ilin2 (947409), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В силу требований, наложенных на функции (5.1), этот вектор непрерывен по и и о в некоторой окрестности произволь- Замечание 1, Поверхность Ф, определяемую уравнениями (5.1), при выполнении первого из двух требований А принято называть гл адко й, а при выполнении второго из требований А— не им ею ще й особых точек. Итак, можно сказать, что поверхность Ф, определяемая уравнениями (5.1), при выполнении этих требований А, является гладкой и не имеет особых точек. 3 а м е ч а н и е 2. Попутно мы установили, что гладкая без особых точек поверхность в достаточно малой окрестности каждой из своих точек однозначно проектируется хотя бы на одну из трех координатных плоскостей.
Рассмотрим поверхность Ф, определяемую уравнениями (5.1), для которых выполнены два требования А. Записав уравнения (5.1) в векторном виде (5.1'), выясним геометрический смысл векторной функции г(и, и). Если фиксировать некоторое значение ок во=сопз1 из области сг, то уравнение г=г(и, оо) будет определять кривую на поверхности Ф, называедг мую координатной линией, а вектор — (и, оо) будет явди ляться касательным к этой линии. Аналогично при и=и,=сопз1 уравнение г=г(ио, и) будет определять другую координатную лидг иию, а вектор — (и„п) будет касательным к этой линии. Чедо рез точку Мо(хо, уо, хо), где хо=х(ио, по), уо=у(ио, по), го= е х(ио, оо), будут проходить обе указанные линии.
Второе условие требований А, говорящее о том, что ранг матрицы (5.2) равен двум, т. е. условие отсутствия особых точек, дг дг означает, что векторы — (и„о,) и — (и., и,), компоненты котоди до рых составляют строки матрицы (5.2), являются линейно независимыми, т. е. неколлинеарными.
Это означает, что эти два вектора определяют плоскость, которая является к а с а т е л ь н о й ил ос кость ю к поверхности Ф в точке Мо. Нормальный вектор этой касательной плоскости называется вектором нормали (или н о р м а л ь ю) к поверхности Ф в точке Мо.
Этот вектор дг может быть определен как векторное произведение векторов— ди Таким образом, вектор й 1. Понятия поверхности и ее площади 179 ной точки поверхности. В этом случае говорят, что в окрестности любой точки гладкой поверхности бгз особых точек существует непрерывное векторное поле норлталей. В целом на всей поверхности такого непрерывного поля нормалей может и не существовать. П р и и е р. Л и с т М е б и у с а. Если склеить прямоугольник АВВ'А' так, чтобы А совпала с В', а В совпала с А', получится поверхность, называемая л и с т о м М е б и у с а '1.
При обходе по листу Мебиуса нормаль меняет направление на противоположное (см, рис. 5.1). В дальнейшем будем рассматривать только такие поверхностк Ф, иа которых в целом существует непрерывное поле нормалей. Такие поверхности принято называть д в у с т о р о н н и м и. Поверхность Ф называется п о ли о й, если любая фундаментальная В последовательность точек этой поверх- А ности сходится к точке этой поверх- В,А ности. Поверхность Ф называется о г р а- А,В' н и ч е н н о й, если существует трехмерный шар, содержащий все точки этой поверхности. Плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид — примеры Рис.
8.1 полных поверхностей. При этом сфера и эллипсоид — ограниченные поверхности. Круг без границы, любое открытое связное множество на сфере — неполные поверхности. В дальнейшем мы будем рассматривать поверхность Ф, определяемую уравнениями (5,1) и удовлетворяющую пяти требованиям: она должна быть 1) гладкой, 2) без особых точек, 3) двусторонней, 4) полной и 5) ограниченной. 2. Вспомогательные леммы.
Л ем ма 1. Если Ф вЂ” гладкая поверхность и Мо — нг особая ее точка, то достаточна малая окрестность точки Мо однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через любую точку этой окрестности. Доказательство. Пусть окрестность Ф точки М, такова„, что: 1) нормаль в пределах этой окрестности составляет с нормалью в точке Мр угол, меньший и/4, 2) окрестность Ф однозначно проектируется на некоторый круг в одной из координатных плоскостей (например, Оху).
Возможность выбора такой окрестности Ф вытекает из того, что в предыдущем пункте было установлено существование окрестности рассматриваемой точки Ма, обладающей двумя свойствами: 1) в этой окрестности существует В' л " Д. Мебиус — немецкий математик (1790 — 1868). Гл. 5. Поверхностные интегралы непрерывное векторное поле нормалей; 2) эта окрестность однозначно проектируется на одну из координатных плоскостей (очевидно, в этой окрестности есть часть, проектирующаяся на некоторый круг в координатной плоскости). Отметим, что любые две нормали к точкам Ф составляют угол, меньший и/2. Предположим, что рассматриваемая онрестность Ф не проектируется однозначно на касательную плоскость, проходящую через некоторую точку М ~ сб. Тогда в этой окрестности найдутся две точки Р и Я такие, что хорда РО параллельна нормали к Ф в точке М.
Рассмотрим линию пересечения пэ с плоскостью, параллельной оси Ог и проходящей через хорду РЯ (предполагаем, что гэ однозначно проектируется на плоскость Оху). На этой линии в силу теоремы Лагранжа найдется точка У, касательная и которой параллельна хорде Рх(, а поэтому параллельна нормали в точке М. Это означает, что нормали в точках М и Л/ составляют угол и/2, что противоречит выбору Ф. Полученное противоречие убеждает нас в справедливости леммы. Лемма дока,зана. Будем говорить, что участок поверхности и м ее т р а з м е р ы и си ь ш е 6 (6>0), если он лежит внутри некоторого шара радиуса 6/2.
