ilin2 (947409), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

П. Пусть последовательность (2.62) ограничена и ее верхний предел Е>0. Докажем, что ряд (2.61) абсолютно сходится при 1х(<1//. и расходится при )х)>1/Ь. а) Фиксируем сначала любое х, удовлетворяющее неравенст ву (х~ <1/й. Тогда найдется е>0, такое, что 1х~ <1/(Ь+е).

В силу е свойств верхнего предела все элементы ~~а„~, начиная с некоторо. го номера п, удовлетворяют неравенству Г]а.~ С/++ Таким образом, начиная с этого номера и, справедливо неравен» ство р'1а„х") = 1х~ у 1 ~а„1< < 1, т'.+ е т. е. ряд (2.61) абсолютно сходится по признаку Коши (см. п. 3 $ 2 гл. 1). б) Фиксируем теперь любое х, удовлетворяющее неравенству )х)>1/У-. Тогда найдется е>0 такое, что )х)>1/(Š— е).

По определению верхнего предела из последовательности (2.62) можно «е выделить подпоследовательность (у ~а„е)1(/е=1. 2, ...), сходя. щуюся к Ь. Но это означает, что, начиная с некоторого номера /е, справедливо неравеаство ее А — е< у' ~а„ч~ < Е+е. Таким образом, начиная с этого номера /е, справедливо неравенство »я «е У ~а„„х"е! = )х1ф~ ~ащ! ) =1, !а„„х"е~ ) 1, откуда видно, что нарушено необходимое условие сходимости ря- да (2.61) н этот ряд расходится. Гж 2.

Функциональные последовательности и ряды 104 П1. Пусть последовательность (2.62) ограничена и ее верхний предел 1=О. Докажем, что ряд (2.61) абсолютно сходится при любом х. Фиксируем произвольное хФО (прн х=О ряд (2.61) заведомо абсолютно сходится). Поскольку верхний предел А=О и последа. вательность (2.62) не может иметь отрицательных предельных точек, число А=О является единствешюй предел ь ной точкой, а следовательно, является пределом этой последовательности, т.

е. последовательность (2.62) является бесконечно малой. Но тогда для положительного числа 1/(2~х~) найдется номер, начиная с которого )т (а„( к,— 2(х( Стало быть, начиная с указанного номера, ртта„х"( = (х! у' !а„~ < — ( 1, т. е. ряд (2.61) абсолютно сходится к признаку Коши,(см. п. 3 $2 гл.

1). Теорема полностью доказана. Доказанная теорема непосредственно приводит к следующему фундаментальному утверждению. Теорема 2.14. Для каждого степенного ряда (2.61), если он не является рядом, сходящимся лишь в точке х=О, существует положительное число гг (возможно, равное бесконечности) такое, что этот ряд абсолютно сходится при (х(</с и расходится при )х).в 14'. Это число т( называется радиусом сходи мости рассматриваемого степенного ряда, а интервал ( — )т, )с) называется про. м ежут ком сходи мости этого ряда. Для вычисления радиу.

са сходимости справедлива формула 1 1пп У (а„( (2,63) Ю Отметим следующую т е о р е м у А б е л я: если степенной ряд (2,61) сходится при х=й, то сумма еео 5(х) является непрерывной в точке (г слева. Беа ограничения общности можно считать, что )ч=1, но в таком виде теорема Абеля (фактически утверждающая регулярность метода суммирования Пуассона — Абеля) доказана в и. 2 й 7 гл.

1. (в случае, когда 1(гп)т'((а„( =О, )т= ою). и тФ Замечание 1, На концах промежутка сходимости, т. е. в точках х= — Л н х=)с, степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся я>. !05 4 б. Степенные ряды Так, для ряда 1+ ~х" радиус сходнмости й равен единице, л=-! промежуток сходимости имеет внд ( — 1, +1), и этот ряд расходится на концах этого промежутка. Для ряда ~„— промежуток сходнмости тот же ( — 1, +1), %! х' пь н=! но он сходится на обоих концах этого промежутка.

3 а меч анне 2, Все результаты настоящего пункта справед. ливы для ряда (2.61), в котором веп!ественная переменная х заменена комплексной переменной з. Для такого ряда устанавливается существование положительного числа И такого, что ряд абсолютно сходится при ]г]<В и расходится при ]х~ >г(. Для вычисления )г справедлива формула (2.63). Число В называется радиусом сходи мости, а область ]х]<)г — кругом сходимости степенного ряда.

2. Непрерывность суммы степенного ряда. Пусть степенной ряд (2.61) имеет радиус сходнмости Р>0. Лемма. Каково бы ни было положительное число г, удовлетворяюи(ее условию г<Р, ряд (2.61) равномерно сходится на сегменте [ — г, +г], т. е. при ]х] ~г. Доказательство. В силу теоремы 2.14 ряд (2.61) абсо. лютно сходится при х=г, т. е. сходится ряд ]а,]+ у'' ]~„]с . и=! Но этот числовой ряд служит мажорантным для ряда (2.61) прн всех х из сегмента [-г, +г]. На основании признака Вейерштрасса ряд (2.61) сходится равномерно на сегменте [ — г, +г]. Лемма доказана, Следствие из леммы, В условиях леммы сумма ряда (2.61) является функцией, непрерывной на сегменте [ — г, +г] (в силу теоремы 2.7).

