ilin2 (947409), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Вычислить объем 1! тела, вырезанного цилиндром х'+уз=Ах из сферы ха+у»+г»=Р» (рис. 3.6) '!. Тело симметрично относительно координатных плоскостей Оху и Охг и расположено направо от плоскости Оуг. Поэтому достаточно вычислить объем четверти тела, лежащей в первом октанте, т. е. Гл. 3. Двойные и л-нратные интегралы г ~(0, ) гМтв — (х'+ ув)!). Перейдем к цилиндрическим координатам.
Область ):з' определяется так: !У' = ~(~р, г, г) ен Е': зр он ~ О, — 1, г я (О, Я соз зр), г я (О, $ГЯ' — га) ~ . 2 )' Рнс. 3.2 Ркс. 3.6 Формула замены переменных дает иы Л соз е У Л*-зз У= 4Щгз(гйрз(2=4 ~~зйр ~ гНг ~ !Нг= о о о о и/а Л соз ч и/2 = 4 ~з(зр ~ г~ГЯв — г'с(г= — ( Р'(1 — 3(п'щ)зйр= 3,! о о о ~ )'зв(~' 2) Таким образом, 4 )~аГи 2 ! 3 ~2 3) Записав результат в виде У=(2/3)п)св — (8/9)Яв, отметим, что вычисляемый объем на (8/9)И меньше объема полушара радиуса Л, из которого оно вырезано. 2'.
Вычислить интеграл Гл. 3. двойные и а-кратные интегралы !на н 1 н — ! 2 2 и о, если л нечетное; (л — 2) )1 где А(п) = е — 2 2 2 и а, если л четное. (л — 2)! ! 4'. Вычислить интеграл Пуассона ~О е-"* о(х. о Рассмотрим на плоскости две области Сл=-((х, у) ои Е':х'+у'<У, х>0, у> 0), Кн — — ((х, у) ~ Е'; 0 <х<Я, 0< у < Я) и неотрицательную функцию двух переменных е — ! *.в!л!.
На рис. 3.7 изображены области Сж С,л — четверти кругов радиусов К н 2Я в первом квадранте, и область Кл — заштрихованный квадрат. Поскольку Си~Кис:Сел, то Це !~+о! дхо(у < 1)~е !~+ачг(ха!у< ) ) е '" ~"'о(хг(у. (3.55) ся кк со а Для среднего интеграла (3.55) получим Ц е '+" ' г(хну = ~ е ' Йх ~ е " а!у = Ц е ' о(х), ка о о о Чтобы подсчитать оставшиеся два интеграла, сделаем замену переменных, переходя к полярным координатам. Область, которая прн этом преобразовании переходит в Си, имеет внд Ск = ~(г, (р) ~ Е'! и ен (О, Я], (р еп ~ О, Применяя формулу замены переменных, получим н/2 и ~е !"*+Уч Их!(у=Де ыгоЫ<р= ~г(!р~ е — "гг(г= — (1 — е к"); 4 ск ва о о ~ е !"'+и'! !(хо(у = — (1 — е 4л~) 4 соя $7.
Теорема о почленном интегрировании функциональных 157 Подставим полученные выражения в (3.55): — )Г1 — е "'<~ е — х'дх< — ~ Р ! — е — 4Я' (3.567 2 2 о Перейдем к пределу в (3.56) при 1е- оо: е — "'дх = —, 2 о Этот элегантный прием вычисления принадлежит Пуассону.
й 7. ТЕОРЕМА О ПОЧЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕИ И РЯДОВ В $4 гл. 2 была доказана теорема 2.8 о почлеином интегрировании функциональной последовательности (1л(х)) на сегменте (а, о) числовой прямой. Аналогичная теорема имеет место и для случая, когда функциональная последовательность определена и иитегрируема в некоторой области пространства Е~ (гп) 2). Теорема Зхй Пусть П вЂ” некоторая ограниченная замкнутая кубируемая область в Еы. Если функциональная последовательность (!'„(х)) сходится к предельной функции 7(х) равномерно в П и если каждая функция 7„(х) интегрируема в области П, то и предельная функция ингегрируема в этой области, причем указанную последовательность можно интегрировать в области П почленно, т.
е. ) 7(х) йх=1пп ~7„(х) дх. о ь о Доказательство. Фиксируем произвольное е>0. Как н при доказательстве теоремы 2.8, для доказательства интегрируемости 1 в области П достаточно доказать, что найдется номер и такой, что для любого разбиения области П верхняя сумма 5 и нижняя сумма з предельной функции 7(х) н верхняя сумма 5„н нижнЯЯ сУмма за интегРиРУемой в Р фУнкцич 7,(х) свЯзаны неравенством 5 — э((5„— з„) +е/2. (3.57) Рассмотрим произвольное разбиение области П при помощи конечного числа произвольных многообразий гп-мерного объема нуль на конечное число частичных областей 0; (1=1, 2, ..., г) произвольной формы, не имеющих общих внутренних точек.
Обозначим символом он(1,) колебание функции 1„(х) в области Гл. 3. двойные н е-нратные интегралы 0г(ге,(~„)=зпр~„(х) — 1п()е(х)), а символом он(1) колебание в 0~ о, предельной функции 1(х). Докажем, что для любого достаточно большого номера и справедливы неравенства о>~(1) <нн0п)+е7(2Л0), 1=1, 2, ..., г, (3.58) где ЛΠ— и-мерный объем области Р. Умножая затем (3.58) на объем Л0~ частичной области .0; и суммируя получающиеся при этом неравенства по всем 1, получим неравенство (3.57).