Лен м а 2. Для гладкой ограниченной полной поверхности Ф без особых точек найдется число 6>0 такое, что любой участок Ф, размеры которого меньше 6, однозначно проектируется а) на одну из координатных плоскостей, б) на касательную плоскость, проходящую через любую точку этого участка. Доказательство. Выше, в замечании 2 и в лемме 1, мы доказали, что для каждой точки поверхности Ф найдется достаточно малая окрестность Ф, которая однозначно проектируется л) на одну из координатных плоскостей, б) на касательную плоскость, проходящую через любую точку Ф. Предположим, что утверждение леммы неверно, т. е.
не найдется числа 6>0, указанного в формулировке леммы. Тогда для любого 6„=1/п (п=1, 2,,) найдется участок Ф„, имеющий размеры меньше 6 и не проектирующийся однозначно либо на одну из координатных плоскостей, либо на касательную плоскость, проходящую через некоторую точку М„еи Ф„. Выберем в каждой части Ф„точку Й„и выделим из последовательности (М„) точек ограниченной полной поверхности Ф подпоследовательность хМа ), сходящуюся к некоторой точке Мо~Ф. В силу замечания 2 и леммы 1 найдется достаточно малая окрестность Ф точки Мо, которая однозначно проектируется на «эдну из координатных плоскостей и на касательную плоскость, 1а! й 1.
Понятия пояерхиости и ее площади проходящую через любую точку Ф. Все Фк„, начиная с некоторого номера й„, попадут внутрь Ф, а это противоречит выбору частей Ф„. Лемма доказана. Л е м м а 3. Пусть Ф вЂ” гладкая без особык точек двусторонняя полная ограниченная поверхность, определяемая уравнениями (5.1). Тогда для любого г>0 найдется 6>0 такое, что для каждого участка поверкности Ф, имеющего размеры меньше 6, угол у между двумя любыми нормалями к точкам этого участка удовлетворяет условию сову=1 †, (5.7) где 0 <а<г. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поверхность Ф двусторонняя, поэтому поле нормалей непрерывно, а следовательно, и равномерно непрерывно на всей поверхности Ф. Это означает, что для любого а>0 найдется 6>0 такое, что для любых двух точек М~ и Мь для которых р(Мь Ма) (6, справедливо неравенство 1п(Ма) — п(М,)~ ( )'2а (5.8) (и — вектор единичной нормали).
Так как сов у = (п (М1), и (Мя) ), а величина и= — (п(М,) — п(М,))' = 1 = — '1п(М )1Я+ — 1'п(М ) !а — (п(М,), п(М,)) =1 — сову, 2 2 го сов у=! — а 'и для а в силу (5.8) справедливы неравенства 0 <а к. — (У2е )'=г. 2 Лемма доказана. 3. Площадь поверхности. Пусть Ф вЂ” поверхность, определяемая уравнениями (5,1) н удовлетворяющая указанным выше пяти требованиям (гладкая без особых точек ограниченная пол'ная двусторонняя). С помощью гладких кривых разобьем Ф на конечное число гладких участков Фь имеющих размер меньше 6, где 6 достаточно мало (и определяется условиями леммы 2), Обозначим через Л максимальный из размеров частей Ф; (диаметр разбиения).
На каждом участке Ф; выберем произвольную точку М; н спроектируем Ф; на касательную плоскость, проходящую через точку Мь Пусть о; — площадь проекции Ф; на указанную ка- й 1. Понятия поверхности и ее площади 1ЗЗ ду дг дг дх дх ду ди ди ди ди ди ди А= дх ду ду дг дг дх до до до до Отметим, что косинус угла уи между нормалью в точке М участ- ка Ф; и осью Оз равен ИН. (5.11) Для точек участка Фь в силу выбора б и ориентации оси Ох, С)0.
Ясно, что угол уи является углом между нормалями в точ. ках М и М; участка Ф„и поэтому для него справедливо пред. ставление (5.7). Если части Ф; отвечает часть Ог простой плоской области 6, то, используя формулу для площади плоской области при перехо. де от координат (х, у) к координатам (и, и) с помощью соотно* шений х=х(и, о), у=у(и, о), получим о;= ( ! — ( — с-у) с(ис(о. ,),) Р (и, о) о; (Мы учли, что величина С = ' ) 0 ) Р(х, у) Р(и, о) Приняв во внимание выражение (5.11) для созуи, перепишем (5.12) в виде (5,12) ст; =Дсозум ~ ~ —, — 1~с(иг(о.
ог (5.13) Разобьем с помощью гладких кривых поверхность Ф на частичные участки Ф; размера меньше б и, выбрав на каждом участке Ф; произвольную точку Мь спроектируем Ф; на касательную плоскость в точке Мв Обозначим через о; площадь проекции и составим сумму (5,9), Для вычисления площади о; плоской области воспользуемся формулой замены переменных в двойном интеграле. Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало совпало с Мь ось Ох была направлена по вектору нормали к поверхности в Мь а оси Ох и Оу были бы расположены в касательной плоскости в точке Мв В этой системе координат поверхность Ф определяется параметрическими уравнениями (5,1), а вектор нормали дг дг ) — — имеет координаты (А, В, С), где ди до ~ Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
