ilin2 (947409), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Определение 1. Два элел(ента [ и д евклидова пространства называются о р т о г о н а л ь н и м и, если скалярное произведение (1, д) этих элементов равно нулю, Рассмотрим в произвольном бесконечномерном евклидовом пространстве ас некоторую последовательность элементов. ф( $2 ([(а, ° ° ° ° (8.9) Определение 2. Последовательность (8.9) называется орт о но р м ир оо ва н ной системой, если входя(цие в эту последовательность элементы попарно ортогональньс и имеют норму, равную единице. Классическим примером ортонормированной системы в пространстве Ко всех кусочно непрерывных на сегменте [ — и, ж] функций является так называемая тригонометрическая сис- тема 1 соах Мох соя ях я!и лх т'ва )аи т'а у'а ' )'и ' Читатель легко проверит, что все функции (8.10) попарно ортогональиы (в смысле скалярного произведения (8.1), взятого В частности, во введенном выше евклидовом пространстве 11о всех кусочно непрерывных на сегменте [а, Ь] функций норма (8.4) любого элемента [ определяется равенством $ 1.
Ортонормнрованиые системы и общие ряды Фурье 291 при а= — л, Ь=л) и что норма каждой из этих функций (определяемая равенством (8.6) при а= — л, Ь=л) равна единице. В математике и ее приложениях часто встречаются различные ортонормированные (на соответствующих множествах) системы функций. Приведем некоторые примеры таких систем. П р и м е р ы. 1'. Многочлены, определяемые равенством Р„(х)= —.
1 1 (п=О, 1, 2, ...), (8.11) принято называть пол ином а ми Лежандра. Нетрудно убедиться, что образованные с помощью много- членов (8.11) функции ф„(х) " Р„(х) (п=О, 1, 2, ...) образуют ортонормированную (на сегменте [ — 1„+11) систему функций. 2'. Многочлены, определяемые равенствами Та(х) =1, Т,(х) =2'-"сов [п(агссозх)) при п=1, 2, ..., называются пол ни о м а м и Ч е б ы ш е в а. Среди всех многочленов п-й степени с коэффициентом при х", равным единице, полипом Чебышева Т„(х) имеет наименьший на сегменте — 1~х с1 максимум модуля. Можно доказать, что полученные с помощью полиномов Чебышева функции образуют ортонормированную на сегменте [ — 1, +1) систему. 3'.
В теории вероятностей часто применяется систем а Р адем ахер а'> >(>,(х) =тр(2"х) (п=О, 1, 2,...), где >р (г) = зпи (8!и 2п!), Легко проверяется, что эта система ортонормнрована на сег- менте О~х~1. 4', В ряде исследований по теории функций находит приме- нение с и с т е м а Х а а р а 4>, являющаяся ортонормированной на сегменте О~х<1. Элементы этой системы определяются для всех п=О, 1, 2,... и для всех й, принимающих значения 1, 2, 4, ...,2". Они имеют вид '> Радемахер — немецкий математик (род.
в 1893 г.). '> Хаар — немецкий математик (1885 †19). 292 Гл. В Ряды фурье 2й — 2 2й — ! при „+, ( х ( „+,, 2й — 1 2й при „+, ( х~( — „ в остальных точках !О, 11, ( й'2" »» (х) = )/2» 0 » Е 6Фь й-! (8.12) в которол! через 1» обозначены постоянные числа, называемь!е коэффициентами Фурье элемента 1 и определяемые равенствами )й= (!', фй) й=1, 2,... Естественно назвать конечную сумму » 3.=ЕМй й=! (8.13) и-й ч а с т и ч н о й с у м и о й р я д а Фурье (8.12).
Рассмотрим наряду с и-й частичной суммой (8.!3) произвольную линейную комбинацию первых п элементов ортонормированной системы (»рй) (8.14) с какими угодно постоянными числами Сь С,,..., С,. Выясним, что отличает и-ю частичную сумму ряда Фурье (8.13) от всех других сумм (8.14). Договоримся называть велнчину !!! — у!! отклонением 1 от у (по норме данного евклидова пространства). Имеет место следующая основная теорема. Каждая функция Хаара представляет собой ступеньку такого же вида, как функция )'2" зяпхна сегменте 1~ — 2 +', 2 + ~~, -!»+!! — !»+ и ! Для каждого фиксированного номера и при увеличении значения й эта ступенька сдвигается вправо.
Всюду вне соответствующей ступеньки каждая функция Хаара тождественно равна нулю. 2. Понятие об общем ряде Фурье. Пусть в произвольном бесконечномериом евклидовом пространстве )! задана произвольная ортонормированная система элементов (фй). Рассмотрим какой угодно элемент 1 пространства )т. Определение 1. Назовем рядом Фурье элемента ! по оргонорй!ированной системе (фй) ряд вида ф 1. Ортонормироианные системы и общие ряды Фурье 293 Теорема 8.1.
Среди всех сумм вида (8.14) наименьшее отклонение от элемента 1' по норме данного евклидова пространства имеет п-я частичная сумма (8.13) ряда Фурье элемента 7. Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая ортонормированность системы (т)т») и пользуясь аксиомами скалярного произведения, можем записать: ~~:С,Ф, У)(=~~„С,Р,— Р, ~'С,Р, У)= »-! »-! л л =~ С,"(Ф„Ь,) — 2~'„С,У, Р,)+(7, ):)= »-! »-! = Е С» — 2 Х СА+ И!!'=,'),(С» — Рд' — ЕЮ+!Ч!!'. »-! »=1 »-! Итак, ~ Х С» Ь-1~!'= Е (С»-6) +!У!! — У Р». »-! »-! »-! (8.15) и а 1)7)~ — ,'Г', РЯ<(~ У„С,й.— )(~'. (8.16) » Неравенство (8.16) является непосредственным следствием тождества (8.15).
