ilin2 (947409), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть, наконец, 1 — единичный вектор касательной к кривой С, согласованный с к, т. е. положительное направление обхода кривой С совпадает в точке приложения вектора 1 с направлением этого вектора, и если смотреть с конца нормали к, то контур С ориентирован положительно (его обход осуществляется против часовой стрелки). Говорят, что ориентация кривой С согласована с нормалью «по правилу штопора». Т е о р е и а 6,1 (формула Грина). Пусть а — векторное поле, дифференцируемое в области П, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, что его производная по любому направлению непрерывна в объединении ППС=0.
Тогда справедлива формула $ 3. Основные интегральные формулы анализа Далее (1с, го1а)= — — —, (а„1)=Рсоза+Яз)па. дЯ дР дх ду Так как для плоской области йо=йхйу, то формула (6.25у принимает вид Ц(1с, го1а)йо= Ц ( — ~ — — )йхйу= В = $ (Р соз а+ Я з1 и сс) й1 = — (~) Рйх + Яйу. с 'с (6.25').
Здесь мы воспользовались тем, что йх=созай1, йд=з)пай1, где 1 — длина дуги С, выбранная в качестве параметра, возрастание которого согласовано с направлением обхода С. Для доказательства формулы Грина достаточно доказать два равенства: 1 Ц дР й о с '=ОУ"" =1'" с Обратимся для наглядности к рис. 6.1. Пусть прямая, параллельная оси Оу, пересекает С в точках (х, р)(х)) и (х, уз(х)), р) (х) ~рв(х). Пуст~ наименьшая и наибольшая або- у' с циссы точек области .О, кривая С, соединяет точку (х), у)(х))) с точкой (ха, у) (ха) )', а кривая Са — тачку (хт, уа(ха)), с точкой (х), уа(х))) и С=С)()Сз, С). Сз "уФ! сг ориентированы согласованно с С. Тогда по формуле сведения двойа, х ~з ного интеграла к повторному получим Рнс.
6.1 л, уил) л, У= — ~ ~ ~ (л' У) йу ~йх= ~ Р(х, уа(х)) йх— ду л, у,(х) лг з, — ~ Р(х, у,(х)) йх= ~ Рйх — ( — ~ Рйх) = ~) Рйх. зг Сг с. с Аналогично вычисляется интеграл У. Теорема доказана. л!О Гл. 6. Теория поля Основные интегральные формулы анализа 3 а м е ч а н и е 1. Теорема 6.1 справедлива и для более общих областей Р (с границей С) таких, что с помощью конечного числа кусочно гладких кривых эта область может быть разбита на конечное число областей Р; с границами Сь /=1, 2,...,л, удов.летворяющих условиям 1) и 2).
Действительно, для каждой об.ласти Р, по доказанному формула верна. Сложив эти равенства, о гн силу аддитивности двойного интеграла слева т, Ц можно г=! р з заменить на Я~ а спРава 1 ~ = ~1 поскольку интегралы по р ~=зс; с мвнутренним» кривым'1 сократятся (так как интегрирование по ним производится в противоположных направлениях). Останется лишь интеграл по границе С области Р, 3 а м е ч а н и е 2.
В формулировке теоремы 6.1 от условия 2) можно избавиться, т. е. считать, что граница области Р есть любая замкнутая кусочно гладкая кривая С без особых точек. Однако доказательство теоремы несколько усложняется. 3 а м е ч а н и е 3. Условие на гладкость векторного поля можно также несколько ослабить. Достаточно требовать, чтобы поле .а было непрерывно в Р()С=,б, а дифференцируемо только в Р, и производная по любому направлению была непрерывна в Р. Формула (6.25) при этом сохраняется, однако входящий в нее двойной интеграл является прн этом, вообще говоря, несобственным. 3 а меч а н и е 4. Теорема 6.1, т, е.
формула Грина, верна и в общем случае областей Р с границей С, являющейся только спрямленной кривой 1зз. 3 а меч ание 5. Формула Грина (6.25) может быть записана, как это следует из доказательства, в виде (6.25') ". Интегралы слева и справа имеют инвариантный характер, т. е. их значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Действительно, значения подынтегральных выражений слева и справа в формуле (6,25') равны соответственно (1с, го1а) и (а, 1) — инвариантным величинам.
Форма подынтегральных выражений в формуле (6.25') тоже, очевидно, не меняется прн переходе к новой декартовой системе координат Ох'у'1 если в новом базисе векторное поле а имеет координаты Р'и Я',то зы Т, е, по вспомогательным кусочно гладким кривым, разоивающнм об- ласть В, См. статью Э. Г, Позняка, Е. Гь Шикина//(ДАН СССР, 1980, 253, № 1, с. 42 — 44). 21л $3, Основные интегральные формулы анализа (11, го1а)= ( — — — ) = (К, ( — — — ) й) = = — — —, (а, 1) й1 = Р йх+ (г йу = дЦ' дР' дк' ду' = (Р' соз а'+ 1с' з1 и а') йх = Р' йх' + (г' йу'.
