ilin2 (947409), страница 43
Текст из файла (страница 43)
6. днфференпнальные форма в евклндоаом пространстве С другой стороны, Йо = — Ж' Л 4(в Д ... Л г((а. дй Следовательно, дат = ( — Йт Д... Д с(1'. (' д) р дн тР тл Равенство (6.1.19) доказано. Доказательство те оре мы Стокса. По определению интеграла по сингулярному кубу 1 с(со = ) ~р'(с(ат).
с р В силу свойства 2' дифференцируемых отображений (см. п. 2 Я 3) ) Ч'(с( ) =) с(ф'(ы). гл Далее воспользуемся уже доказанной формулой Стокса для куба Р: ) бф'(ы) ~ ф'(со). дтв гв Остается заметить, что по свойству интегралов по границе сингулярного куба (см. утверждение п. 2) ~ ф (та)=1 ы.
жл ас Теорема полностью доказана. 4. Примеры. 1'. Рассмотрим случай р=1. Одномерный сингулярный куб С в Еа — это некоторая кривая, концы которой обозначим через а и д. Формула Стокса приобретает вид В частности, когда п=1, получаем ф о р м у л у Н ь ю т о н а— Лейбница ь $4. Интегрирование цнфференцнальнмх форм 2'. Пусть теперь Р=2. Двумерный сингулярный куб С вЂ” зто двумерная поверхность, форма от~Я! имеет внд л сн = ~~, о!вахе. Е-1 Используя пример 2 и. 2 $2, получим ~ ~ ( — — — ) бхе Л бх' = ~ ~~~ ' отфхе . С Е<1 вс е-! Если п=2, то, обозначая го=РАх1+!~йхе, получим ф о р л1 у л у Грина ~ ( — — — ) Ах!Лдха =-~ Рдхт+ Ядха.
с ас Если п=З, то получим обычную ф о р м у л у С то к с а. 3'. Пусть Р=п. Тогда отеньа„т имеет вид ет ~ етебхтЛ...Л бха ' Лбха+! Л...Лил". а-! Далее, н н гко = ~„~~~ — е 11хт Л яхт Л... Л бх" = Е 111 =Х( 1)-1 д"" ах Лдх Л.„Ль-. е ! В частности, при п=З цт = Рйха Л азха — Ябх! Л йха+ Вахт Л Их', гйо = ~ — + — „+ — ) йх' Л йх' Л бха, I дР дЦ дР т ~ дх' дне дха ) и мы получаем формулу О стр о г р аде кого. Глава 7 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ Эта глава посвящена изучению специального класса функций, представимых в виде собственного или несобственного интеграла по одной переменной х от функции, которая кроме указанной переменной х зависит еще от одной переменной у, называемой п а р а м е т р о м.
Функции, представимые такими интегралами, принято называть интегралами, зависящими от парам е т р а. Естественно возникают вопросы о непрерывности, интегрируемости, дифференцируемости таких функций по параметру. 5 и РАВнОмеРнОе пО Одной пеРеменнОН СТРЕМЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ К ПРЕДЕЛУ ПО ДРУГОИ ПЕРЕМЕННОИ 1. Связь равномерного по одной переменной стремления функции двух переменных к пределу по другой премеиной с равномерной сходнмостью функциональной последовательности. Пусть на множестве Х, принадлежащем пространству Е' и состоящем из пар (х, у), где х принадлежит некоторому множеству числовой оси (х)=Х, а у принадлежит некоторому множеству числовой оси (у)= У, задана функция двух переменных [(х, у).
В простейшем случае под Х можно подразумевать прямоугольник П= =(а~х -.у, с(у(й~, где (х)=Х=- [а, б], (у)=у= [с, д), а г(х, у)— функция, заданная на прямоугольнике П. Пусть далее у0 — предельная точка множества (у). Если при каждом х, принадлежащем множеству (х), существует конечный предел !(тГ(х, у)=у(х), а м то будем говорить, что функция [(х, у) пот очеч но стр ем ится к функции д(х) на множестве (х) при у, стремящемся к уо, и будем писать: 1(х, у) — «д(х) прн у- уь Понятие поточечного стремления 1(х, у) к д(х) обобщает понятие сходимости в точке функциональной последовательности (см.
$1 гл. 2). $1. Равномерное стремление функции к пределу Действительно, в частном случае, когда множество (у)=)' является последовательностью (у„) и у„у,, функцию )(х, у) можно рассматривать как функциональную последовательность )„(х) =)(х, у„), определенную на множестве (х)=Х. Определим теперь понятие равномерного по переменной х стремления функции )(х, у) двух переменных к предельной функции д(х) при у — ~-уо. Определение. Функция )(х, у) стремится равномерно относительно х на (х) к функции у(х) при у, стремящемся к уо, если для любого е)0 существует 6=6(е))0 такое, что для всех УФуе из множества (у), для которых ~у — уе~ <6, и сразу для всех х из множества (х) выполняется неравенство 1)(х, д) — Ы(х) ~ <е.
Докажем утверждение, устанавливающее связь между равномерным на множестве (х) стремлением функции )(х, у) к д(х) при у-~-уе и равномерной на множестве (х) сходимостью функциональной последовательности )»(х) =)(х, у„) при У»- Уо, где У»ведь для всех и, уо — предельная точка множества (у).
