ilin2 (947409), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Следствие 2 нз леммы 5. Если функция 1(у) интегрируема в области Р, Р'=ф-'(Р) и выполнены условии теоремы 38, то 1(тР(х)), а потомУ и 11тР(х)] ~бе(Уе(х) ! интегРиРУемы. в Р', 448 Гл, 3. двойные н л-кратные интегралы Л е м м а 6. Пусть выполнены все условия теореиьь 3.8 и пусть 6 — произвольное нубируемое подл»ножество 0', а тр(6) — его образ при преобразовании (3.21).
Тогда для и-мерного объела области»р(6) справедливо неравенства У(»Р(б)) < ~ )де(1е(х)~ дх. (3.41) Доказательство лем мы 6. Разобьем доказательство на два этапа. 1) Докажем, что для любого невырожденного линейного преобразования Т и для любого и-мерного куба С-П' справедливо неравенство У(т)1(С)) < )бе(Т[ [гпах ИТ '1ч(х)!Ц" У(С). «ес В силу следствия из леммы 4 для любого кубируемого множества 6 и для линейного преобразования Т справедливо равенство (3.36). Положим 6=Т-'»Р(С), тогда Тб=Т(Т-'«Р(С))= =ф(6) и У(тр(С)) =) де(Т) У(Т-'тр(С)).
(3.43) Оценив правую часть (3.43) с помощью неравенства (3.38), в котором вместо преобразования тр возьмем суперпозицию пре- образований Т 'тр, получим У(»р(С)) < ~г(е(Т~ [гпах й1 .г, (х)й[" У(С). (3,44) «ес По лемме 1 1 -» =1-»1е — — -Т '1ч, ибо матрица Якоби линей- ного преобразования совпадает с матрицей этого преобразова- ния.
Но это и означает, что неравенство (3.44) может быть переписано в виде (3.42). Неравенство (3.42) доказано. 2) Докажем теперь непосредственно неравенство (3,41). Покроем пространство Е" сеткой п-мериых кубов с ребром й. Пусть Сь С», ..., С»и» вЂ” те кубы, которые целиком содер- жатся в 6, и пусть 6„= () С», 1(»( н»1 В каждом кубе С» фиксируем произвольную точку х» и за- пишем для этого куба С» неравенство (3.42), полагая при этом Т=1 (х,). Получим У И(С»)) < (бе( 1ч(х») ~ (гпах й[1 (х»)) ' 1е (х)й[" У(С,).
(3.45) «вс» Поскольку элементы матрицы Якоби 1„(х) являются непре- рывными функциями переменной х во всей области П', а следо- вательно, и равномерно непрерывными в П', то 81»(х)|~ — рав- номерно непрерывная функция в 6~0', Отсюда заключаем, й 5. Замена переменных а и-кратном интеграле ыв что функция [[[7„(х»))-Ч„(х)[[а также равномерно непрерывна в 6. Учитывая, что )[[7„(х»)[ )Уа(х»)[[=1, получаем, что для любого е)0 найдется 6)0 такое, что для всех х, х,еи6, для которых р(х, х») (6, выполняется неравенство [~ [7„(х») [-) Х хХ»(х) ![л<1+е. Таким образом, если выбрать й)6, то шах х лес» и [[[лч(х»)1 'дч(х)[[а ( 1+ а(для всех й) и оценку (3.45) можно записать в виде Р(р(С»)) < (1+ е? [де! д, (х») [ У(С»).
Суммируя последнее неравенство по всем й=1, 2, ..., т(й), получим ан») 1) (ф(6»)) < (! + и) ~, [де1 Уч(х») [ У(С»). (3,46) У (С ) ч, [ [де! дч(х) [ дх. (3.47) '» Умножим обе части (3.47) на тп», где пт» = 1п!)'(у) = !п!)'[т[)(х)[, с» и» и просуммируем полученные неравенства по всем й от 1 до т (й): м)М т (И) ~ т»(т(С») <')," и» 1 [де1 де(х)[ дх. (3. 48) е» Из утверждения, сформулированного в конце 3 4 этой главы, следует, что предел при й-нО всей правой части (3.46) существует и равен (! +е)) [де!дч(х)[дх (е)0 — произвольное чисс ло). Кроме того, 1пп6»=6, так что в пределе при й-~-0 из ) о неравенства (3.46) получается неравенство (3.41).
