ilin2 (947409), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Разобьем прямоугольник )т с помощью точек (х»), (уг) на пр частичных прямоугольников 1т»г= (х» ~«х«х»] Х (уг 1 -у«уг] (А=1, 2,...,п; 1=1, 2,...,р) так, что хо=а, хр=Ь, до=с, ур— - г( и Ах»=х» — х»-г)0, Ауг=уг — уг-~~О. (3.13) т»г«1(х, У) «М»г. Фиксируем произвольное число с»еи(х» ь х»] и проинтегрируем неравенство (3.13) по у в пределах от уг 1 до уь положив в нем х=$». Получим рг т»тбуь < ] П$, у) йу«.. М»гАуг (3.14) 5 зак. »в Пусть, как и в $1, число А обозначает диаметр разбиения прямоугольника )т, М»г =зцр)'(х, у), т»г=!п11(х, у), а 5 ~и з— я», лм верхняя и нижняя суммы функции 1(х, у). Тогда всюду на прямоугольнике )т»г 130 Гл.
3. днеаные н п-кратные кнтетралы Умножим (3.14) на Лх*, просуммнруем полученные неравенства сначала по всем 1 от 1 до р, а затем по всем й от 1 до и. Используя обозначение (3.11), будем иметь л л л Р в= ~ ~ тмЛх„Лу~< '),!($ь)Лх < ~ ~ М,(Лх„Лу, 3. (3.15~ ь-! (-! ь-! ь-! (-! Пусть Л- О. Тогда и птахЛхь-+О. При этом з н Я стремятся к двойному интегралу Ц 1(х, у) дхс(у.
Следовательно, су(цествует предел н среднего члена в (3.15), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определению однократного интеграла равен ь ь г 1 ~(х) дх- ) дх ~ Р(х, у) ду Таким образом, доказано существование повторного интеграла и равенство (3.12). Теорема доказана. Замечание. Из доказательства теоремы 3.6 ясно, что х и у можно поменять ролями, т. е. можно предположить существование двойного интеграла и существование длн любого у~(с, а~: однократного интеграла К (у) = ~ ) (х, у) дх. Тогда теорема будет утверждать существование повторного интеграла Ю л ь ( К (у) ду ( ду (1 (х, у) с(х и равенство его двойному интегралу.
2. Случай произвольной области. Рассмотрим теперь произвольную ограниченную замкнутую квадрнруемую область В с границей Г. Теорема 3.7. Пусть выполнены следующие условия: 1) область 11 такова, что любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу Г по целому отрезку [у((х), уь(х)) либо не более чем в двух точках, ординаты которых суть у((х) и уь(х), где у((х) ~уь(х) (рис. 3.3); 2) функция 1(х, у) интегрируема в области 0 и для любого хе=1х(, хь] допускает существование однократного интеграла в(ь! ) Г'(х, у)ду ьз(л! 5 3.
Сведение дневного интеграла н повторному однонратиому 131 ([х), хт1 — проекция области Р на ось Ох). Тогда существует повторный интеграл ила) ) Их ) Дх, у)Ыу т,и) и справедливо равенство «а увМ ) ~ г(х, у) дхйу =) дх ) у(х, у) йу. о аи ми) (3.16) Доказательство. Обозначим через К прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий область Р, а через г(х, у) функцию (3.2), совпадающую с 1(х, у) в Рис. З.З Рне.'3.4 Р и равную нулю в остальных точках Я.
Для г(х, у) выполнены в А' все условия теоремы 3.6 и, следовательно, справедлива фор. мула (3.12), которая переходит в формулу (3.16) (в силу выбора функции г(х, у)). Теорема доказана. 3 а меча иве 1. В теореме 3.7 можно поменять ролями х и у, т. е. можно предположить, что выполнены следующие два условия: 1) область Р такова, что любая прямая, параллельная оси Ох, пересекает границу Г либо по целому отрезку [х)(у), ха(у)), либо не более чем в двух точках, абсциссы которых суть х)(у) и хт(У), где х)(у).схт(у); 2) функция 1(х, у) интегрируема в области Р и дла любого Уы[У), Ут'1 допУскает сУществование однократного интеграла в, ) Цх, у)йх ([у„ут] — проекция Р на ось Оу). ле 133 Гл. 3, Двоаиые и л-нратиые интегралы При выполнении этих условий существует повторный ~интеграл уэ ««аа ~ Нд ) 7 (х, д) дх ув «1не и справедливо равенство Ы* «*Ы ) ) Г(х, д)с(хдд= '1 йд ) Г(х, д)г)х.
о в, «,еа Замечание 2. В случае, если область Р не удовлетворяет требованиям теоремы 3.7 или замечания 1 к этой теореме, часто удается разбить эту область на сумму конечного числа областей такого типа, не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл по области Р в силу свойства аддитивности равен сумме интегралов по соответствующим областям.