Следствие 2. Для произвольного элемента 1 данного евклидова пространства, любой ортонормированной системы (т)>») и любого номера и справедливо равенство а л !! Е и.— уГ=!1и!' — Е а, »-! » ! (8.17) часто называемое тождеством Б гс с ел я а), '! Фридрих Вниьгеиьм Бессель — немецким астроном и математик 11784— 1848). В левой части (8.15) стоит квадрат отклонения суммы (8.14) от элемента 1 (по норме данного евклидова пространства). Из нида правой части (8.15),следует, что указанный квадрат отклонения является наименьшим при С»=1» (так как при этом в правой части (8,15) первая сумма обращается в нуль, а остальные слагаемые от С» не зависят).
Теорема доказана. Следствие 1. Для произвольного элемента 7" данного евклидова пространства и любой ортонормированной системы (!р») при произвольном выборг постоинных С» для любого номера п справедливо неравенство Гл. 8 Ряды Фурье Для доказательства равенства (8.17) достаточно положить в (8 15) Сь=)е. Теорема 8.2. Для любого элемента 1' данного евклидова пространства и любой ортонормированной системы (яре) справедливо следующее неравенство: ~; 1,' < !! у (!', я- 1 (8.18) называемое неравенством Бесселя.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неотрицательности левой части (8.17) следует, что для любого номера и (8. 19) Но это означает, что ряд из неотрицательных членов, стоящий в левой части (8.18), обладает ограниченной последовательностью частичных сумм и поэтому сходится. Переходя в неравенстве (8.19) к пределу при п-ь-со (см. теорему 3.13 ч. 1), получим неравенство (8.18). Теорема доказана. В качестве примера обратимся к пространству Ке всех кусочно непрерывных на сегменте — я(х~п функций и в этом пространстве к ряду Фурье по тригонометрической системе (8.10) (этот ряд принято называть т р и г о н о м е т р и ч е с к н м р я д о и Фурье).
Для любой кусочно непрерывной на сегменте 1 — я, п1 функции Г(х) указанный ряд Фурье имеет вид (8. 20у гДе коэффициенты ФУРье 7я и 1» опРеделЯютсЯ фоРмУлами г'е= у,— ~~( )дк' (8.21) )ь= —, (7(х)созяхах; Гь== ! 7(х)з)пяхдх (й=1, 2, ...).
и й ь г -и — я Неравенство Бессели, справедливое для любой кусочно непрерывной на сегменте ( — н, п) функции 7(к), имеет вид О я 0+7,(6+3)< ~Г()д' $ 2. Замкнутые и ионные ортонормированные системы Ю вЂ” '+ ~~1,(а»смйх-~-Ь»япйх), »-1 (8.20''р где I н аа — — — —— — ! ! (х) с(х; 2(о ! Г Укя и — н а» = » = — ~~(х) соз Ахах; 1» ! егй н Ь» = — = — ~ ~ (х) з! и Ахах 1» ! !Уа я -л (й = 1, 2, ...). (8.23р При такой форме записи неравенство Бесселя (8.21) принимает вид — +~~ (а'+Ь') < — ~1а(х) ( .
(8.2 Г): Замечание. Из неравенства Бесселя (8.21') вытекает, что для любой кусочно непрерывной на сегменте [ — я, тт) функции )(х) величины а» и Ь» (называемые тригонометрическими коэффициентами Фурье функции !(х)) стремятсякиулю при л-»-оо (в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части (8.21') ). 5 2. ЗАМКНУТЫЕ И ПОЛНЫЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ Как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать произвольную ортонормированную систему (тр») в каком угодно бескоиечномерном евклидовом пространстве К.
Отклонение )(х) от д(х) по норме в этом случае равно так называемому среднему квадратичному отклонению и — »=У' 1!!(е — ио!! а . (8.22) Отметим, что в теории тригонометрических рядов Фурье принята несколько иная форма записи как самого ряда Фурье (8.20), так и неравенства Бесселя (8.21), а именно: тригонометрический ряд Фурье (8.20) обычно записывают в виде Гл.
8 Ряды Фурье Определение 1. Оргонормированная система (тря) называется з ам к н у то й, если для любого элемента ( данного евклидова пространства К и для любого положительного числа г найдется тикая линейная комбинация (8.14) конечного числа элементов (тря), отклонение которой от ( (по норме пространства К) меньтие г. Иными словами, система Ць) !называется замкнутой, если любой элемент ( данного евклидова пространства К можно приблизить по норме этого пространства с любой степенью точности линейными комбинациями конечного числа элементов (трь).
Замечание 1. Мы опускаем вопрос о том, во всяком ли евклидовом пространстве существуют замкнутые ортонормированные системы. Отметим, что в части 3 будет изучен важный подкласс евклидовых пространств — так называемые г и л ьб е р т о в ы пространства — и будет установлено существование г, каждом таком пространстве замкнутых ортонормированных систем. Теорем а 8.3. Если ортонормированная система (фь) является замкнутой, го для любого элемента Г рассматриваемого евклидова пространства неравенство Бесселя (8.18) переходит в точное ра,венство ~ ~я=И' (8.24) и=! называемое равенством Па р се валяя!. Д ок а з а те л ь ство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