Для любого номера и и любых двух точек х' и х" области .0; справедливо тождество 1 (х') — 1(х") = [[(х') — 1„(х') ]+[[, (х') — [, (х") ]+[7„(хн) — [(х") ]. (3.59) В силу равномерной на О сходимости последовательности (1,(х)) к функции 1(х), для фиксированного нами произвольного е)0 найдется номер и такой, что для всех точек х области 0 ][,(х) — 1(х) [(е/(4А0). (3.60) Применяя к правой части (3.59) неравенство (3.60), взятое для точек х=х' и х=х", получим [7(х') — Г(х")[ С ]Г„(х') — Г„(х")] + е7(2Ь0).
(3.61) Из неравенства (3.61) получаем [У(х') — ~(х") [ еь вг(7„)+ е7(2Ь0), откуда, как и в случае теоремы 2.8, следует доказываемое неравенство (3.58). Таким образом, доказательство ннтегрируемости предельной функции [(х) в области 0 завершено. Утверждение о возможности почленного интегрирования последовательности (1„(х)) следует из оценки (3.60), справедливой для всех точек х~0, н из отмеченного в $4 факта: значение интеграла ] 1йх равно и-мерному объему Л0 области О. Теорема 3.9 о доказана. Приведем формулировку теоремы 3.9 в терминах функциональных рядов: Теорема 3.9*.
Если функциональный ряд )" иа(х) (х=(хы хе, ..., х„) ни Е'") ь-1 сходится к своей сумме 5(х) равномерно на некоторой ограничен. ной замкнутой кубируемой области,0с-Еы и если каждый член $8. Кратные несобственные ннтегралы этого ряда иа(х) представляет собой функцию, интегрируеную в области Р, то и сумма 5(х) интегрируема в области Р, причем указанный ряд можно интегрировать на множестве Р почленно, т. е.
О Я(х)ах=у ~иа(х)ах. а=1 й (3.62) $8. КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЪ|Е ИНТЕГРАЛЫ а„= ) 1(х)дх (3.63) о и этот предел не зависит от выбора последовательности (Р,), то этот предел называется несобственным интегралом от функции 1(х) по множеству Р и обозначается одним из следующих символов: ~ ~(х) дх или ~ „. ~ ~(х„х„..., х„,) дхтдха... дх . (3.64) о о При этом несобственный интеграл (3.64) называется сходящим- ся. Этот параграф посвящен обобщению понятия кратного интеграла на случаи неограниченной области интегрирования и неограниченной подынтегральной функции.
Мы сформулируем понятие несобственного кратного интеграла так, что будут охвачены оба указанных случая. 1. Понятие кратных несобственных интегралов. Пусть Р открытое связное множество пространства Е~. Символом Р обозначим замыкание Р, которое получается путем присоединения к Р его границы. Определение 1. Будем говорить, что последовательность (Рл) открытых связных множеств монотонно исчерпывает множество Р, если: 1) для любого номера и Б,г:.Р +~', 2) объединение всех множеств Р совпадает с Р. Пусть на множестве Р задана функция )(х), х=(хь хт, ...
..., х ), интегрируемая по Риману на любом замкнутом кубируемом подмножестве Р. Будем рассматривать всевозможные последовательности (Р,) открытых множеств, монотонно исчерпывающие Р и такие, что замыкание Р, каждого множества Р, кубируемо (отсюда, в частности, вытекает, что каждое множество Р„ограничено).
Определение 2. Если для любой такой последовательности (Щ существует предел числовой последовательности Гл. 3. двойные н и-кратные интегралы Отметим, что символ (3.64) используется и в случае, когда предела указанных выше последовательностей не существует. В этом случае интеграл (3.64) называется расходящимся. 2. Два признака сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. Т е о р е м а 3.10.
Для сходимости несобственного интеграла (3.64) от неотрицательной в области Р функции 1(х) необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одной последовательности кубируемых областей (О,], монотонно исчерпывающей О, была ограниченной числовая последовательность (3.63). Доказательство. Необходимость. Сходимость несобственного интеграла (3.64) по определению 2 означает, что последовательность (а,), определяемая равенством (3.63), сходится для всех последовательностей областей (О ), монотонно исчерпывающих О, а, следовательно, последовательность (а„) ограничена для каждой такой последовательности (О,).
Достаточность. Последовательность (3.63) ограничена и не убывает, так как Рл«0,+, и 1(х))0, следовательно, она сходится к некоторому числу 1. Остается доказать, что если мы выберем любую другую последовательность кубируемых областей (Р'„), монотонно исчерпывающую область О, то последовательность а„= ) )'(х) дх о' сходится к тому же числу 1.
Фиксируем любой номер пе н рассмотрим область Р . Найдется номер и, такой, что О «Р,„. Действительно, допустим, что это не так. Тогда для любого номера я можно указать такую точку М»~Р„„которая не принадлежит области О». Из последовательности (М») можно (в силу замкнутости и ограниченности Р,,) выделить сходящуюся к некоторой точке М~ О„последовательности. Точка М вместе с некоторой окрестностью принадлежит одному из множеств О»,. Но тогда этому же множеству Р», (и всем множествам Р» с ббльшими номерами) принадлежат точки М» с как угодно большими номерами. А это противоречит выбору точек М».
Итак, существует номер п1 такой, что 0 «Р . Поэтому а„' ей;а,,ч,1. Отсюда следует, что последовательность (а„') сходится к некоторому числу 1'(1. Меняя местами в наших рассуждениях последовательности (а„') и (а„), придем к неравенству 1(1'. Следовательно, 1'=1. Теорема доказана. В 5 6 можно найти пример вычисления несобственного интег- рала $8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