Теорема 2.15. Сумма степенного ряда внутри его промежутка сходимости является непрерывной функцией. Доказательство. Пусть 5(х) — сумма степенного ряда ,(2.61), а Р— его радиус сходимости. Фиксируем любое х внутри промежутка сходимости, т. е. такое, что ]х] <Я. Всегда найдется число г такое, что ~х] <г<1г, В силу следствия нз леммы функция Б(х) непрерывна на сегменте [ — г, +г].

Следовательно, 5(х) непрерывна н в точке х. Теорема доказана. 3. Ночленное интегрирование н почленное дифференцирование степенного ряда. Теорема 2.16. Если Р>0 — радиус сходимости степенного РЯда (2.61), а х удовлетворяет условию ]х] <Р, то ряд (2.61) 106 Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды можно почленно интегрировать на сегменте [О, х]. Полученный в результате почленного интегрирования ряд имеет тот же радиус сходимости )с, что и исходный ряд. Доказательство. Для любого х, удовлетворяющего условию 1х)<И, найдется г такое, что ]х] <т<т(. Согласно лемме ряд (2.61) сходится равномерно на сегменте [ — т, +г], а следовательно, и на сегменте [О, х].

Но тогда в силу теоремы 2.8 этот ряд можно почленно ивтегрировать на сегменте [О, х]. В результате почленного интегрирования получится степенной ряд а х+ — 'х'+... + ' х" + 2 л радиус сходимости которого (согласно теореме 2.14) является ве- личиной, обратной верхнему пределу последовательности (2.64) Так как верхний предел последовательности (2.64) тот же, что и у (2.62) 1е1, то теорема доказана. Теорема 2.17 Степенной ряд (2.61) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно. Ряд, полученный почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Доказательство.

Достаточно (в силу теоремы 2.9 и леммы) доказать лишь второе утверждение теоремы. В результате почленного дифференцирования (2.61) получим ряд а,+2аах+...+па„хн-'+ (и+1) а„.1чх"+..., радиус сходимости А' которого (согласно теореме 2.14) обратев верхнему пределу последовательности ]у'(и+1)]и+1] !. (2.65) Так как последовательность (2.65) имеет тот же верхний предел, что и (2.62) н>, то теорема доказана. Тан наи 11ш улл = 1, 1)сп т'') а„— 1 1 = 1пп ч''1ол1 = 1пп ( т'! а 1) л ~ л-к л-~ю л-и т' ~М ° = 1нп и-ню 1пп л о !От й 7.

Разложение функций в степенные ряды Следствие из теорем ы 2.17. Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почлгнно сколько угодно раз. Ряд, полученный п-крагнылг почленным дифференцированием исходного степенного ряда, имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. $7. РАЗЛПЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 1. Разложение функции в степенной ряд. Определение 1.

Будем говорить, что функция )'(х) на интервале ( — )!, +)7) (на множестве (х)) может быть разлож г н а в с т е и е н н о й р я д, если существует степенной ряд, сходящийся к !'(х) на указанном интервале (указанном множестве). Приведем необходимые и достаточные условия того, чтобы функция )(х) могла быть разложена в степенной ряд. Утверждение 1, Для того чтобы функция )(х) могла быть разложена в степенной ряд на интервале ( — 7!, +!!), необходимо, чтобы зта функция имела на указанном интервале непрерывные производные любого порядка 'Ю. Действительно, степенной ряд внутри его промежутка сходи мости, который во всяком случае содержит интервал (-)!, +)7), можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, причем все полученные прн этом ряды сходятся внутри того же промежутка сходимости (теорема 2.17). Но тогда суммы рядов, полученных сколь угодно кратным днф.

ференцнрованием (в силу теоремы 2.15), представляют собой функции, непрерывные внутри указанного промежутка сходимостн, а следовательно, непрерывные на интервале ( — 7(, +!с). Утверждение 2, Если функция !'(х) может быть на интервале ( — !т, +И) разложена в степенной ряд, го лишь единственным образом. В самом деле, пусть функция !(х) может быть разложена на интервале ( — )7, +)7) в степенной ряд (2.61). Дифференцируя этот ряд почленно и раз (что заведомо можно делать внутри интервала ( — !т, +!с)), получим 1< > (х) =а„п!+а„ь, (и+1)!х+...

Отсюда при х=0 найдем !'"' (0) =а„п!, или а = ! (О! (2.66) л! гз) Отметим, что существуют функции, имеющие на интервале непрерывныв производные любого порядка, но не разложимые на атом интервале в степенной ряд. Примером такой функции может служить — ! /х' 1(х) е при х г-о, О прн я=о. Гл.

Характеристики

Список файлов книги