ilin2 (947409), страница 21
Текст из файла (страница 21)
На каждом частичном прямоугольнике л'»! выберем произвольную точку (»ь», т1!). Положим 6!х»=х» — х» — !, Лу!=у! — у!-! и обозначим через ЛЯ»! площадь пря!лоугольника Я»!. Очевидно„ ЛТт»!=Лх» Лу!. Длину диагонали прямоугольника»1»!, равную )!(Лх»)'+ (Лу!)», назовем д и а м е т р о м этого прямоугольника Наибольший из д!иаметров всех частичных прямоугольников назовем диаметром р а з б не н и я Т прямоугольника И и обозначим символом Л. Определение 1. Число Л» а=в(Г, Т)= ~) ~" 1($», »1!)6Д»! »=1 1=! назовем интегральной суммой функции 1(х, у), соответствующей данному разбиению Т прямоугольника )т и данному выбору промежуточных точек Д», т1!) на частичных прямоугольниках разбиения Т. О пределенчте 2. Число 1 называется пределом и н тегр а л ь н ы х сумм (3.1) при Л -О, если для любого положительного числа г можно указать такое положительное число 6, что при Л(6 независимо от выбора промежуточных точек (в», т1!) на Тт»! выполняется неравенство 1о — 1) <е.
Отметим, что интегральную сумму (ЗЛ) можно рассматривать как прямоугольную частичную сумму 5„» двойного ряда, а предел интегральных сумм (3.1) при Ь- Π— как предел !пп 3„» при »-~ » Ф независимом стремлении и и р к бесконечности, т. е. как сумму соответствующего двойного ряда. (Элементы теории двойных рядов изложены в гл. 1,) Определение 3. Функция )(х, у) называется интегриругм о й (по Р им а ну) на прямоугольнике )т', если существует конечный предел 1 интегральных сумм этой функции при Ь. О.
Указанный предел 1 называется двои" ным интегралом. ат функции 11х, у) по прямоугольнику тт и обозначается одним из следующих символов: Т Ц У (х, у) дх ду = ) ~ ~ (М) йа. $ !. Определение н условия существования двойного интеграла 119 3 ам е чан не. Точно так же, как ~и для однократного определенного интеграла (см. 9 1 гл. 9 ч. 1), методом доказательства от противного устанавливается, что любая интегрируемая на прямоугольнике 1с функция 1(х, у) является ограниченной на этом прямоугольнике.
Поэтому везде в этой главе, кроме последнего параграфа, не оговаривая это дополнительно, будем рассматривать лишь ограниченные функции. 2. Условия существования двойного интеграла для прямоугольника. Теория Дарбу, развитая в гл. 9 ч. 1 для однократного определенного интеграла, полностью переносится на случай двойного интеграла в прямоугольнике Й. Ввиду полной аналогии мы ограничимся указанием общей схемы рассуж-ений. Составим для данного разбиения Т прямоугольника 1с две суммы: верхнюю сумму л р 5= Х Х М»гД)см (Мы=зпргг(х у)) »-11=1 Н и нижнюю сумму з= ~" ~Г т»!ДК»! (т»! — — 1п1Г'(х, у)).
»-11-! я»! Справедливы следующие утверждения (доказательства их полностью аналогичны доказательствам, приведенным в п. 2 $2 гл. 9 ч. 1). Утверждение 1. Для любого разбиения Т прямоугольника )с при любом выборе промежуточных точек (й», т)!) на частичных прямоугольниках 1с»г интегральная сумма в удовлетворяет неравенствам з<о <5. Утверждение 2. Для любого фиксированного разбиения Т и,гюбого числа е)0 промежуточные точки (й», т)г)е=)с»! можно выбрать так, что интегральная сумма в будет удовлетворять неравенствам 0<5 — о е. Точки ($», т1!) можно выбрать и такил! образом, что интегральная сумма о будет удовлетворять неравенствам 0<о — з<в.
