ilin2 (947409), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Сначала рассмотрим два линейных преобразования частного вида: 1) линейное преобразование Тп, заключающееся в том, что к Рй координате добавляется )ья координата, а все остальные координаты при этом сохраняются: ув=х» при Й=1, 2, ..., ( — 1, (+1, ..., а; у; =х;+хь или у=Тих (краткая запись); 2) линейное преобразование Т, заключающееся в том, что Ря координата умножается на число ХчьО, а все остальные ко- ординаты при этом не меняются: 1 у„= х„при й = 1, 2,, ( — 1, (+ 1... л( у;=Ах,, пли у=Тг'х (краткая запись), 142 Гл. 3.
двойные н л-кратные интегралы Легко видеть, что 1 О 1 О 1...1 йе1 Тсс —— О: 1 1 Х :1 = 1, с)е1 Тс~ = 1 О: 1 поэтому преобразования Тц и Т невырожденные. Лемма 2. сг(ля преобразований Тц и Т при любой непрерывной в области Р функции )(у) справедлива формула замены переменных (3.28). Доказательство леммы 2.
Пусть )»' — и-мерный прямоугольный параллелепипед, содержащий Р, функция г"(у) имеет вид < — 'приХ О~, а [Тсс) сст — кубируемая область (х» . а, -х»(Ь», йчьс, а; — хс(хс(бс-хс). На основании формулы повторного интегрирования (3.18) ~ р(у)йу= ь, ьс-с »с+с ьа ьс ') ...) Цр(у„..., у„)йу,!йу,...йу,,йу,+,...йу„. аг ас с ас+с а„ас (3.29) (г(у) прн у~Р, (у) ~ О прн уев й'~Р. Достаточно доказать, что ~ г (у) йу = ~ Р (Тх) ~ бе1 Т ~ йх, (3.28') и т 'я где символом Т обозначено одно из преобразований Тц или Тс'.
Заметим, что если )с — прямоугольный параллелепипед (у» с а» =у»(Ьм 1=1, 2, ..., и), то (Тс») % — снова прямоугольный параллелепипед х»: а» < х» < Ь„й чь с', — < хс < — при 2 > О и — < хс < ас Ьс Ьс 143 $ 5. Замена переменных в л-кратном интеграле Применяя к однократному интегралу по переменной д формулу замены переменной у«=Хх«для случая преобразования Т;" и у;=х«+х«для случая преобразования Тц (см 3 6 гл. 9 ч. 1), получим а) для случая преобразования Т;" е« ) с(у ° ° ул) ау«= О« ь, к ) Р(Ум ..., У,, )х«, У«+„..
„У„)ЛНх, пРи )д > 0; (3.30) ) Р(ум ..., У о Ах«, У,+,, ..., У„)( — )д) дх«пРи Х ( 0; ь б) для случая преобразования ТО е« е -т с (удг . г уп) «(у« = з«Р (уд~ ° ° ° ~ у«о х«+ хр у«+«ю ' ° э ул) ах«' а -л. д (3.30') Подставим (3.30) нли (3.30') в (3.29); затем, воспользовав. шись формулой повторного интегрирования (3.18) н тем, что 1 для Т=Тц,' 1б(Т1= 1)1 а также полагая ул=хе при й=1, 2,, д — 1, д+1, ..., и, придем к равенству (3.28').
Лемма 2 доказана. Л ем и а 3. Всякое невырожденное линейное преобразование (3.26) представимо в виде суперпозд««4ии конечного числа Преобразований вида Тц и Т«' при ХчьО. Доказательство лем мы 3. Разобьем доказательство на три этапа. 1. Покажем, что линейное преобразование Т', заключающееся в перестановке местами д-й и /-й координат (при сохранении всех остальных координат), представимо в виде суперпозиция шести преобразований типа Тц н Т«'.
