ilin2 (947409), страница 48
Текст из файла (страница 48)
По- этому найдется положительное число 6(61(2 такое, что при р(у, уо) (6 будет выполнено неравенство (Р(х, у,) — Р(х, у)(( ЗМ!1Э( где М вЂ” константа, ограничивающая функцию у(х) в .О, (.0~— объем области О. При р(у, уо) (6 (Уа(у) — У,(у,)( «~ М ~ (Р(х, у,) — Е(т, у)1дхС— в <а.,ог Поэтому ! 1'(у) — У (уо) | ~ ( У1 (у) ! + ! У| (уо) | + ~ Уа (у) — Уа (уо) ! (е, так как ! У1(д) !(е/3, (У~(до) ~ (е/3. Теорема доказана. й 7. Кратные интегралы, зависящие от параметров 285 Укажем достаточное условие равномерной по параметру сходи- мости интеграла (7.10) в каждой точке уогнЛс:.Е'". Теорема 7.19.
Пусто функция Р(х, у) непрерывна в ПХо при хФд, а к(х) равномерно ограничена в О, Лредположим, что суи1ествуют постоянные Х, 0<Х<гп, и с)0 такие, что для всех хг=Л, уг-:'Л справедливо неравенство )Р(х, у) ) ~с)х — у( и. Тогда интеграл (7.10) сходится равномерно по у в каждой точке дог=В. Доказательство. Покажем, что для любой точки уо области Л и любого е~0 существует 6~0 такое, что для любой кубируемой области бсВ(уо, 6) и всех дяВ(уо, 6) выполнено неравенство ~ ) р(х, д)у(х)дх~ < и.
Учитывая оценку для Р(х, у) и ограниченность у(х), получим )) Р(х, у)у(х)дх(<М,~!х — у( с(х. а а Фиксируем точку уенВ(уо, 6). Из условия Ос:В(уо, 6) вытекает условие бс:В(у, 26). Поэтому ~) Р(х, у)у(х)йх~<М, ) (х — у( дх. а вобоб> Интеграл в правой части можно вычисли~ь в и-мерных сферических координатах; тогда зб 1 ~Р(х, у)а(х)д ~<М,~ -- й.=~" 6"-"=М,б"-". ы — Х а о Ясно, что при достаточно малом 6 величина ) )Р(х, у)у(х)дх~ а может быть сделана меньше е.
Теорема доказана. Пример. Применим полученные результаты к теории так называемого ньютоно в а поте н ц и а л а. Пусть в некоторую точку Ло(х, у, г) помещена масса гпо. На массу пг, помещенную в точку Л1(хь уь г1), по закону всемирного тяготения действует сила щщо и= — у — г дз где )с =р(Ло, Л~), у — гравитационная постоянная, г = —— н й 2аб Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора А,Аь Пусть у=1, т=1; тогда или покомпонентно Х= — — (х,— х), 1'= — — (ут — у), У= — — (г — г). Очевидно, что потенциал силы тяготения, определяемый как ска- лярная функция и такая, что Е= игад и, равен Если же масса сосредоточена не в точке Аз(х, у, г), а распределена по области 11 с плотностью 1т(х, у, г), то для потенциала и для компонент силы получим и(х„р„г,)=Щ "',"' ') Ьс(убг; Х= — Д~ ' ' (х — х)дхдудг, Г р(л,у,г) дз о '=-О1"""' '- """' о Х= — Щ "("' ~' ') (г,— г)с1хдус(г.
о Интегралы для Х, У, Х представляют собой частные производные потенциала и. Подыитегральные выражения во всех интегралах можно оценить через С)с-а, где а=! для интеграла, представляющего потенциал и, и ).=2 для интегралов, представляющих компоненты силы. Так как 7 (3, то в силу теоремы 7.19 все интегралы сходятся равномерно по параметрам в любой точке А1(хь уь г1). Следовательно, по теореме 7.18 оии представляют собой непрерывные функции точки А1(хь дь г~).
Глава 8 РЯДЫ ФУРЬЕ Изучаемая в настоящей главе проблема разложения функции в ряд Фурье является обобщением и развитием идеи разложения вектора по базису. Из линейной алгебры известно, что если в линейном пространстве конечной размерности выбрать некоторый базис, то любой вектор этого пространства может быть разложен по базису, т. е. представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Гораздо более сложными являются вопросы о выборе базиса и о разложении по базису для случая бесконечномерного пространства.
В настоящей главе эти вопросы изучаются для случая евклидовых бесконечномерных пространств и для базисов специального типа (оргонормированных базисов). Особенно подробно изучается базис, образованный в пространстве всех кусочно непрерывных на некотором сегменте функций так называемой тригонометрической системой. й Ь ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЩИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 1.
Ортонормированные системы. Будем рассматривать произвольное евклидово пространство бесконечной размерности. Напомним, что линейное пространство К называется е в к л и д о в ы м, если выполнены два условия: 1) известно правило, посредством которого любым двум элементам 1 и д пространства К ставится в соответствие число, называемое скаля рным произведением этих элементов и обозначаемое символом Ц, и); 2) указанное правило удовлетворяет следующим четырем аксиомам: !'. (), д) = (й', 1) (гереместительное свойство); 2'.