Утверждение 3. Пусть Т' — измельчение разбиения Т прямоугольника Л и 5', з' — соответственно верхняя и нижняя суммы разбиения Т'. Тогда справедливы неравенства з<з', 5'<5. Утверждение 4. Пусть Т' и Т" — любые два разбиения прямоугольника 1с, 5', з' и 5", з" — верхние и нижние суммьс этих разбиений соответственно. Тогда з' <5", з"<5'. 120 Гл. 3. двойные и п-краткые интегралы Утверждение 5. Множество (5) верхних сумм данной функции 7(х, у) для всевозможных разбиений прямоугольника Я ограничено снизу, Множество нижних сумм (з) ограничено сверку. Таким образом, существуют числа 7=!п1(5), 7=зпр (з), называемые соответственно верхним и нижним интеграламии Д арбу (от функции 7(х, у) по прямоугольнику )т).
Легко убедиться в том, что 7 к7. Утвержден не 6. Лусть Т' — измвльчение разбиения Т прямоугольника )т, полученное из Т добавлением р новых прямых, и пусть 5', з' и 5, з — верхние и нижние интегральные суммьч разбиений Т' и Т соответственно. Тогда имеют место оценки (5 — 5' < (Мя — тпя) рйй; з' — з <(Мя — тя) рйй, гдв Мя=зпр((х, у), птл=(п17(х, у), ст — диаметр разбиения Т, я й — диаметр прямоугольника Я. В полной аналогии с понятием предела интегральных сумм (определение 2 п. 1) вводится понятие предела верхних и нижних сумм.
Так, число 7 называется пределом верхних сумм 5 при 11- О, если для любого е)0 можно указать б)0 такое, что )5 — 7)(г при й(б У т в е р ж д е н н е 7. Верхний и нижний интегралы Дарбу 7 и 7 от функции 7(х, у) по прямоугольнику Д являются пределами соответственно верхних и нижних сумм при б- О. Из приведенных утверждений 1 — 7 вытекает следующая Т ео р ем а 3.1. Для того чтобы ограниченная на прямоугольнике 17 функция 7(х, у) была интегрируема на этом прямоугольнике„ необходимо и достаточно, чтобы для любого г)0 нашлось такое разбиение Т прямоугольника 77, для которого 5 — з(г. Как и в гл.
9 ч. 1, теорема 3.1 в соединении с теоремой о равномерной непрерывности позволяет выделить важнейшие классы интегрируемых функций. Теорем а 3.2. Любая непрерывная в прямоугольнике )7 функция 1(х, у) интегрируема на этом прямоугольнике. Определение 1. Назовем элементарной фигурой множество точек, представляюи1их собой объединение конечного числа прямоугольников (со сторонами, параллельными осям Ох и Оу).
Заметим, что в определении 1 можно брать прямоугольники, как имеющие обгцие внутренние точки, так и не имеющие их. О п р е д е л е н ~и е 2. Будем говорить, что функция 7(х, у) обладает в прямоугольнике 71 (в произвольной замкнутой области 77) 7-свойством, если: 1) 7(х, у) ограничена в 1т (в 71); 2) для лю- $ ц Определение н условия существования двойного интеграла 121 бого з)0 найдется элементарная фигура площади, меньшей е, содержащая все точки и линии разрыва функции у(х, у). Теор ем а 3.3. Если грункция у(х, у) обладает в прямоугольнике )-свойством, го она интегрируема на этом прямоугольнике. Доказательство теорем 3.2 и 3.3 полностью аналогично доказательству теорем 9.1 и 9.2 ч.
1. 3. Определение и условия существования двойного интеграла для произвольной области. В п. 2 $2 гл. 10 ч. 1 были введены понятия квадрируемости и плошади плоской фигуры. Напомним, что плоской фигурой мы назвали часть плоскости, ограниченную простой замкнутой кривой. Плоская фигура называется квадрируемой, если верхняя и нижняя плошади этой фигуры п равны между собой.
Это число называется площадью фигуры. Эти понятия без каких-либо изменений переносятся на случай произвольного ограниченного множества Я точек плоскости. Во всех определениях и утверждениях указанного пункта вместо плоской фигуры можно брать произвольное ограниченное множество Я на плоскости. В том же пункте было дано определение кривой (или границы фигуры) площади нуль: Г называется кривой площади нуль, если для любого в)0 найдется многоугольник, содержащий все точки Г и имеющий площадь, меньшую и.