Лемма 6 доказана. Лемма 7. Если выполнены все условия теоремы 3.8 и дополнительно предполагается, что функция 1(у) неотрицательна в Р, то справедлива формула замены переменных (3.23). Доиазательство леммы 7. Покроем пространство Е" сеткой и-мерных кубов с ребром й и обозначим через С), Сь ... , См)») те из этих кубов, которые целиком содержатся в Р. Пусть 6»вЂ” - тр-)(С»). Для каждой области 6» запишем неравенство (3.41): Гл. 3, двойные и п.кратные интегралы По теореме о среднем значении ] 7(ф,(х)] (йе(1е(х)! дх=)а» '] ()йе(1е(х)] йх, не где Ра ав (ог„Ма], Ма = зпР 7 [еР (х)]. ПоэтомУ еа тле 1г ]йе(1е(х)( йх<ре ~ ]йе(1е(х)] йх= ~]7(ф(х)] ]йе(1, (х)) йх н„ а и неравенство (3.48) можно усилить: екл) ~~~ отаЪ'(Са) <~ ) 7(ер(х)]]йе(1е(х)] йх.
(3.49) е-1 а-1 н„ В силу утверждения, сформулированного в конце $4, левая часть (3.49) при л-е-0 имеет предел, равный ] 7(у)йд, и по- о пкц скольку Вп1 э 6 = 6, где б=ер '(Р), то в пределе при асл й-~-0 получается ] ~(у)йу< ] 7(еР(х)] ]йе(1е(х)] йх. (3.50р о о Меняя в этих рассуждениях ролями Р и Р', рассматривая в Р' функцию я(х) =)(ер(х)] ]йе(1е(х) ] и используя лемму 1 и теорему об определителе произведения двух матриц, получив противоположное неравенство ~7(тр(х)] ]йе(14(х)) йх< ~)(у)йу. (3.51'р Из (3.50) и (3.51) вытекает доказываемая формула замены. переменных.
Лемма 7 доказана, Доказательство теорем ы 3 8. Пусть 7(у) — произвольная интегрируемая по области Р функция и выполнены все. условия теоремы 3.8. Из интегрируемости функции 7(у) в области Р получаем, что. существует постоянная М>0 такая, что ]7(у) ](М в Р. Для каждой из неотрицательных функций )1 (у) =М н 7а(у) =М вЂ” 7(д) теорема 3.8 справедлива (в силу леммы 7). Но тогда из линейного свойства интеграла вытекает справедливость формулы (3.23) и для разности ~~(у) — )а(у) =~(у). Теорема 3.8 доказана. й о.
Замена переменных в л-кратном интеграле 3 а м е ч а н и е 1. В условиях теоремы 3.8 можно допустить обращение в нуль якобиана (3.22) на некотором принадлежащем Р' множестве точек 5, имеющем и-мерный объем нуль. В самом деле, множество 5 лежит внутри элементарной фигуры С как угодно малого объема, причем согласно доказанному выше справедлива формула 1'(у) ау =* ) 71ф(х)) ~ бе1 1е(х) ~ с(х. (3.52) мо,с> а>~ с Осуществляя в формуле (3.52) предельный переход по последовательности элементарных фигур (Са], Ц~Са, п-мерный объем У(С„) которых стремится к нулю, убедимся в справедливости формулы (3.23) и для рассматриваемого случая.
3 а меч ание 2. Имеет места следующее утверждение, являю. щееся частным случаем так называемой теоремы Сардах>. Утверждение. Пусть 6 — замкнутая ограниченная кубируемая область в Е", а функции (3.21) имеют в 6 непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным. Пусть А=(х~б: йе1У (х) =О). Тогда и-мерный объем множества А равен нулю. Это утверждение и замечание 1 позволяют освободиться в теореме 3.8 от требования необращения якобиана (3.22) в нуль в области Р'.
