ilin2 (947409), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пусть « « 1(у) — ~ е — в — с(х — ~ 1(х, у)с(х. в о о Установим равномерную сходимость этого интеграла при у~)0 Для этого, очевидно, достаточно установить равномерную сходи- 1 мость интеграла ~ (е-з'гбп х) — !(х. К этому интегралу применим в ! приведенный в $3 признак Дирнхле — Абеля.
Действительно, интеграл е е«(уз!па+ сова) е — з з!пхг(х=— 1+ уз ! ! является ограниченным, так как 1,) Г „. ! ! ~ е ~ (уз1п!-1-сов !) ~ ! е з(уз!п1-1-со!1) ! е — е«з(пхс(х~ ~ ! +у' 1+ уз ! < '" + У) ~(3. !+ уз 1 Функция — при х-~+ со монотонно стремится к нулю. Из равномерной сходимости интеграла и непрерывности подынтегральной функции согласно теореме 7.9 $ 3 вытекает непрерывность функции 1(у) на (О, оо), т. е. справедливость равенства !пп 1(у)=1(0) =1.
з о+о Найдем значение 1(у). Рассмотрим вспомогательный интеграл е — з" эйп хз(х. Согласно признаку Дирихле — Абеля, который, очевидно, применим к этому интегралу, заключаем, что этот интеграл равномерно сходится в области у 'уо, где уо>0. 'Отсюда согласно теореме 7.14 $3 следует возможность дифференцирования интеграла 1(у) по параметру у в любой точке у>0. Таким образам, для любого у>0 1'(у) = — ~ е — в" з!пхз(х— е з«(уз!ив+свах) !"' 1 1+ уз !о 1+ Уз о й 4. Применение теории интегралов, аааисящнк от параметра 2ей Интегрируя это соотношение по [у, + оо), получим 1 (оо) — 1 (у) = — агс(а т [„" = — — "+ агс(а у.
2 атп х Поскольку ~ — ~ < 1, то для у>уо имеем при уо — ~-оо к [1(у)[~ ~ е — я 'с(х= — — е "~[Г = — -нО. о Уе Уе Отсюда получаем, что 1(оо) =0 и, следовательно, для любого у>О 1(у) = —" — агс(ау. 2 Переходя в этом равенстве к пределу арн у-т-О+О, получим 1(0) =1= ~ — '"" с(х= — ". х 2 о 2'. Рассмотрим интеграл 1(у) = ~ — "т(х.
в Найдем его значения при у>0, у<0 и у=О. При у>0 в интеграле 1(у) произведем замену переменной, полагая ух=О Тогда О к ) т 2 в о При у<0 произведем замену переменной, полагая ух= — 1 (1>0) Тогда 1(у) = — ~ — ""' ((= — — ".
2 а При у=О интеграл 1(у), очевидно, равен нулю. Следовательно„ т н — при у>0, ЯР 2 1(у)= ) — ах= 0 при у=О, а и ~ — при у< О. 2 л70 Гл. 7. Ивтегралы, ваввсящве от параметров Этот интеграл иногда называют разрывным множите.л ем Д ир ихл е. В частности, с помощью разрывного множителя Дирихле получаем представление для функции 1приу О, зяпу = 0 при у = О, — 1 при у<0 и виде знп у = — 1 с(х. 2 Г в1пух о 3'..
Вычислим интеграл Пуассона о1 ) в-~дх. Рассмотрим интеграл 7= ~ в-л*г(х= ~ в-д$,1 1 Р 2 о Э Положим х=ур, где у)0; тогда 7 (у) ~ е озв у(1 Умножим обе части этого соотношения на е-л* и проинтегрируем по (О, со): 1 ~ е в'йу =!в = ~ в о'у ( ) е в*'*й~ г)у.
Рассмотрим функцию 7'(у, 1) =уе — и+н1о', В области у)О, 2ЪО эта функция ограничена, непрерывна и неотрицательна. Йнтегралы О 0 ~ Г (у, 1) Ж = ув о' ~ е — вел й = е оП; о о Ф Ю 7(у, 2) с(у= ~ уе-о+р1в'ду= — е-и+гчв*~ 2 (1+ гв) )о -2(1+0) о о являются непрерывными функциями в областях изменения пара- " См. также Э Б гл. 3. 271 4 5. Интегралы Эйлера метра, т. е. соответственно в области у)0 и в области 1)0. Кроме того, О О « б1~ 1(у, 1) (у= — ~ — =— ! е ег и 2 е 1+Ге 4 а а а Таким образом, выполнены все условия теоремы 7.13 из $3. По- этому « М Ю М Р = ~ е — з'у ~ ~ е — ач'й) с(у = ~ г(г ~ 7 (у, 1) г(у = —, з а а а т.