В этом определении термин «многоугольник» можно заменить термином «элементарная фигура». Это следует из того, что любая элементарная фигура является многоугольником, а любой многоугольник с площадью, меньшей числа е, содержится в элементарной фигуре, имеющей площадь, меньшую числа 32е (см. теорему 10.2" ч. 1). Утверждение 1. Пусть кривая Г имеет площадь нуль и плоскость покрыта квадратной сеткой с шагом Ь. Тогда для любого в 0 найдется число й)0 такое, что сумма площадей всех квадратов, имеющих общие гочки с Г, меньше е.
Действительно, для каждого е)0 можно фиксировать некоторую элементарную фигуру Я, содержащую внутри себя Г и имеющую площадь, меньшую е/4. При достаточно малом й все квадраты, имеющие общие с Г точки, содержатся в элементарной фигуре, получающейся заменой каждого прямоугольника прямоугольником со вдвое большими сторонами и с тем же центром. Отметим, что класс кривых плошади нуль весьма широк. Этому классу принадлежит, например, любая спрямляемая кривая (см. 3 1 гл.
10 ч. 1). Введем понятие двойного интеграла для произвольной двумерной области П. Пусть 0 — замкнутая ограниченная область, граница Г которой имеет площадь нуль, а у(х, у) — произвольная " Верхняя площадь определяется как точная нижняя грань плошадей всех многоугольников, содержащих фигуру, а нижняя площадь — как точная верхняя грань площадей всех многоугольников, содержащихся в фигуре, 122 Гл. 3. Дневные и л.нратные интегралы ограниченная функц!ия, определенная в области Р. Обозначим через 1с любой прямоугольник (со сторонами, параллельными координатным осям), содержащий область Р (рис.
3.2). Определим в прямоугольнике Р, следующую функцию: Т(х, у), (х, у) ~Р; (3.2) О, (х, у)е=Й~,Р. Определение. Функцию 1(х, у) назовем интегрируем о й в области Р, если функция Е(х, у) интегрируема в прямоугольнике 1с. Число 1= ) ) Р(х, у)йхйу назовем двойным интегралом от функции 1(х,у) по областиР и обозначим символом Рис. 3.2 Т= )1 1(х, у)йхйу= б )(1т()й . о 'о Из этого определения вытекает следующее Утверждение 2. Интеграл ) ~ 1йхйу равен площади о области Р. Действительно, подвергая соответствующий прямоугольник 1с все более мелким разбиениям, получим, что верхние интегральные суммы этих разбиений будут равны площадям элементарных фигур, содержащих Р, а нижние суммы — площадям элементарных фигур, содержащихся в Р.
Интегрируемость функции 1(х, у) =1 в области Р следует из теоремы 3.3. У т в е р ж д е н и е 3. Пусть функция 1(х, у) интегрируема в ограниченной квадрируемой области Р, плоскость покрыта квадратной сеткой с шагом й, С(, Сг, ° ., С м) — квадраты указанной сетки, целикол! содержаи(иеся в области Р, ($ы )1«) — произвольная точка квадрата С«, т„=1п11(х, у), 2=1, 2,...,п(1)). Тогда каждая из сул(м с„ «(Л) имеет предел при и -О, равнь(й ДТ(х, у)йхс(у.
о Для доказательства достаточно заметить, что указанные суммы отличаются от обычной интегральной суммы (соответственно от нижней суммы) функции 1(х, у) в области Р только отсутствием $1; Определение и условия существования двойного ннтегрвла 123 слагаемых по квадратам, имеющим общие точки с границей Г области О, причем сумма всех отсутствующих слагаемых по модулю меньшей произведения числа М=зцр()(х, у) ( на площадью о элементарной фигуры, состоящей из квадратов, имеющих общие точки с Г. Поскольку граница Г имеет площадь нуль, то согласно утверждению 1 5-~0 при й — ~0. Из теоремы 3.3 и приведенного выше определения двойного интеграла вытекает следующая основная теорема. Теорема 3.4. Если функция ((х, у) обладаег в области О 1-свойством, то она интегрируема в этой области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
