ilin2 (947409), страница 20
Текст из файла (страница 20)
'" Поскольку один из этих сегментов преобразуетси в другой линейной заменой х=(Ь вЂ” а)1+а. 4 7. Разложение функций в степенные ряды ставнма в виде предела равномерно сходящейся последовательно сти многочленов (так как разность ((х) — д(х) является многочленом первой степени). Итак, пусть функция 1(х) непрерывна на сегменте 10, Ц и удое. летворяет условиям !(0)=0, ((1)=0. Такую функцию !(х) можнгь продолжить на всю прямую, положив ее равной нулю за пределами сегмента (О,Ц, и утверждать, что так продолженная функция является равномерно непрерывной на всей прямой.
Рассмотрим следующую конкретную последовательность неотрицательных многочленов степени 2п: (;)е(х)=со(1 — х')" (п=1, 2, ...), у каждого из которых постоянная с„выбрана так, чтобы выпол- нялось равенство 1 ~ Я„(х) йх= 1 (и = 1, 2, ...). — ! (2.80) Не вычисляя точного значения постоянной с„, оценим ее сверху, Для этого заметим, что для любого номера п=1, 2, ... и для. всех х из сегмента (О, Ц справедливо неравенство "> (1 — хг) п~ 1-пх'. (2.81) 1 Применяя неравенство (2.8!) и учитывая, что —, < 1 при лю т'и бом я~1, будем иметь и Уй (1 — хг)ейх=2 ~ (1 — хг)айх) 2 ~ (1 — хг)айх) гу У» 4 1 1 > 2 ( (1 — пхг)йх=.— = ) =. о (2.82) Из (2.79), (2.80) и (2.82) заключаем, что для всех номеров п=1, 2, ... справедлива следующая оценка сверху для постоян ной с„: с„с.
)гп. (2.83) "! Это неравенство вытекает из того, что при любом пъ! функция !р(х) =(1 — хг)" — (1 — лх') неотрицательна всюду иа сегменте О~х~!, так как эта функция обращается в нуль при х=о н имеет всюду на этом сегменте неотрицательную производну!о !р'(х) =2лх(1ь — (! — хг)"-'1. 114 Гл.
2. Функциональные последовательности и ряды Из (2.83) и (2.79) вытекает, что при любом 6>0 для всех х из сегмента 6<(х) <1 справедливо неравенство 0 < Я„(х) < )~п (1 — б')". (2.84) Из (2.84) следует, что при любом фиксированном 6>0 последовательность неотрицателы!ых многочленов Я„(х)) сходится к нулю равномерно на сегменте б<(х[ <1 "!. Положим теперь для любого х из сегмента 0<х<1 +! Р„(х) = [ 7' (х + 1) Я„(1) с(( — ! (2,85) и убедимся в том, что для любого п=1, 2, ... функция Р„(х) есть многочлен степени 2п, причем [Р„(х)) и является искомой последовательностью многочленов, равномерно сходящейся на сегменте [О, Ц к функции )(х).
Так как изучаемая функция 1(х) равна нулю за пределами сегмента [О, Ц, то для любого х из сегмента [О, Ц интеграл (2.8о) можно записать в виде ! — х Р„(х) = 1 [ (1) Я„(1 — х) с(1. о (2.86) Из (2.86) и (2.79) ясно, что функция Р„(х) представляет собой многочлен степени 2п. Остается доказать, что последовательность (Р„(х)) сходится к [(х) равномерно на сегменте 0<х<1. Фиксируем произвольное е>0. Для фиксированного в в силу равномерной непрерывности 7" (х) на всей числовой прямой найдется 6>0 такое, что 11(х) — ! (у) [<в)2 при (х — у(<б. (2.87) Заметим еще, что так как [(х) непрерывна на сегменте [О, Ц, то она ограничена на этом сегменте, а следовательно, и всюду на '" В самом деле, достаточно — 6') ч )л сходится к нулю, а зто докааать, что последовательность а„= (!в вытекает, например, из того, что, поскольку — бз) < 1, ряд у' ал сходится по приз 1 1пп т' о» = (1 — 6!) (пп и = (! е л .
ч знаку Коши (см. теорему 1.6.). Заменяя в последнем интеграле переменную ! на 1-х, мы при. дадим ему вид ! 4 7. Разложение функций в степенные ряды числовой прямой. Это означает, что существует постоянная А та- кая, что для всех х [)(х) [<А. (2.88) Используя (2.80), (2.84), (2.87) и (2.88) и учитывая неотрицательность <г,(х), оценим разность Р,(х) — )(х). Для всех х нз сегмента 0<х~1 будем иметь ! [Р„'(х) — ~(х)[ = ~ ~ (~(х+ 1) — )(х)) Ц„(()<[1 ~ » — 1 » ~ [1(х+1) — 1'(х)[(г„(1)с[!» 2А ~ Я„(1)д>+ — ! — ! е ! + — ~ 9„(()<[(+2А ~ Я„(()М» 4А)Гй(1 — бз)в<+ в .
Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить„ что для всех достаточно больших номеров п справедливо неравенство 4А )/ п (1 — бз)" < а(2. Следствие из теоремы 2.18. Если нв только сама. функция 1(х), но и ег производные до некоторого порядка й включительно непрерывны на сегменте (О, Ц'т>, то существует последовательность многочленов (Р„(х)) такая, что каждая изпоследовательностей (Р„(х)), (Р„'(х)), ..., (Р„">(х)) сходится- равномерно на сегменте (О, Ц соответственно к 1(х), 1'(х), ... ..., 1 '(х). В самом деле, не ограничивая общности, мы можем считать, что каждая из функций 1'(х), 1'(х), ..., !<а>(х) обращается в нуль прн х=О н прн х=1 'з>, а прн таких условиях функцию ! (х) можно продолжить на всю прямую, полагая ее равной нулю вне- [О, Ц, так что продолженная функция и все ее производные до порядка й включительно окажутся равномерно непрерывными на всей числовой прямой.
Но тогда, обозначая через Р„(х) тот же многочлен (2.85),. что н выше, н повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2.18, мы докажем, что каждая из разностей Р,(х) — )(х), Р;(х) — 1'(х),, Ря'а>(х) — )чз>(х) "! Конечно, вместо [О, Ц можно взять [а, Ь[. 'в> Если бы !'(х) ие удовлетворяла зтнм условиям, то мы нашли бы мноточлен рз(х) степени 2й такой, что для функции п(х) =1(х) — рь(х) эти условия: были бы выполнены. !!з Гл. 2, Функциональные последовательности я ряды является бесконечно малой, равномерно относительно х на сегменте 0 (х~1.
3 а м е ч а н и е 1. Изложенное нами доказательство легко обобщается на случай функции т переменных 1(хь хз, ..., х ), непрерывной в гп-мерном кубе О~хз~! (1=1, 2, ..., пт). Совершенно аналогично теореме 2.18 доказывается, что для такой функции Г(хь хз, ..., х„) существует равномерно сходя. щаяся к ней в гп-мерном кубе последовательность многочленов от гп переменных хь хз, ..., х . 3 а меча ние 2. Заметим, что фигурирующие в теореме 2.18 многочлены можно заменить функциями более общей природы, сохраняя при этом утверждение о возможности равномерного приближения такими функциями любой непрерывной функции 1.
Договоримся называть произвольную совокупность А функций, определенных на некотором множестве Е, алгеброй, если ">: !) 1+униА; 2) (йеиА; 3) а)еиА при произвольных !ниА и де:-А и при вещественном а. Иными словами, алгебра есть совокупность функций, замкнутая относительно сложения н умножения функций и умножения функций на вещественные числа.
Если для каждой точки х множества Е найдется некоторая функция депА такая, что д(х)чьО, то говорят, что алгебра А не исчезает ни в одной точке х множества Е. Говорят, что совокупность А функций, определенных на множестве Е, разделяет точки м но жест в а Е, если для любых двух различных точек х1 и хз этого множества найдется функция 1 из А такая, что ~(х~) Ф~(хз). Имеет место следующее замечательное утверждение: Т е о р е м а 2.19 (теорема Вейерштрасса — Стоуна ич). Пусть А — алгебра непрерывных на компактном зн множестве Е функций, которая разделяет точки множества Е и не исчезает ни в одной точке этого множества.
Тогда каждая непрерывная на множестве Е функция !'(х) может быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности функций алгебры А. нн Напомним, что символ (~А означает принадлежность 1 к А. з" М. Стоун — современный американский математик. ео Напомним, что компактным называется замкнутое ограниченное множа* ство.
Глава 3 ДВОЙНЫЕ И л-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Во вводной главе ч. 1 были указаны важные задачи о вычислении площади криволинейной трапецпи и о нахождении пройденного материальной точкой пути, приводящие к понятию однократного определенного интеграла. Аналогичные «многомерные» задачи, такие, например, как задача о вычисленви объема или задача о вычислении массы неоднородного тела, естественным образом приводят к рассмотрению двойных и тройных интегралов. В настоящей главе излагается теория и-кратных интегралов (а-э2). Построение теории а-кратных интегралов проводится в полной аналогии с построением теории однократного интеграла.
Для более эффективного использования аналогии с однократным интегралом сначала вводится понятие двойного интеграла для прямоугольника. Затем вводится понятие двойного интеграла по произвольной области как с помощью прямолинейного, так и с помощью произвольного разбиения этой области. Построенная теория переносится на случай п-кратного интеграла. В конце главы изучаются кратные несобственные интегралы. й 1. ОНРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 1. Определение двойного интеграла для прямоугольника. Рассмотрим произвольную функцию 1(х, у), определенную всюду на прямоугольнике г(=!а<х<Ь1Х(с<у<сЦ (рис.
3 !). Введем понятие интегральной суммы функции 1(х, у). Разобьем сегмент (а, Ь) на п частичных сегментов при помощи точек а=хс<х,<хэ«...х = =Ь, а сегмент (с, а) на р частичных сегментов при помощи точек с=у,<у,<у,«...у,=а. Этому разбиению сегментов соответствует разбиение прямоугольника !г прямыми, параллельными осям к! и и Ох и Оу, на а р частичных прямоугольников Рис. З.1 !18 Гл. 3. Двойни» и п-кратные интегралы Я»! = (х» ! < х ~ х ) х (у! ! < у < у!] (й = 1, 2, ..., п; 1 = 1, 2, ..., р). Указанное разбиение прямоугольника Л обозначим символом Т. Разбиение прямоугольника 1т', полученное из разбиения Т добавлением прямых, параллельных осям Ох и Оу, назовем измельчеаием разбиения Т н будем обозначать символом Т'. Всюду в этой главе под термином «прямоугольник» мы будем понимать прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