В самом деле, сохраняя при записи (х«, ..., х,) только д-ю и 1-ю координаты (остальные не меняются), можем записать: 144 Гл. 3. двойные и н.нратные интегралы (хс, хс) г с (хс + хс, хс) с с ( — хс — хс хс) ~с с сс -ы( — х; — хр — х;) — с-е ( — хс — хд х,) — с.( — хп х;) — Г-т.(х, х;), т; тс т. е. Т' = Т, 'ТОТ; 'ТдТ, 'Т„„ 2) Отметим, что путем конечного числа перестановок местами двух строк или двух столбцов (т. е. путем конечного числа преобразований типа Т') мы можем привести любое линейное. невырожденное преобразование к линейному преобразованию с матрицей ~|асссс, у которой отличны от нуля все главные миноры, т.
е, определители пи Ла=...., 1=1,2,..., п. аа,... пы 3) Остается доказать, что линейное преобразование с отличными от нуля главными минорами можно представить в виде конечного числа преобразований типа Тп и Т . Докажем это по индукции. Для и=1 рассмотрим преобразование Т с матрицей с а„О сз т =- асс ~ О. 1 О 1 Преобразование Т; ° переводит х= (хс, хсн ..., х„) в (аыхь хь ..., х,)=Тх, т. е. Т=Т;*; утверждение справедливо. Рассмотрим теперь преобразование Т с матрицей ам... аы О аат... ааа 1 О 1 Предположим, что это преобразование Т можно представить в виде конечного числа преобразований типа Тп и Т,', т.
е, что существует конечное число преобразований вида Тп и Т , переводЯщие х= (хс, ..., х», хе+с, ..., х,) в (аых,+...+асаха, ..., амх,+...+алеха, ха+с, ..., х,) =Тх. (331) Для завершения индукции достаточно доказать, что путем суперпозиции конечного числа преобразований типа Тп и Т 14о' 4 5. Замена переменных в л-кратном ннтеграле можно привести последовательность координат (3.31) к виду (а«х<+...+а«а4-<1«а+<, ..., аа<х<+...+па<а+<1«а+<, (3.32) а<а <-<1<«<+... + а<а+< Иа4< 1«а+<, Ха < а, ..., Хл), т.
е. представить преобразование Т с матрицей <а„... а,а аиа и аад ... ааа ад<а+и 0 а<а+<<< ... а<а+па а<а+в<а+« 1 0 1< (3.33) в виде суперпозиции конечного числа преобразований вида: Т» н Т . Для доказательства этого, сначала для каждого номера. <=1, 2, ..., й, для которого элемент а«а+<14=0, произведем преобразование, представимое суперпозицией трех преобразований: < Т„,', Т,в+„Т,', а<М « 1 вка.~.<1 (для тех д, для которых а«а+<1=0, этого преобразования не производим). Суперпозиция всех указанных троек преобразований для всех <= 1, 2, ..., й переведет элемент.
(3.31) в (а«х<+... + а<а«а+ а «а «<ха+„..., а„х<+ ..:+ ааахе+ -<-ад<а+<> Хачь Хань Ха+а, ..., «„). (3.34)' Далее заметим, что поскольку минор Ла матрицы (3.33) отличен от нуля, то отличен от нуля и равный ему определитель. матрицы ад,... ад» а«а+о аад ааа ад<а+и 0 ... 0 1 (3.35) По теореме о базисном миноре существуют числа Ль ..., Ла+<,. линейная комбинация с которыми строк матрицы (3.35) равна.
а<в< и<... „а<а+па, а«+о<а+<1, т. е. равна первым й+1 элементам (1+1)-й строки матрицы (3.33). Это означает, что если мы для каждого ! =!, 2, ..., й+1,. для которого Л<ФО, произведем преобразование, представимое: суперпозициедд трех преобразований: Т<пд;Т<а+<1;Т<"1 (для тех 1, для которых Л<=0, соответствующую тройку преобразований: 446 Гл. 3. Двойные и л-кратные интегралы не производим), то суперпозиция Т "аа+', (~Ха+1~~0) и всех произведенных троек преобразований переведет элемент (3.34) в (3.32). Индукция завершена. Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Для любого невырожденного линейного преобразования (3.26) и любой непрерывной в области Р функции Г справедлива формула замены переменных (3.28). В самом деле, формула (3.28) справедлива для каждого из преобразований вида То и Т," (лемма 2), но любое линейное невырожденное преобразование представимо в виде суперпозиции конечного числа таких преобразований (лемма 3), причем якобнан этой суперпозиции преобразований равен произведению якобианов (лемма 1). Следств ие из леммы 4. Если 6 — произвольная кубируемая область в Е', Т вЂ” произвольное невырожденное линейное преобразование, то и-мерный объем У(6) области 6 и п-.черный объем У(Т6) ее образа Т6 связаны равенством У(Т6) = (йе1 Т~ У(6).
