ilin2 (947409), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Те о р е м а 6 4, Пусть функции Р(х, у), 1г(х, у) непрерывны в О. Для любых двух точек Асад, Ве0 значение интеграла ) Рйх+ Гаду не зависит от кусочно гладкой кривой АВс:В, соединяющей точки А и В, тогда и только тогда, когда поле а(х, у) =(Р(х, у), () (х, у)) потенциально. В этом случае ~ Рдх+Яйу=У(В) — (1(А), где (1(х, у) — потенциал поля а(х, у). До к аз ател ьство. Достаточность. Пусть а(х,у) =(Р(х, у), 1г(х, у))=цгада (х, у) = ( —, — ~. д» ду Произвольные точки А и В из области В соединим некоторой кусочно гладкой кривой АВ, и пусть х=х(1), у=у(1), а(1(Ь— ее параметрическое представление. В силу непрерывности д11 д» д0 и — заключаем, что функция бг(х, у) дифференцируема в В.
ду Тогда по формуле Ньютона — Лейбница получаем $4. Условия неаавнсимости криволинейного интеграла на плоскости 2!Э ь ~ Рг(х+ 9(у = ~ (Р(х((), р(()) х'(() +Я(х((), у(Е)) у'(~)) сЫ = лв л ь = ') Гь((=(У(х(Ь), у(Ь)) — И(х(а), у(а))=()(В) — И(А).
а Необходимость. Фиксируем в й некоторую точку Мп(ха, ро) и пусть М(х, у) — произвольная точка области Й, Положим (г'(М) = ) Рт(х+ Яф, ь~,м где интеграл берется по любой кусочно гладкой кривой, соединяющей точки Мо и М (см. рис. 6А). Покажем, что так определенная функция и(х, у) является искомым потенциалом поля а (х, л) =(Р(х, у), Я(х, у)). Докажем, аи например, существование дх и равенство — = Р(х, у), От точаи дх ки М(х, у) сместимся в точку Л'(х+тах, у) так, чтобы отрезок Мтт' содержался в П. Это можно сделать для всех достаточно малых приращений Лх, так как 0 — открытое множество, состоящее из внутренних точек.
При таком смещении функция (Г(х, и) получит приращение У (х+ Лх, р) — У (х, у) = ) Рсх+ Яг(у — )' Рггх + Яг(у = м,м.т м.м = 1 Рг(х+Фу. На отрезке Мгт' координата у имеет постоянное значение, и, следовательно, ~~а(У=о. ььт Поэтому и(х+Лх,д) — и(х,д)= ~ Ы = ~ Р(~,у)((. 220 Гл. 6. Теория поля, Осаоаные интегральные формулы анализа В силу непрерывности функции Р(х, д) из теоремы о среднем получим У(х+Лх, у) — У(х, у) =Р(х+6Лх, у)Лх, где 0<6<1, откуда Г х + ~ У 1 ( У 1 Р ( х + 6 Л х у ) ох Переходя к пределу при Лх- О в силу непрерывности функции Р(х, у), получаем„ что предел существует и — =Р(х, у). дУ дх Совершенно аналогично доказывается равенство ди(х, у) ду Теорема 6.4 доказана.
Если поле а(х, у)=(Р(х, у), Я(х, у)) потенциально и функции Р(х, у), Я(х, у) вместе со своими частными производными непрерывны в области 11, то должно выполняться равенство ду дьг ду дх ' которое означает равенство смешанных производных: дзс/ дзУ дудх дхду В силу теоремы 6.4 необходимым условием независимости криволинейного интеграла ') Рбх+ Яду лв от пути интегрирования при условии непрерывности функций Р(х, у), Я(х, у) и их частных производных в области а) является легко проверяемое равенство дР дО дх дх Если область 0 односвязна, то это условие будет и достаточным для независимости интеграла 1Рг(х+®у от выбора кривой, лв соединяющей данные точки А и В.
Чтобы при изложении не использовать не доказанную в общем случае формулу Грина (см. замечание 2 к теореме 6.1), рассмотрим сначала случай, когда область х1 является кругом. й е. Условия независимости криволинейного интеграла иа плоскости 221 Теорем а 6.5. Пусть функции Р(х, у)', Я(х, у) и их частнывпроизводные непрерывны в некотором круге К.
В этом случав поле а(х, у)=(Р(х, у), Я(х, у)) потенциально в этом круге тогда и только тогда, когда в К дР дЯ ду дх Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, требуется доказать только достаточность условия. Через центр круга, точку Ма, проведем прямые Мех' и Моу', параллельные координатным осям Ох и Ор. соответственно. Из произвольной точки М(х, у)енК опустим перпендикуляры ММ1 и ММз на Мех' и Моу' соответственно. Точку Ма соединим с точками М1 н Мз отрезками МеМ1 и МеМз. Применяя формулу Грина (6.25') к прямоугольнику МаМгММа получаем Рдх+Ядй= О( — — — ) дхду=О, о м»м»мм» откуда следует, что Рдх+ Яду = ) Рдх+ Яду, м»м»м м,м„и т. е.
интеграл )Рдх+Яду не зависит от двузвенной ломаной у„ соединяющей фиксированную точку Ме с некоторой точкой М. Поэтому определим функцию У(М)= ~ Рдх+ 13с(у, м,м где М,М вЂ” двузвенная ломаная, звенья которой параллельны ко- ординатным осям. Проверка, что так определенная функция. О(х, д) является потенциалом данного поля а(х, у), проводится аналогично той, которая проведена при доказательстве теоремы 6А. Теорема 6.5 доказана.