е. « С ~ е-» г(х= т и ~ е-з*г(х )/д 2 $5. ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА В этом параграфе мы изучим некоторые свойства важных иеэлементарных функций, называемых и н т е г р а л а м и Э й л ер а 3) Эйлеровым интегралом первого рода или «бета-функ. цней» (В-функцней) называют интеграл 1 В (и, ~) = ~ х ' (1 — х)Р— Чх. а В этом интеграле а и р являются параметрами. Если эти параметры удовлетворяют условиям а<1, (1<1, то интеграл В(а, 11) будет несобственным, зависящим от этих параметров, причем особенности у подынтегральиой функции будут в точках х=О и х=-1.
Эйлеровым интегралом второго рода или «гамма-функц и е й» (Г-функцией) называют интеграл » Г (а) = ~ хо-)е — »с(х а Заметим, что в интеграле Г(а) интегрирование происходит по полупрямой 0<х<оо и при а<1 точка х=О является особой точкой подынтегральной функции.
Более подробно с интегралами Эйлера можно познакомиться в книге Э. Г. Унттекера н Дж. Н. Ватсона «Курс современного анализа. Т. 2» (Мл Фнзматгнз, 1963). 272 Гл. 7 Интегралы, аавневнгне от параметров 1. Г-функция. Интеграл ха 'е-"г(х о сходится при каждом а>0, поскольку 0<х"-'е™<х ', и интеграл 1 х" — 'дх при а) 0 сходится. В области а)ао, где ао — произвольное положительное число„ этот интеграл сходится равномерно, так как 0<х'-'еу"<хее-' и можно применить признак Вейерштрасса (теорема 7.8 $3). Сходящимся при всех значениях а>0 является и весь интеграл Ю 1 О Г(а)= ) х"-'е е(х=) х"-'е-"г(х+ ) х" — 'е-адх, так как второе о о 1 слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом а)0.
Легко видеть, что этот интеграл сходится равномерно по а в области 0<ао<а 'Ао<оо, где число Ао произвольно. Действительно, для всех указанных значений а и для всех О х>0 х" — 'е-"<е — "[х" '+хе'-'1, и так как ) е — а[х' '+х"-')дх о сходится, то выполнены условия применимости признака Вейерштрасса.
Таким образом, в области 0<ао<а<Ао(оо интеграл Г (а) = ) х" — 'е — г(х сходится равномерно. о Отсюда вытекает непрерывность функции Г(а) в области а>0 Докажем теперь дифференцируемость этой функции прн а>0 Заметим„что функция Г„(х, а)=1пх х'-'е — * непрерывна при а)0 и х>0, и покажем, что интеграл Р О ~ Г„(к, и)г(х=~ 1пх х — 'е — "г(х о о сходится равномерно по а на каждом сегменте [ао, Ао[, 0<ао< <Ао<ео.
Выберем число ео так, чтобы 0<ео<ао, тогда х'о1пха-0 при х — О. Поэтому существует число 6 такое, что 0<6(1 и 1х"" 1пх1< 1 на (О, 6]. Но тогда на (О, 6) справедливо неравенство 11пк х -'е — "1%,, х" о ок и так как интеграл [,,„,, сходится, то интеграл 273 5 5. Интегралы Эйлера 6 1пх х' 'е — «бх сходится равномерно относительно а на [ао, оо). Аналогично для а«Ао существует такое число б,)1, что для всех 1п« «о'+ 2 х)б, выполняется неравенство ~ — ~о 1.
При таких х х «« и всех а -Ао получим [1пх.х"-'е — «[(1/хо, откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл ) 1пхх" — 'е — «г(х сходится равное, мерно относительно а на [ао, Ао). Наконец, интеграл о| 1пх хо — 'е — «г(х, о и котором подынтегральная функция непрерывна в области б( я х =б', ао =а~Ао, очевидно, сходится равномерно относительно а на [ао, Ао]. Таким образом, на [ао, Ао) интеграл ) 1п х х'-'е-Чх о сходится равномерно (по а), а следовательно, функция Г(а) диф- фереицируема при любом а>0 и справедливо равенство Ф Г'(а)=) 1пх.х« "е — «йх.
