ilin2 (947409), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Точно так же, как и для Г-функции, можно показать, что З-функция является бесконечно дифференцируемой при 0<а<со, 0<(1<со. Однако это мы установим ниже, используя выражение В-функции через Г-функцию. Поэтому показывать непосредственно дифференцируемость В-функции мы не будем. Установим некоторые свойства В-функции. 1'. Симметричность В-функции: яри всех а>0, р>0 .имеет место равенство В(а, б) =В(р, а), т. е.
В-функция симметрична относительно своих аргументов. В интеграле, определяющем В-функцию, сделаем замену пеуеменной, положив 1=1 — х. Получим ! о В(а, ())=~х» '(1 — х)Р гдх= — ~(1 — Г)" гГР гдГ ! 2'. Формула приведения для В-функции: для лю6ых а>0 и р>0 имеет место следующая формула приведения: В(а+1, ())= — "В(а, р). а+ б Действительно, ! В(а+ 1, р) = ~ х»(1 — х)6 — гдх= — — х (1 — х)61о+ + — 1 х '(1 — х)вдх= — т х '(1 — х)(1 — х)в-гдх ! ! а Г = — ~~ ~ х" — ' (1 — х)6-гдх — ~ х» (1 — х)Ю вЂ” !дх~ =.
о о = — В(а, ()) — а В(а+ 1, р). $5, Интегралы Эйлера 277 Таким образом, В(а+1, ())= — В(а, р) — — В(а+1, ()), Р откуда В(а+1, Я= — В(а, ()). а+ р Из свойства симметрии для любых а>0 и р>0 получается также формула В(а, р+1)= — В(а, ()). а -1- р Последовательное применение этих формул дает возможность выразить любые значения В(а, р) через значения этой функции в прямоугольнике П=(0(а(1, 0(р--1). 3. Связь между эйлеровыми интегралами.
В интеграле, определяющем Г(а), сделаем замену, полагая х=иг, где и>0, а в интеграле, определяющем В(а, б), сделаем замену х= —: 1 1+1 0 Ф Г(а)=ин ~ 1" — 'е-"гг(1, В(а, р)= ( о(1. ,) (1+1)"+Р о о Заменив в первом интеграле и через 1+о, а а через а+ р, получим Г(а+~) = ~ 1'"+Р— 'е — и+'Щ. (1+о) +Е о Умножнм обе части последнего равенства на п -'.
оа — 1 Г(а ( р) ~ (а+а — ГŠ— П+о)Гон — 1О(1 (1 + о)н+Р о Предположим, что а>1, ()>1, и рассмотрим в области 1)0, о>0 функцию 7(1, п)=(о+э 'э — 'е — и+'1г. Очевидно, что в этой области 7(1, и) >О. Далее, интеграл л )=~~о, )л-го+а — '--~- (1+„)о В о является непрерывной функцией от н на полупрямой п>0. Интег- 278 Гл. 7. Интегралы, ваввснпсне от параметров рал по другому аргументу от этой функции также непрерывен пс» 1 на полупрямой с)0, поскольку К Я = ) 7 (1, и) сЬ = (о+а — 'е-' ~ е — "и — сс(и = Г (а) (Р— 'е-т, о о Наконец, существует повторный интеграл ) К(1)с(с= ) с(1 ') 7'(1, и)сЬ= ) Г(а) Ф-'е — 'с((=1'(а) Г(()). о о о о Следовательно, в силу теоремы 7.13 $3 имеет место равенство Ф е 1У(и)(и=1 К(1) (С, или ~1(и)с(и=~Г(а+()) " „„ро с(и=Г(а+Я ( о сЬ ) „)и+о .) (1+ )+В о о о =~К(1) с(с =Г(а) Г(()).
о Таким образом, Г(а+р)~ и + с(и=Г(а+())В(а, 1))=Г(а)Г(р), о где мы воспользовались установленным выше равенством: о В результате получим, что для всех а) 1, ~) 1 В (а ()) 1' («) Г (()) 1' (а+ ()) Распространим эту формулу на значения а О, ~~0. По доказанному справедлива формула В(а+1 1+1) Г( +1) Г(р+1) Г (а -1-р+2) 279 5 5.
Интегралы Эйлера Воспользовавшись формулами приведения, получим В(а+1„я+1)= а В(а, я+1)= а н В(а, ))); а+й+1 а+()+!а+() Г(а+1) =аГ(а); Г(р+1) =рГ(р); Г (а+ й+ 2) = (а+ й+ 1) (а+ ()) Г (а+ р) . Подставляя эти выражения в формулу для В(а+1, р+1), получим .формулу В(а ()) Г(а) Г(й) Г (а+ р) для всей области а)0, р О. 4.