Так, область Р, изображенную на рис. 3.4, можно разбить на сумму трех областей Ро Р,, Р„к каждой из которых применима или теорема 3.7, или замечание 1. П р и м е р. Пусть область .Р ограничена кривыми 1х+д~~1 и х'+д'~1, а 1(х, д) =хд (рис.3.5). Любая прямая, параллельная оси Рис. 3.5 Од, пересекает границу Р не более чем в двух точках. Для удобства записи повторных интегралов разобьем область Р иа две области Р1 и Рт осью Од. Применяя по каждой из областей формулу (3.16), получим Ц~(х, д)Нхйд= Цхдбхйд+Цхдс(хйд= о о, о* и! — «1 1 1-« о ° ~ хох ~ дпд+~хИх ~ дед= — ~ (ха+хе)с(х+ е т« ~,~а — 1 + ~ (хв — х') пх = — --. 1 б е 4 4, Тройные и л-кратные интегралы $4.
ТРОЙНЫЕ И л-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 133 Изложенная нами теория двойного интеграла без каких-либо осложнений и новых идей переносится на случай тройного и вообще и-кратного интеграла. Остановимся на основных моментах теории и-кратного интеграла. При определен|ни класса квадрируемых множеств в Ее и класса кубируемых множеств в Ее мы заимствовали из курса средней школы понятия площади многоугольной фигуры и объема многогранного тела, которые обладают свойствами аддитивности, инвариантности, монотонности (см. $2, 3 гл. 10 ч.
1). В пространстве Е", и 3 дело осложняется тем, что нам не известен объем множества (тела) в Е", ограниченного гиперплоскостями. Для введения класса кубируемых тел в Е" будем считать известным способ вычисления объема частного вида тел в Е" — и-мерного прямоугольного параллелепипеда. Напомним (см. $1 гл. 13 ч. 1), что множество Е=(аь ЬД Х Х(ае, Ье) Х...Х(а„Ьл1 всех точек х= (хь хе, ...,х„) в Е", длЯ которых а;~х;~Ьь 1=1, 2, ..., и, называется и-ы е рным к о о р д инатным прямоугольным параллелепипедом.
Если Ь; — а~ А для всех т', то Е называют и-мерным координатн ы м к у б о м с ребром А. Точки (сь сь ..., с,), где с; равны либо аь либо Ьь назовем в е р ш н н а м и Я, а сегменты, соединяющие вершины типа (сь се,...,с~ ь аь с„1,...,с,) н (сь с,,... -.,с-ь Ьь сень-.,с,), — ребра и и А'. Все ребра Е параллельны координатным осям. По аналогии с Е', Е', Е' естественно определить объем и-мерного прямоугольного параллелепипеда Е как число, равное произ.
ведению длин всех его ребер, выходящих нз одной вершины, т. е. л как число р()т) = П (Ь; — а~). с-1 Назовем элементарным телом множество точек Е", представляющее собой объединение конечного числа и-мерных прямоугольных параллелепипедов, не имеющих общих внутренних точек, ребра которых параллельны осям координат. Объем любого элементарного тела нам известен и равен сумме объемов составляющих его параллелепипедов. Пусть теперь й — произвольная ограниченная область в Е".
Назовем н~ижним объемом области Т1 точную верхнюю грань р.=р.(0) объемов всех содержащихся в й элементарных тел, а верхним объемом области 0 — точную нижнюю грань р*=р (Р) объемов всех элементарных тел, содержащих область О. Легко убедиться в том, что р.-.:р". Область Р называется кубируемой, если р.=р'. При этом число р(тт) = р. (е1) = р*(11) называется и-мерным объемом области О Гл. 3.
двойные н л-кратные интегралы В полной аналогии со случаем плоской области доказывается следующее утверждение: для того чтобы п-мерная область Р была кубируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого е)0 нашлись два элвмвнтарных тела, одно из которых содержит Р, а другое содержится в Р, разность объемов которых ио модулю меньше числа е. Поверхностью (нлн многообразием) п мерного объема нуль назовем замкнутое множество, все точки которого прннадлежат элементарному телу как угодно малого и-мерного объема. Из приведенного утверждения получаем, что п-мерная область Р кубируема тогда и только тогда, когда граница этой области представляет собой многообразие и-мерного объема нуль.
Определим и-кратный интеграл от функции и переменных Г(х) =Г(хь хы...,х,) сначала в и-меРном кооРдинатном пРЯмоугольном параллелепипеде )т'. С этой целью производим разбиение Т параллелепипеда )т конечным чнслом,гнперплоскостей, параллельных координатным осям, на конечное число частичных и-мерных параллелепипедов. Для указанного разбиения Т в полной аналогии со случаем и=2 определяем интегральную, верхнюю н нижнюю суммы любой ограниченной в )г' функции 1(х).
Теперь определнм и-кратный интеграл от функции 1(х) по параллелепипеду Я как предел интегральных сумм прн стремленвн к нулю диаметра разбнення Т параллелепипеда Я. Как и для случая п=2, теория Дарбу устанавливает необход~нмое и достаточное условие ннтегрнруемостн в следующей форме: Для интегрируемости функции Г(х) в параллелепипеде )т необходимо и достаточно, чтобы для любого е)0 нашлось разбиение Т параллэлепипгда Е, для которого разность верхней и нижней сумм была меньше е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