Замечание 3. Как показывает рассматриваемый ниже пример, требование взаимной однозначности преобразования ф существенно даже в случае связной области и условия бе11„(х)4=0 для всех хе=Е". П р им ер. Пусть Р'=((хь хт)еиЕ': х>еи(О, 1); хая( — 2я,2п)), л у=Ч>(х) определено равенствами у,=е" созх„у,=е* з1пха. Тогда Р=ф(Р') =((у>, ух) яЕх: 1 < (у>а+ух') н'<е). Легко подсчитать, что Якобиан пРеобРазованиа бе(1е(х)=еа» не Равен нУлю для всех х~Еа. Сравним между собой интегралы в формуле (3.23') для Цу) =1: Д аухг(уа = и(е' — 1); Ц ~йе1 (т(х„х,) ! >(хтйха = и а = ) йх,~е~ г(х,=2п(еа — 1).
— ти о Таким образом, формула замены переменных не имеет места. '> Артур Сарк — американский математик (род. в 1909 г.) Гл, 3. Двойные и л.кратные интегралы 152 Замечание 4. В условиях теоремы 3.8 можно допустить. неоднозначность преобразования тр на некотором принадлежащем Р' множестве 5, имеющем п-мерный объем нуль. Доказательство этого факта полностью аналогично доказательству утверждения в замечании 1. $6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ и-МЕРНЫХ ТЕЛ В $ 4 этой главы было отмечено, что интеграл 1= П „, ~ 1 (у, (у,...
(у„ о (3.53)~ 1 0 . 1~ (У д У) ~ (х ( ... бх„, о то величину "'"' ''' '"") ~=г(х г(х Йх !':: . Р(х, х„..., х„) естественно назвать элементом объема в криволинейнойй системе координат Ох ха ... х„. Итак, модуль якобиана характеризует «растяженне» (нли «сжатие») объема ахти переходе от декартовых координат уь ут, ..., у» к криволинейным координатам хь х,, ..., х,. Подсчитаем элементы объема в сферических н цилиндрических координатах. 1'. Для сферических координат в пространстве Е' х=гсоз<ряпО, у=гз1п~рз1п0, (г~~О, Оен(0, я], ~р~(0,2п)) г=гсозО якобиан имеет вид соз~ряпΠ— гяп~ряпО гсоз<рсоз 0 з!п~ряпО гсозфяп0 гяпгрсоз 0 =г'яп0. соз О 0 — гз)пО Р(х, у, х) Р(., р,в) Следовательно, элемент объема равен газ)пЮх(ге(Отйр. равен и-мерному объему )Г(Р) области Р.
Поэтому величину ду1е(уа ... г(у, естественно назвать элементом объема в рассматриваемой декартовой системе координат Оу,уа, ..., у,. С помощью преобразования (3.21) перейдем от декартовых координат уь уь ..., у к новым, вообще говоря, криволинейным координатам хь ха, ..., х„. Поскольку при таком переходе (согласно формуле замены переменных (3.23)) интеграл (3.53) преобразуется к виду $6, Вычисление объемов л-мерных тел 2'. Для цилиндрических координат в пространстве Е' х=гсоз!р, у гз!п,р (г >О, фа= (О, 2п), ге=( — оо, + оо)) г=г якобиаи имеет вид соз!р — гзйп!р 0 з(пф гсозф 0 0 0 1 2)(Х, Ю 2) )2(г, <Р, 2) Следовательно, элемент объема равен гдгстфб!г.
В частности, для полярных координат на плоскости элемент площади равен Ып1ф. 3'. В пространстве Е" сферические координаты определяются равенствами х =гз!пбтз!п02... з!п0„!! а — ! х =гсоз0~ ! П з)пб», т=2, 3, ..., и — 1; х„=гссз0 ь (г~)0, 0 я(0,2п), 0 я(О, и], л»=2, 3, ...,а — 1), якобиан имеет вид л — ! » 1 )г = 4 и с(хс(ус(г, и 1)=((х, у, г) ни Е'1хж [О, Я), у~ 10,)'Кх — хз), '! Эта фигура называется «телом Вивиани» по имени итальянского математика Х711 в. Таким образом, элемент объема в а-мерных сферических коорл — ! динатах равен г — Чг П и!и» вЂ” '0»с(0». »=1 Пр и меры. 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