Примеры. Приведем примеры вычисления некоторых интегралов путем сведения их к эйлеровым интегралам. 1'. Вычислим интеграл Ю 1=') хьо(1+х) г(х. о Очевидно, что 2'. Найдем значение интеграла ! = ~ згпа-' !сова-! 1о(!. о Полагая х=з(по 1, получим Х "хз (1 х)о д В(а ' 1 2 2 (2 2 2 !а+()т о г( — ~ 2 3'. Вычислим интеграл и/о ! 1= ) з(па-г(Д(, о Используя пример 2' (при р=1), получим г( †) 1 Г~( 1 ) 2 2 2, (а+!) Гл. 7. Интегралы, аааиеяпгие от параметров Далее, Г ( — ) = ~ е-' = = 2 ~ е ' г( ( у'т), а о » Г л, у« Заменяя !! на х и вспоминая, что интеграл е л*о(х= — (см, 2 г 1 пример 3' $4), получим Г ( — ) = у'л. Поэтому 'т 2 г' г«! = ') 5!П«го!= 5 6.
ФОРмулА стиРлииГА Мы уже знаем, что » п! = Г(л+ 1) = ) х"е-'т(х. о Найдем представление величины л! при больших значениях л (так называемое асимптотическое представление). Мы докажем формулу л! = ( — ) р'2ил (1 + =), где величина го заключена между — 1 и +1. Это и есть форм ула Стирлннга. Перейдем к ее доказательству. Заметим, что функция х"е * ! « возрастает на [О, л| от 0 до ( — ) и убывает на [л, +оо) от (-.) «!» — ) до О. Заметим, что х»е-.т — («) ( я) е» вЂ” я а поэтому и! = ( " )"~ ( " )" е»-»,(х о гх!" Функция ( — ) е» вЂ” '. на [О, л) возрастает от О до 1, а на [л, +со) « убывает от 1 до О.
Поэтому можно сделать замену переменной 2В! б б. Формула Стирлиига ( ) еп — к и — и При эхом сегменту [О, л| изменения х будет отвечать полуось ( †, 01 изменения 1, а полуоси (и, оо) изменения х — полуось (О, оо) изменения 1. Для проведения замены переменной (и) необходимо найти лк производную —.
Для любого х4-.и, дифференцируя левую и лт правую части (и) по 1, получим равенство лх 21х от х — л и потому л (х — л)а 2 (и+ О (к — л))а Отсюда л х — и 1/ л ! 2 л+О(х — и) ~' 2 О+— х — и л 1 к/л Поэтому — = — р — — О, а, следовательно, к — и ! К 2 1 л — + 21 (1 — О). 2 — «=21 — к=21~1 ай х — л Теперь в интеграле о менной (и): 10 Зак. 25 1)-' хтл — е"-кг(х произведем замену перел ~ С другой стороны, логарифмируя равенство (и), получим 1 =х — и — и!п (1+ а / х — л Записывая для функции 1(у) =1п(1+и) формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа, мы получим, что найдется число 6 из интервала 0 =О(1 такое, что 1п(1+(т) =и— уа х — л так что при у = 2 '(1+ Оу)а' л 1и 1+ х — л ! х — и 1 (х — л)а л ) л 2 (л+О(х — л))а' 282 Гл.
7. Интегралы, зависящие от параметров =( — ") рг2п ~ ~ е-«г(/+ '] е-«/(! — 0)~/г1. Оценим интеграл ) е — «!(1 — 0)с(!. Заметим, что Ф + е Ю е-«!(1 — 0)г!! <2 $ !е «г!!= — е '(в =-1. +О Учитывая, что ) е 'е!!=')е й и )е и >2, окончательно получим п! = ~ — ) ')г 2ип ~ 1 + =), где ]го](1. Формула Стирлинга обоснована. Заметим, что более детальный анализ показывает, что справедливо, например, следующее разложениео: п! =Г(п+1)=)г'2лл] — ! 11+ — + . +О! — 1~, е / ! 12л 288ле 5(840лз е, л' / в котором остаток не превосходит последнего удерживаемого сла- гаемого. й 7. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЪЦ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ 1.
Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров. Пусть х= (хь хз,...,х„) — точка ограниченной области 11„п-мерного евклидова пространства Е", а у= (уь ув...,у„) — точка ограниченной области Р пространства Е . Обозначим через 11 Х ХРм прямое произведение области ь)„на область Р, являющееся подмножеством (п+т)-мерного евклидова пространства Е"', состоящим из точек г= (гг, гс,...,г„„,) таких, что точка (гп гь...,г„) ПрИНадЛЕжИт Ь1„, а тОЧКа (го»Г гл»я ... 2л м) Прннадлежит .Р„(часто пишут так: г= (х, у)). Тот факт, что точка г принадлежит ь)„ХР«о обычно записывают следующим образом: г= (х, у) ень)„ХР . ее См., например, й 8 гл.
9 книги В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Осееовы математического анализа. Ч. 2» (см. сееоску на с. 299), $ 7. Кратные ннтегралы, аавнеящне от параметров 2ВЗ Замыкание области ь)„будем обозначать символом Й„а замыкание 0 — символом 0 . Легко видеть, что замыкание П„Х0 совпадает с Й„Хст . Пусть функция 7(х, д) определена в й Х.0 , причем для любого уаы0 функция 1(х, у) интегрируема по х в области ьг„. Тогда функцию l (У) = ) 7'(х, У) йх, (7.9) ал определенную в 0 „называют и и т е г р а л о м, з а в ~и с я щ и м о т параметра у= (уь у,,...,у ), т. е. фактически от пт числовых параметров. Точно так же, как и в $2, доказываются следующие теоремы.
Т е о р е м а 7,15 (о непрерывности интеграла по параметру). Пусть функция 1(х, у) непрерывна по совокупности аргументов в замкнутой области й„Х0м, тогда интеграл (7.9) является непрерывной функцией параметра у в области 0 . Теор ем а 7.16 (об интегрировании интеграла по параметру). Пусть функция 7(х, д) непрерывна по совокупности аргументов в замкнутой области Я„Х0 .
Тогда функцию (7.9) можно интегрировать по параметру под знаком интеграла, т. е. справедливо равенство ) 7(д)йу= ) йх | Т(х, у)йу. о ал ом Т е о р е м а 7.17 (о дифференцируемости интеграла по параметру). Пусть функция 1(х, у) и ее частная производная — нед7 дуе прерывны в Й„Х0 . Тогда интеграл (7.9) имеет в области 0 непрерывную частную производную дт(у) дт'(у) ('д/(я, у) дуь дуя,) дуь «тл 2, Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра.
Рассмотрим для простоты случай, когда й =0 =О. Пусть функция 1(х, у) также имеет специальный вид: )(х, у)=г(х, у)у(х), где г(х, д) непрерывна при хну в 0х0, . а функция д(х) ограничена в О, (д(х) ~(М. Таким образом, рассмотрим интеграл у(у) =~ р(х, у)д(х)йх, (7.10) где подынтегральная функция может иметь особенность лишь при х=у. Таким образом, особенность подынтегральной функции зависит от параметра.
10* Гл. 7. Интегралы, аавнсянгне от параметров 284 Введем определение равномерной сходи мости интеграла (7.10) в точке. Обозначим через В(дм 6) т-мерный шар радиуса б с центром в точке уо. Определение. Интеграл (7.10) назовем сходни(имся равномерно по параметру д в точке до~В, если для любого е)0 можно указатв 6)0 такое, что В(уо, 6)с:г), и для любой кубирдемой области ОсВ(уо, 6) и всех де=В(до, 6) выполняется неравенство ~ ) Р (х, у) у (х) дх ~ к, е. Теорема 7.!8.
Если интеграл (7.10) сходится равномерно по у в точке уо~Е1, то он непрерывен в точке уо. Доказательство. Требуется доказать, что для любого е)0 существует 6)0 такое, что при (у — уо~ =р(у, д,) (6 выполнено неравенство (У(у) — У(уо) ! (е. Из равномерной сходимости интеграла в точке следует, что существует 6,)0 такое, что В(уо, 6~) ~0 и при у~В(уо, 6,) Р(~, у)у( )дх| <+ вон,ов Пусть У (у)= ~ Р(х, у)у(х)с(х; вол,ы Уа(у) = ) Р(х, д) у(х) дх, в го,,ое где В'(у„б,) =В'~,В(уо, 61) — дополнение шара В(до, 6,) до об- ласти О. Заметим, что при х~В'(уо, 61), у~В(уо, 61/2) функция Р(х, у)' будет равномерно непрерывной по совокупности аргументов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