Замечание. Теорема 6.5 справедлива в случае произвольной односвязной области О. Чтобы убедиться в этом, докажем, что для независимости криволинейного интеграла ) Рдх+ Яду Хв от выбора кривой АВ, соединяющей точки А и В, достаточнсг д, де) выполнение в области 0 условия ду дк Пусть Š— произвольная замкнутая кусочно гладкая кривая, расположенная в О. Обозначим через Ве область, которую 322 Гл, 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа ограничивает кривая 0. В силу односвязности области 0 каждая точка области 0* принадлежит О. Применяя к области 0* формулу Грина (6.25') (см.
замечание 2 к теореме 6.1), получим $ Рг(х + ( |с(у = ~ ~ ~ — — ) с(хс(у = О. в. Отсюда следует, что для любых фиксированных точек А и В области 0 и любых двух кусочно гладких кривых АСВ и АС'В, соединяющих эти точки, выполняются равенства: О= ( Рбх+Цг(у= ~ Рг(х+Г)г(у+ ~ И +Э(у= АСВО ВС'А АСВ ВС'А Рг(х + Яс|у — ) Рг)х + Яду. АСВ Ас В Поз'гому ') Рс(х+ф(у= ~ Рг|х+Яг|у. АСВ АС'В Следователыю, значение интеграла Рг(х + 9~у ,АВ не зависит от кусочно гладкой кривой АВ, соединяющей точки А и В.
й а. некОтОРые примеры пРилОжениЙ теОРии ПОЛЯ 1. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл. Пусть 0 — односвязная область с границей С, удовлетворяющей условиям теоремы 6.1. Полагая в формуле Грина (формула (6.25')) Р= — у, Я=х, получим Д 2г|хс(у =- ~ — ус(х + хг(у. о с Для площади б(0) области 0 на плоскости имеем следующее выражение через криволинейный интеграл по ориентированной границе атой области: б (О) = — ()) — ус(х + хггу. 1 С 2У с $ о. Неиоторые примеры приложеиий теории поля 223 С помощью полученной формулы найдем площадь области, ограниченной циклоидой х=а(1 — яп1), у=а(1 — соз1), Ои 1~ (2л, а>0, и прямой у=0.
Так как ~ — ут(х+хе(у=0, где у — отрезок 0(х(2л, у=0, то в соответствии с положитель- ной ориентацией контура получим о (О) = — ( ( — а' (1 — соз 1)'+ а' (1 — яп 1) з(п 1) 411 = 2 ае г е ая = — ~ (2 — 2 соз1 — 1яп 1) т(Г = 2ла' — — ~ 1яп1 Й = 2 2 = 2 па'+ — (1 соз 1) ~ = Зла', 2 1о 2. Выражение объема через поверхностный интеграл. Пусть .Π— односвязная область в Ее с границей 5, удовлетворяющей условиям теоремы 6.2 (формула Остроградского — Гаусса). Положим, что в области О Р(х, у, г) =х, О(х, у, г) =у, И(х, у, г) =г. Эти функции удовлетворяют условиям, при которых справедлива формула Остроградского — Гаусса, поэтому Цхбуе(г+ уе(гах+гдхт(у= ~ Ц Зйхс(ут(г=ЗУ(О), 8 'и где я'(О) — объем области О.
3. Рассмотрим векторное поле, которое создает электрический заряд величины д. Поместим этот заряд в начало координат. Сила, действующая на единичный заряд, помещенный в точку М(х, у, г), по закону Кулона выражается формулой Е(М) = 4лер т' где г — РадиУс-вектоР точки М, г= Гх'+Ут+гт, ае — постоЯннаЯ. Электростатическое поле Е потенциально в Е"~(0). Напомним, что поле а(М) называется потенциальным в области О, если в этой области существует функция У(М) такая, что а(М) =пгаб У(М). й24 Гл.
6. Теория поля Основные интегральные формулы аналнаа Потенциалом поля Е служит функция Ф(М) = — —. —. и ! 4наа Поле Г, создаваемое точечной массой т, помещенной в начало координат, называется г р а в и т а ц н о н и ы м, и оно также потенциально. По закону Ньютона сила г(М), с которой поле действует на единичную массу, помещенную в точку М(х, у, г), выражается формулой Р(М) = — йгт —, га Потенциалом поля г во всем Е' (за исключением начала координат) служит функция с/(М) = дт —. г Для потенциального поля а(М) =(Р(х, у, г) „Я(х, у, г), В(х, у„г)), заданного в области Вс:Еа, независимость интеграла 1Рс(х+Жу+ В!г от пути интегрирования (интеграл зависит только от начала и конца пути) доказывается так же, как и в теореме 6.4, в случае области В, принадлежащей Е'.
Поэтому работа, совершаемая таким полем при перемещении единичной пробной частицы нз точки А в точку В, не зависит от пути перемещения, Если расстояния от начала координат до точек А и В равны г! и га соответственно, то эта работа поля Е равна Ф(В) — Ф(А) = 4лва ! гт га /' а работа поля Р равна (/(В) — (/(А) = агт ( — — /!. ( 1 ! ~ га гт) 225 $1. Знакопеременные полилинейные формы ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 6'з! ПНФФВРенПНАльные ФОРмы В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ й 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