о Относительно интеграла Г'(а) можно повторить те же рассуждения и заключить, что Г" (а) =~1п'х х" 'е «г(х. По индукции показывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема при а)0 и для ее л-й производной справедливо равенство Г(«0 (а) = )г! п«х хо 'е — «о(х о Установим теперь некоторое соотношение для Г-функции, называемое ф о р м у л о й п р и в е д е н и я.
Для этого выражение для Г(а+1) проинтегрируем по частям: Г(а+ 1) =) х е — «о(х= — х е — *[о" +а ) х" — 'е-«г(х. о о 274 Гл. 7. Интегралы, ааввсявгве от параметров Следовательно Г(а+1) =аГ(а). Это соотношение и называется формулой приведения для Г-функцин. Если а)1, то, применив формулу приведения. к Г(а), получим Г(а+1) =аГ(а) =а(а — 1)Г(а — 1). Если л — 1<а<я, то в результате последовательного применения формулы приведения получим Г(а+1) =а(а — 1)...(а — и+1)Г(а — а+1).
Это равенство показывает, что достаточно знать Г(а) на (О, 1], чтобы вычислить ее значение при любом а)0. Например, при а=и получаем Г(п — 1)-и(п — 1)- ... 2.1 Г(1). Поскольку Г(1) = ! е "г!х=!, то Г(а+1) =и! Из этой формулы, например, получаем Г(1) =1=-0!, что соответствует соглашению 01=1.
Изучим теперь поведение Г-функции н построим эскиз ее графика. Из выражения для второй производной Г-функции видно, что Г" (а)>0 для всех а>0. Следовательно, Г'(а) возрастает. Поскольку Г(2) =1.Г(1) =Г(1), то по теореме Ролля на сегменте [1, 2) производная Г'(а) имеет единственный нуль в некоторой точке а'. Следовательно, Г'(а) <О при а<а' н Г'(а) >О при а>а', т. е.
Г(а) монотонно убывает на (О, а') и монотонно возрастает на (а', оо). Далее, поскольку Г(а) =Г(а+1)/а, то Г(а)-а— +со при а — гО+О, При а)2 из формулы Г(а) =(а — 1)Г(а — 1)> >(а — 1) Г(1) =а — 1 следует, что Г(а)-«+со при а-е+оо. Равенство Г(а) =Г(а+1)/а, справедливое при а>0, можно использовать при распространении Г-функции иа отрицательные значения а. Положим для — 1<а<0, что Г(а) =Г(а+1)/а. Правая часть этого равенства определена для а из ( — 1, 0). Получаем, что так продолженная функция Г(а) принимает на ( — 1, 0) отрицательные значения и при а- — 1+О, а также при а — 0 — 0 функция Г (а) т — оо. Определив таким образом Г(а) на ( — 1, 0), мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал ( — 2, — 1).
На этом 275 Ь 5. Интегралы Эйлера интервале продолжением Г(а) окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что Г(а)-1-+со при а — 2 — 1 — О и а-г — 2+О. Продолжая этот процесс, определим функцию Г(а)„ имеющую разрывы второго рода в целочисленных точках а= — /о, /1=0, 1, 2,, (см. рис. 7.1). Отметим еще раз, что интеграл Г (а) = ~ х — ге-Чх о определяет Г-функцию тол ько при положительных значениях и, продолжение на отрицательные значения а осуществлено нами формально с помощью формулы приведения Г(а+1) =аГ(а). 2.
В-функция. Рассмотрим интеграл, определяющий В-функцню: Рнс, 7,! В(а 1) 1х -1(1 «)В-глх о 1/2 Интеграл ) х '(1 — х)а 'с(х сходится при а>0 н любом о так как при 0<««1/2 справедливо неравенство 0«х"-'(1 — х)'-' Ц2 (сх' ' при некотором с>0 н интеграл ~х" 'г(х при а>0 схо- о дится. Этот интеграл сходится равномерно относительно а и р в области а)ао>0, ~ЪО, поскольку О< «- (1 — «) <сх"- прн всех а>ао и ~>0 и для всех «я(0, 1/2]. Аналогично проверяется сходимость интеграла 1 ) х — '(1 — х)" 1дх пг при любых а>0 и (!>О, а также его равномерная сходнмость в области а'-:О, ~~>ро>0, где бо>0 — произвольное число. 276 Гл. 7. Интегралы, зависяпгие от параметров Таким образом, интеграл ! В(а, р)=~х '(1 — х)Р-'с(х о сходится при всех а>0 и б>0 н сходится равномерно по а и р на множестве а>ао>0, р>ро>0, где ао' и бо — произвольные положительные числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