~ ~) б 1ч а йо = Д (а, и) йз. 3 (6. 26р Интеграл справа в формуле (6.26) называется п от о ко м векторного поля а через поверхность 5, а интеграл слева в этой формуле — это объемный интеграл от дивергенции вектора по области О. Поэтому теорема 6.2 допускает такую формулировку: Объемный интеграл от дивергенции вектора по области с) равен потоку векторного поля а через поверхность 5 — границу этой области. Доказательство. Все входящие в формулу (6.26) функции непрерывны, поэтому интегралы слева и справа существуют. Заметим, что формула (6.26) инвариантна относительно выбора прямоугольной системы координат, поскольку все входящие в нее величины — инварианты.
Поэтому достаточно доказать формулу (6.26) при каком-то одном выборе декартовой системы. Вы- Наконец, якобиан преобразования при переходе к новой системе координат по модулю равен единице, а параметризация с помощью длины дуги не связана с системой координат. Поэтому интегралы слева и справа в (6.25') не меняют своего значения и формы. 2. Формула Остроградского †Гаус.
Пусть )л — односвязная область в Е' (т. е. для любой кусочно гладкой замкнутой кривой С, расположенной в 11, можно указать ориентируемую кусочно гладкую поверхность 6, расположенную в б, имеющую границей С), 5 — ее граница, удовлетворяющая двум условиям: 1) поверхность 5 — кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная замкнутая и без особых точек; 2) прямоугольную декартову систему координат в Е' можно выбрать так, что для каждой из осей координат любая прямая, параллельная этой оси, будет пересекать поверхность 5 не более чем в двух точках.
Пусть и — единичный вектор внешней нормали к 5. Справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 6.2 (формула Остроградского — Гаусса), Пусть а — векторное поле, дифференцируемое в области 11, удовлетворяюи1ей условиям 1), 2), и такое, что производная по любому направлению непрерывна в 0()5=0. Тогда справедлива формула л!2 Гл 6. Теория поля, Основные интегральные формулы анализа берем декартову прямоугольную систему координат Охуг так, чтобы выполнялось условие 2); пусть а=(Р, О, «г), п=(соз а, сов(), сон у). Тогда, учитывая, что соз а «(з = г(уа'г, соз й йз = «(г«(х, соз у «(з = «(х««у, а«олучим Д ( — + — + — ) «(х«(у«(г = Я~ (Р соз се+ Я соз !3 + )«соз у) «(и = l дР д«З д««« («дк ду дк) =- К~ (Р«(уй + О«(г«(х+ В(х«(у). Докажем, что справедливы следующие три равенства: )=И вЂ” "Дх(у(г=йр )у(2; В ,)=Я вЂ” ,'~ ыу( =(Н!а ы; о 0=Я '~ ( (уйти=(~фКИх(у.
(6.26') Ограничимся доказательством равенства для интеграла «., так как равенства для 1 и 1 доказываются аналогично. Обозначим через 0' проекцию области Р на плоскость Оху. Через граничные точки области 0' проведем при!а,у,г,) мые, параллельные Ог. Каждая 5« из этих прямых пересекается с 5 лишь в одной точке. Множество этих точек разделяет 5 на две части: 5«и 5з (см. рис. 6.2).
Если мы проведем прямую из внут(х,у, гх! оа ренней точки области Р', параллельную оси Ог, то она пересечет д поверхность в двух точках: (х, у, У г,(х, у))и5«и (х, у, га(х, у))е= ен5з; г,(х, у) ~га(х, у). Заметим, ~« что г«(х, у) и га(х, у) кусочно и непрерывно дифференцируемые «'х, у) функции в 0'.
По формуле сведения тройного интеграла к поРие. 6.2 вторному интегралу получим 213 й 3. Основные интегральные формулы анализа е1»л И ».=Ц [ ~ 'ю )»(г~ »(х»(у=ЦЯ(х,у,г,(х,у))»(х»1у— о' е,»еуе\ Ъ' — П' 1» (х, у, ге (х, у))»(х»(у = Ц Я (х, у, г)»(х»(у + 6' зю + Д )т» (х, у, г)»(х»(у = $$ 1с (х, у, г) Нх»(у. Зз 3 Здесь мы воспользовались тем, что 5=5»()5з, н соотношением — Д»с(х, У, ге(х, У))»(х»(У = ~Д»с(х, У„г)»(х»(У= Я»г сов У»й, о' справедливым в силу того, что внешняя нормаль и к поверхности 5з образует тупой угол с осью Ог (поэтому сову<0). Теорема доказана.
3 а меч а н не 1. Формула Остроградского — Гаусса (6.26) может быть доказана и в случае областей 0 более общего вида, чем указано, а именно. для таких, у которых существует конечное разбиение на области 0ь»=1, 2,...,п, рассмотренного вида. Для этого достаточно формулу (6.26) написать для каждой области 0» и полученные результаты сложить. При этом получится искомая формула. Действительно, в силу аддитивности интеграла в левой части получится интеграл по О. В правой части поверхностные интегралы по соответствующим частям границ областей ,О» в сумме дадут ноль, так как внешние нормали в точках границ областей 0ь принадлежащих границам двух таких областей, направлены в разные стороны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