Утверждение 1. Функция ((х, у) стремится к функции д(х) равномерно относительно х на множестве (х) при у — +ус тогда и только тогда, когда функциональная последовательность ) (х) = =((х, у„) сходится равномерно на множестве (х) к предельной функции д(х) для каждой последовательности (у„), д,— уа, где у, принадлежат (у), У„Фдр. Доказательство. Необходимость.
Пусть )(х, у) стремится к д(х) равномерно на множестве (х) при у-эуе. Возьмем произвольную последовательность (у.), где у„принадлежат (у), у»Фуе. и д„-эуо. Покажем, что последовательность () (х)), где )»(х) = =)(х, у„) равномерно на множестве (х) сходится к д(х). Фиксируем произвольное число в)0 и по нему число 6=6(е)) )О такое, что для любых у из множества (у) таких, что О< < ~у — уе~ <6, и для всех х из (х) выполняется неравенство )(х, у) — д(х) ~<е. Поскольку у„— ~уе, то найдется такой номер =Ж(6), что при любых п)М выполняется неравенство 1у.— уе1<6, из которого следует, что ~((х, у„) — д'(х) ~ <е при всех х, принадлежащих (х), и при любом п)Н.
Это означает, что )»(х) стремится равномерно на множестве (х) к д(х). Достаточность. Пусть для любой сходящейся к уе последовательности (у»), где у принадлежат (у), у„чьуе, соответствующая последовательность (»(х) =((х, у„) равномерно на множестве (х) сходится к функции д(х). Докажем, что функция )(х, у) равно- Гл, 7, Интеграла, аавнснптне от параметров мерно на множестве (х) стремится к у(х) при у — ~-уо. Допустим противное, т.
е. допустим, что существует такое число во>О, что для любого 6>0 найдутся уьФуо, ]Уь — Уо] <6, и точка х, нз (х) такие, что [1(хь, Уь) — й(хь) ]~>ео Пусть (6„) — последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. Тогда для соответствующих последовательностей (У„), (х„), где У,=У,„, х =х,„, бУдем иметь и„- Уо, ]У.— Уо]<6, тогда как ]1(х„, у„) — у(ха) ]>ео. Следовательно, последовательность функций )(х, у„) =)„(х) не сходится к у(х) равномерно на множестве (х). Таким образом, мы пришли к противоречию.
Утверждение 1 полностью доказано. 2. Критерий Коши равномерного стремления функции к предельной. Теорема 7.1. Для того чтобы функция )(х, у) стремилась равномерно на множестве (х) к некоторой функции д(х) при у- уо, необходимо и достаточно, чтобы для любого кисла е>0 существовало бы число 6=6(е) >О такое, что для любых у', у" из множества (у), для которых 0<]у' — уо]<6, 0<]у' — Уо]<6 и для всех х из множества (х) выполнялось бы неравенство ][(х, у') — )(х, у")]< Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно утверждению 1 достаточно рассмотреть последовательность ()(х, у,)), соответствующую последовательности (у„), где у„- у„у„из (у), У„Фуо, и воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости функциональной последовательности (см.
8 1 гл. 2). 3. Применения понятия равномерного стремления к предельной функции. Пусть множество (х)=Х совпадает с сегментом [а, Ь], уо — предельная точка множества (у) = У. Рассмотрим функцию [(х, у), где х из [а, Ь], а у из множества У. Сформулируем ряд утверждений, вытекающих пз соответствующих утверждений для равномерно сходящихся функциональных последовательностей (см.
гл, 2). Эти утверждения доказываются путем перехода к произвольной последовательности (уа), у„из У УчФУо, Уа-ьуо прн Утверждение 2. Пусть функция 1(х, у) интегрируема на [а, Ь] при каждом фиксированном у из У и 1(х, у) равномерно на [а, Ь] стремитсн к д(х) при у- уо. Тогда д(х) интегрируема на [а, Ь] и справедливы равенства ь ь ь 1пп ] 7(х, у)ах = ] д(х)дх = ] [1пп1" (х, у)]дх. о оо о о. Для доказательства этого утверждения достаточно применить тео- рему 2.8. 2зо $ !. Равномерное стремление функции к пределу у'(х) =Ь(х), (1пп )(х, у)) = 1пп 7" (х, у).
или Для доказательства этого утверждения необходимо воспользовать. ся теоремой 2.9. Утвер жденне 6. Пусть функция !'(х, у) задана на прямоугольнике П=(а(х(Ь, с(у(д) и непрерывна на нем. Тогда при л<обом уо из сегмента [с, д] при у-<-уо функция [(х, у) стремится равномерно по х на [а, Ь] к функции. 1(х, уь). Доказательство. Поскольку непрерывная на прямоугольнике П функция является и равномерно непрерывной на нем, то для любого числа е)0 существует такое число 6=6(в))0, что для любых точек (х', у'), (х", у"), для которых [х' — х" ]<6, [у' — у"[ <6, справедливо неравенство [1(х у ) — [(х, у ) ]<а. Пусть х'=х"=х, у'=у, у"=-уо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
