ilin2 (947409), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛИЛИНЕПНЫЕ ФОРМЫ 1. Линейные формы. Пусть У вЂ” произвольное п-мерное векторное пространство, элементы которого будем обозначать символами Е, т),..., Предметом нашего изучения будут функцнн, сопоставляющне каждому элементу йееУ некоторое вещественное число. Определение 1. Функция а($) называется линейной ф о р мой, если для любых $енУ, т)яУ и любого вещественного числа ).
выполняются равенства 1) а(й+т)) =а(й)+а(Ч); 2) а()4)=Ха($). Оп р е д е л е н н е 2. С у м м о й двух линейных форм а и Ь назовем линейную форму с, которая каждому вектору Те=У солоставляет число с(Р) =а(В)+Ь(Р). Произведением линейной формы а на веществ е н но е ч и с л о Х назовем линейную форму Ь, которая каждому вектору 4ееУ сопоставляет число Ь(В) =) а(й).
Таким образом, множество всех линейных форм образует векторное простравство, которое мы обозначим символом !'.(У) !т!. Найдем представление линейной формы а в каком-либо базисе (ег)! ! Пусть и $ =,)„$гЕо ! где числа $! определяются однозначно. Если обозначить аг= =а(е!), то искомое представление будет иметь внд л а (В) = ~)„~га!.
! ! Докажем, что размерность о)гп Е(У) лннейного пространства Е(У) равна н. Для этого достаточно указать какой-лнбо "! Текст данного дополнения взят из книги В. А. Ильина, Э. Г. Позняка «Основы математического анализа. Ч. 2» (Мл Наука, Гл. ред. физ.-мат. литры, 1982). "! Пространство Е(У) обозначают также символом У* и называют сопряженным (илн дуальным) к И 8 зак. 2з 226 Дополнение к гл, 6.
Дифференциальные формы в евклиловом пространстве базис в ь'.(У), содержащий точно и элементов, т. е. и линейных форм. Фиксируем произвольный базис (еь) пространства У и рассмотрим линейные формы еь(4) =$ь (1=1, 2,..., и), где ($ь) — коэффициенты разложения вектора 4 по элементам базиса (еь). Иначе говоря, линейная форма е" действует на элементы базиса (ег) по правилу (! при (=-й; В таком случае в данном базисе (ег) линейная форма а имеет вид л а(й)= т агег($), аг=а(ег), т. е. линейные формы ег(~), е'(с),...,е" (е) образуют базис в Е(У). Этот базлс называют с о и р я ж е н н ы м (а также в з аниным или дуальным) к базису(е).
2. Билинейные форегы. Обозначим через УХУ множество всех упорядоченных пар (фы 4т), где Цг-У, й,енУ, и рассмотрим функции а(йь йв), сопоставляюгцие каждому элементу из УХУ (т. е. каждым двУм элементам йгенУ и ивенУ) некотоРое вещественное число, О п р е д е л е н и е, Функция а($„йв) называется б и л ив е й н о й ф о р м о й, если при каждом фиксированном значении одного аргумента она является линейной формой относительно другого аргумента. Иначе говоря, для любых векторов бг, $м Чь Чв и любых вещественных чисел Хь )и Рь Рв выполняется равенство а ()"1вг + Ргчг )"ввв + Рвчв) = к,ива(в„вв) +Х,рва(ьыЧе) +Р,)',а(тто вв) +Р,Рва(Ч„т1в).
Множество всех билинейных форм легко превратить в линейное пространство, вводя в нем естественным образом операции сложения и умножения на вещественное число. Полученное пространство билинейных форм обозначим символом (.т(У). Найдем представление билинейной формы а(~ь 4,) в кап ком-либо базисе (ег)"; г пространства У. Пусть вв — — ~ Цен г=! 227 Е !.
Знаконеременные нолнлннейные формы к=1, 2,Положив а(еь е)=ам, получим искомое представление н н в„и=У.~.'.„цц. 1=1 !'=! Для того чтобы определить размерность пространства Ц(У), образуем с помощью линейных форм ее($), составляющих в Е(У) базис, сопряженный к базису (е!), билинейные формы е" (в!, Ы =е'(й ) е'(й ). Тогда произвольная билинейная форма будет однозначно представимой в виде л и а(й!, $е) = т т а!!еа(й„ье).
1=! у=! Это означает, что формы еч!(В!, йз) образуют базис в Ье(У) и, следовательно, размерность |.е(У) равна и'. 3. Полнлинейные формы. Пусть р — натуральное число. Обозначим символом Уй=УХ УХ... ХУ множество всех упорядоченных наборов (В!, $е, ..., йр) из р векторов, каждый из которых принадлежит У н рассмотрим функции, сопоставляющие каждому такому набору некоторое вещественное число. Определение.