(3.36) Для доказательства этого утверждения достаточно в формуле (328) взять 7(у) = — 1 в области Р, Р=Т6, Р'=Т-'Р=6. Пусть теперь дано любое преобразование (3.21) ((3.2Г) ) и выполнены условия теоремы 3.8. Прн этом оба интеграла в (3.23) существуют, если только Р'=ар — '(Р) — кубируемая область, так что нам нужно доказать кубируемость Р' и равенство интегралов в (3.23).
Пусть — (х)=71;(х) (1', 1=1, 2, ..., и) — элементы Э1Р1 дХ1 матрицы Якоби, взятые в точке х=(х1, ..., х,), саму матрицу Якоби ~!711(х)~~ обозначим символом Хе=У„(х). Назовем норМОй ТОЧКИ Х=(Х1, ..., Хн) ВЕЛИЧИНУ йХй= ГнаХ 1Х1!. Наэа- 1(1(н вем нормой матрицы А=~~а1Д (1, 1=1, ..., и) величину й Я й =' 'гпах [~~~1а1;)~. 1(1<н Ясно, что если у=Ах, то 'йу11 = 1~Ах~1(|~А!~ 'рхги~. (3.37) Кроме того, для единичной матрицы ЦЕЦ=1. Лемма 5.
Если выполнены условия теоремы 3.8 и С— и-мерный координатный куб, принадлежащий области Р', то п-мерные объемы куба С и его образа ф(С) связаны неравен ством У(ар(С)) <(гпах 1~,7е(х)й1" У(С). (3.38) ыт $ З. Замена переменных в п.иратиои интеграле Доказательство леммы 5. Пусть С вЂ” п-мерный куб о о о с центром в точке х= (хь ..., х ) и с ребром 2з.
Тогда куб С можно определить неравенством о Цх — хЦ(з. (3.39р В силу формулы Тейлора для функции и переменных тр;(х) (см. и. 3 $5 гл. 12 ч. 1) найдется число 8~ из интервала (О, 1гтакое, что о " о о о тут (х) — ф, (х) = т)" Хы (х+ 8~ (х — х)1 (х~ — хт). г 1 Отсюда и нз соотношения (3.37) заключаем, что о о Цтр(х) — ф(х)Ц ~ тпахЦХо(х)Ц Цх — хЦ.
иес о о Полагая у=тр(х), у=ту(х), получим из (3,40) и (3.39): о Цу — уЦ < з гпах Ц1о'(х)Ц. авс (3.40)г Таким образом, если точка х находится в кубе С с ребром о 2з и с центром в точке х, то образ у=тр(х) точки х находится о в кубе с центром в точке у и с ребром 2з шах Ц1о(х)Ц. Понто*ее му множество тр(С) кубируемо и у(тр(С)) < (шах ЦУФ(х)Ц)" у(С). вас Лемма 5 доказана. Следствие 1 нз леммы 5. Если выполнены условия теоремы 8.8 и область О кубируема, то и ее образ тр(6) кубируем. В частности, если Р кубируема, то и Р'=тр-'(Р) кубируема.
Действительно, граница любого кубируемого множества 6 является множеством и-мерного объема нуль, а такое множество согласно доказанному утверждению преобразуется в множество, и-мерный объем которого также равен нулю. Кубируемость области Р'=ту-'(Р) следует нз того, что в условиях теоремы 3.8 для преобразования тр ' выполнены те же условия, что и для тр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
