ли (М) =А, Лх+АгЛу+АзЛг+а|Лх+агЛу + азЛг где Аь Аг, Аз — некоторгяе не зависящие от Лх, Лу, Лг числа, а аь аг, аз — бесконечно малые при Лх — О, Лу-+-О, Лг — О функции, равные нулю при Лх=О, Лу=О, Лг=О.
Условие дифференцируемости скалярного поля и=1(х, у, г) (как показано в и. 2 $ 4 гл. 12 ч. 1) может быть записано в виде Ли(М)=АгЛх+АгЛу+АзЛг+о(р), где р= (Лх'+Лу'+Лг') пг, причем это представление единственно, 200 Гл, 6, Теория поля. Основные интегральные формулы анализа Эту формулу можно переписать в более компактном виде: Ли(М) = (А, Ь)+о()~Щ), (6.16)' где (А,)з) — скалярное произведение векторов А=(Ль Аг, Аз), )з=(Лх, Лу, Лз), 11111)=р.
Таким образом, можно дать следующее О и р е д е л е н и е 1'. Скалярное поле и(М) д и ф ф е р е н ц ар уе ма в точ ке М, если в этой точке для полного приращения справедливо соотношение (6.16). Скалярное поле и(М) д и ф ф еренцируемо в области Р, если оно дифференцируемо в каждой точке этой области. Напомним (см. и. 8 $4 гл. 12 ч. 1), что условие дифференцируемости (6.16) может быть переписано в виде Ли(М) = (йтай и, Ь)+о(~~)з()), (6.17) где вектор ягайи(М)= ~ 1 ди(М) ди(М) ди(М) дх ду дг Формула (6.17) приводит нас еще к одному примеру векторного поля„а именно к полю градиента дифференцируемого в области Р скалярного поля и(М). Определение градиента не зависит от выбора системы координат, и поэтому он является ~инвариантом а'.
Согласно рассмотрениям п. 8 $ 4 гл. 12 ч. 1 в случае дифференцируемости поля и(М) можно ввести производную и(М) по направлению вектора е: «~ Своим понвлением на свет понятие градиента обязано выдающемуся шотландскому физику, создателю математической теории электромагнитного поля Джеймсу Клерку Максвеллу (183! †18) и происходит от латинского слова ягад(ог, означающего «расти». Как мы знаем из ч. 1, главное свойство градиента состоит в том, что он определяет направление наибыстрейшего спуска. Поэтому Максвелл собирался сначала назвать этот вектор словом з1оре «склон», Ирландский математик и механик Вильям Роуен Гамильтон (1805— !865) придумал для этого вектора специальное обозначение »г — перевернутую греческую букву Л («дел ь та»). Таким образом, если й 1, и — фиксированный ортонормированный базис, то ди ди ди йгаб и = 17и = — 1 + — 1+ дх др дг д д д д=1 — +1 — +и— дх дд дх' Сначала название значка тг было «атлед» вЂ” прочитанное наоборот слово дельта.
Затем английские ученые (О. Хевисайд, Р. Смит) чаще стали называть этот значок словом «набла» (из.за сходства с остовом древиеассирийского музыкального инструмента иаблы). Набла — очень удобное в физике обозначение, иногне формулы с его применением сильно упрощаются. Сам Максвелл посвятил набле специальную оду в восьми частях. й 2. Скалярные н векторные поля.
Дифференциальные операторы 20! — =(е, йтайи). дн де (6.18) Ьа(М) =-Ай+о(ЦЬЦ), где А — некоторый линейный оператор в Еа, (6.19) (т=(дх, Лу, Лг), ЦЩ = (йха+Луа+Л~а) ыа, о(Ц(тЦ ) — вектор, длина которого стремится к нулю при Ц(тЦ-ь0. Утверждение. Если векторное поле дифференцируемо, то представление (6.19) единственно. Действительно (см. также дополнение 2 к гл. 12 ч.
1), если бы было два представления вида (6.19), т. е. Ьа(М) АЬ+о1 (ЦЬЦ), Ьа(М) =ВЬ+оа(ЦЬЦ), (А — В) И=о(ЦЬЦ), то где о(ЦЬЦ) =о,(Ц(тЦ) — оа(ЦЬЦ). Разделив на ЦЬЦ обе части полученного равенства, получим (А — В)е= ||н!! Ь где е = — — Вектор единичной длины.
Справа стоит бесконеч|!ь|! но малый вектор (его длина стрем~ится к нулю при ЦИ -О), следовательно, для любого единичного вектора е величина слева равна нулю: (А — В) е=б. Но если два линейных оператора А и В совпадают на единичной сфере, то они равны, очевидно, на любом векторе, т. е. совпадают всюду. Следовательно, А=В. Производная по направлению задает, очевидно, некоторое новое скалярное поле в области В. Перейдем к изучению д~ифференцируемого векторного поля. Понятие дифференцнруемости векторного поля дается в полной аналогии с понятием дифференцируемости скалярного поля, и это понятие было нами дано в дополнении 2 к гл.
12 ч. 1. Пусть в области )л пространства Еа задано векторное поле а(М) (векторная функция а(М) точек М, принадлежащих 0), Напомним, что а(М) каждой точке М(х, у, г) ставит в соответствие вектор а(М). Определение 2. Векторное поле а(М) называется диффер е н ц и р у е м ы м в т о ч к е М области В, если его полное приращение Ьа(М) представляется в виде ЗО2 Гл. б. Теория поля, Основные интегральные формулы аналнаа Так же, как и в случае скалярного поля, векторное поле дифференцируемо в области Р, если оно дифференцируемо в каждой точке области Р. Как и в случае скалярного поля, возникает вопрос об определении производной по направлению для векторного поля а(М).
Пусть М вЂ” точка области Р, е — единичный вектор с координатами сон а, совр, сову, определяющий некоторое направление. Пусть М' †.любая точка из Р, отличная от М и такая, что вектор йчйт' коллинеарен вектору е. Обозначим расстояние между М н М' через р. Определение З.Производной векторного поля а(М) е точке М по направлению е назьгвается предел отношения Ьа(М) да(М) да а~е р де де (в случае, если этот предел существует). Здесь Ьа(М) =а(М')— — а(М).
Утверждение. Пусть векторное поле а(М) дифференцируемо, А — линейный оператор, определяемый из соотношения дифференцируемости (т. е, из соотношения Ьа(М)=АЬ+о(|(Ь11)). Тогда да производная — поля в этой точке М по любому направлению де е существует и определяется равенством да (М) А (6.20) де Интересно сравнить эту формулу с формулой (6.18). В формуле (6.18) справа также стоит результат действия оператора А = = (Аь Ат, Аа) на вектор е. Результат этого действия и есть скалярное произведение градиента поля и вектора е. Доказательство. Пусть е — фиксированный вектор. Выберем точку М' так, чтобы Ь=ре. Тогда согласно (6.19) получим Ьа(М) =РАе+о(~1Ь!~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