Функция а(й!, Ц,...Др) называется полил инейной формой степени р (или р-формой), если она является линейнои формой по каждому аргументу при фиксированнык значениях остальных. Вводя в множестве всех р-форм линейные операции, получим линейное пространство, которое обозначим символом ~. (1'). Найдем представление произвольной полилинейной формы а($!, $ь..., вн) в каком-либо базисе (е!)'=! пространства У. Обозначим асп, . ! = а (е;„ е",„ ..., е, ). Тогда если 3е =,т $,,'е!, то л , в,)= У ..- т' ! -! Если ел(й) — базис в Е(У), сопряженный к (е!), то, очевидно, р-формы е ''"~лД„$„..., $ ) =е'(йе)е" (йн)...
е л(Я) а. 228 Дополнение к гл. б. ДифФеренциальные формы в евклилоном пространстве образуют базис в Ер(У), следовательно, Ер(У) имеет размерность пп, 4. Знакопеременные полилинейные формы. О п р е д е л е н н е. Полилин ейная форма а (в!, Ьз,..., вр) называется з н а к о и е р е м е н н о й, если яри перестановке любых двух аргументов она меняет знак 'з>, Иначе говоря, а(х $ ... $! . Л>' ° $п) = а(р Ф йг р! Фл) Очевидно, множество всех полилнпейных знакопеременных форм степени р образует подпространство линейного пространства Еп(У), которое 'мы обозначим символом Ар(У) 'з!. Элементы пространства Ар(У) будем обозначать символом ш=ш(4!, Ь,",Ь). Заметим, что если (е!) — произвольный базис в У и ш=~~, .
) озй ! с! ..."й'а, 2=! ! =1 Р то числа нч ! меняют знак прн перестановке двух индек- 1 '' р сов. Это вытекает из того, что оь ! = ш (ез„ ..., е, ). Естественно считать, что А,(У) =Е!(У), а Ао(У) состоит из всех постоянных, т. е. совпадает с числовой прямой. 5. Внешнее произведение знакоперемеиных форм. Рассмотрим две знакопеременные формы: шпенА„()г) и шченА (У). В этом пункте мы введем основную операцию в теории знакопеременных форм — операцию внешнего умножения. Пусть шп=шп(Чь Чз ° Чп), Чс~)' !оп=о! (ь!, ьз,... ьч) в!~1 Рассмотрим следующую полилинейную форму аенс,р+ч( к') 2 а(~ы йю ..., 5 ~)=~'($ $,)~"Я,-п й ) (6111 Эта форма, вообще говоря, не является знакопеременной: при перестановке аргументов й! и йь где 1<з<р и р+1</<р+д, форма (6.1.1) может не изменить знака.
Этим обстоятельством н вызвана необходимость введения внешнего произведения. м! Знакопеременкые полилинейные формы называют также а н т и с и мметрическими, кососимметрическими, косыми, внешними, '"' Это пространство обозначают также символом г!'У* и называют р.а внешней степенью пространства У". з Н Знакопереыенные полилинейные формы 229 Для того чтобы ввести внешнее произведение, нам понадобятся некоторые факты нз теории перестановок.
Напомним, что перестановкой чисел (1, 2,...,п)) называют функцию о=о(й), определенную на этих числах и отображающую их взаимно однозначно на себя. Множество всех таких перестановок обозначается символом Х . Очевидно, что Х содержит всего п)1 различных перестановок. Для двух перестановок оенХ н т~Х естественным образом определяется суперпозиция отенХ . Перестановка о-' называется обратной к о, если о-'о=оп '=е, где е — тождественная перестановка (т, е. е(я) =я, я=1, 2,..., и)). Перестановка о называется т р а н с п о з и ц и е й, если она переставляет два числа, оставляя другие на своем месте.
Иначе говоря, если существует пара чисел ( н 1 (1<1<и, 1 '1<п), (Ф1) такая, что о()) =1, о(1) =), о(й) =я для й~1 н ЙФ1. Очевидно, если и — траиспозиция, то о — '=о и о о=е. Известно, что всякая перестановка о разлагается в суперпознцию транспозиций, переставляющих числа с соседними номерами, причем четность числа транспозиций в таком разложении не зависит от его выбора и называется четностью перестановки о. Введем следующее обозначение: 1, если перестановка о четна, здп о= 1 — 1, если перестановка и нечетна. Заметим, что форма а~Ар(У) принадлежит Ар(У), если для любой перестановки о~Бр а($е))) 90О) ° ° $аы)) =(ЗИП О) а (9„$„..., $,).
Рассмотрим снова полилинейную форму (6.1.1). Для любой перестановки вентер+, положим оа(Ц„..., ~р ьр) =а(яе))), ..., йеы.ье)). (6.1.2) Нетрудно убедиться в том, что если тенХ„+, и оенХг+е, то (то) а=с(оа). Определение, Внешним произведением фор- ме) о)тенА„(у) и формы е)еенА,(у) называется форма е)я ~Аг) (У), определяемая равенством е)(зы ..., 4рЧ,) =~(зйпо) оа, о где сумма берется по всем перестановкам оенХ +, удовлетво- ряющим условию о(1) <о(2) «... о(р), о(р+1) «... о(р+д), (6.1А) Дополнение к гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