()+Ы, й) =(г', й)+(й', Ь) (распределительное свойство); 3' (Ц, И) =1((, а) для любого вещественного ).; 4'. (), 1".) )О, если 1 — ненулевой элемент; (1, )) =О, если ~ — нулевой элемент. Напомним, далее, что линейное (и, в частности, евклидово) пространство называется б е с к о н е ч н о м е р н ы м, если в этом пространстве найдется любое наперед взятое число линейно независимых элементов.
288 Гл. 8 Ряды Фурье Приведем классический пример евклидова пространства бесконечной размерности. Напомним, что функция 1(х) называется кусочно н е и р ер ы в н о й на сегменте [а, Ь], если она непрерывна всюду на этом сегменте, за исключением конечного числа точек, в каждой из которых она имеет разрыв первого рода ". Для линейного пространства всех кусочно непрерывных на сегменте [а, Ь) функций естественно ввести скалярное произведение любых двух функций [(х) и д(х), определив его равенством а Ц, д) = ) 1 (х) д (х) г(х.
а (8.1р Легко проверяется, что при таком определении справедливы первые три аксиомы скалярного произведения. Однако для того„ чтобы оказалась справедливой и четвертая аксиома, приходится принять дополнительную договоренность о том, чтобы значение кусочно непРеРывной фУнкции 1(х) в каждой ее точке РазРыва хг равнялось полусумме правого и левого ее пределов в этой точке: г (х! + 0) + ( (хс — о) (8.2у 2 ь В самом деле, во-первых, всегда (7, (")=] )а(х)дх> О. Дав лее, заметим, что так как 1(х) кусочно непрерывна на [а, Ь), то весь сегмент [а, Ь) распадается на конечное число сегментов [х; !, х;), на каждом из которых функция 1(х) непрерывна прн условии, что в качестве значений 1(х) на концах соответствующего сегмента [х; !, х,) берутся )(х! !+0) и [(х! — 0).
Из равенства а ] (а(х)!1х=О е вытекает, что для каждого сегмента [х; !, х!) х! справедливо равенство ) (а(х)с(х=О. "! — 1 Из этого равенства и из непрерывности 1(х) на сегменте [х; !„ х,) вытекает, что на этом сегменте 1(х) =О. В частности, 1(х! !+ +0) и Г(х,— 0) равны нулю. Так как эти рассуждения справедливы для любого сегмента [х! !, х,), т. е, для всея т=1, 2,...,и, то правый и левый пределы в любой точке х; равны нулю, а отсюда в силу соотношения (8.2) и само значение [(х;) в любой точке х! равно. Итак, функция 1(х) равна нулю во всех точках сегмента [а, Ь), т. е.
является нулевым элементом линейного пространства всех кусочно непрерывных на сегменте [а, Ь) функций. " Т. е, в каждой точке разрыва хч у функции 1(х) существует конечныга левый н конечный правый пределы. 4 1. Ортонормироваиные системы и общие ряды Фурье 289 Тем самым мы доказали, что пространство всех кусочно непрерывных на сегменте 1а, о) функций с условием (8.2) в каждой точке разрыва и со скалярным произведением, определяемым соотношением (8.1), является евклидовьем пространством, Это евклидова пространство мы н дальнейшем будем обозначать символом зсо.
Напомним теперь два общих свойства любого евклидова пространства, которыми, естественно, будет обладать и пространство 1ча. 1) во всяком евклидовом пространстве для' любых двух элементов 1 и д справедливо неравенство (8.3) (1, а) з< у, 1) (а, а) назьиваемое неравенством Коши — Буняковского' >; 2) во всяком евклидовом пространстве для любого элемента 1 этого пространства можно ввести понятие н о рм ы этого элемента, определив ее как число, обозначаемое символом йЩ! и определяемое равенством ((п=ув в (8.4) так что будут справедливы следующие три свойства: 1'.
Ц)))0, причем !)1))=0 лишь тогда, когда 1 — нулевой эле.мент; 2'. Р.)))=)Ц )11)) для любого элемента 1 и любого вещественного 28 3 И+И!( ~ Ю+!)и)). (8.5) для любых двух элементов 1' и д (это неравенство называется н еравенством треугольника). В самом деле, справедливость свойства 1' сразу же вытекает из (8 4) и из аксиомы 4' скалярного произведения.
Для обоснования свойства 2' заметим, что в силу (8.4) и аксиом скалярного произведения Наконец, справедливость свойства 3' вытекает из (8.4), из аксиом скалярного произведения и из неравенства Коши †Буняковского (8.3). Действительно, " Для доказательства неравенства 18.3) заметим, что для любого вепгествеиного Х в силу аксиомы 4* скалярного произведения справедливо неравенство ()с1 — у, х1 — Е)л-о, которое в силу аксиом 1' — 4' зкаиаалентно неравенству аз(1, 1) — 2Х(1, д)+(8, Е) ъо.
Необходимым и достаточным условием неотрицательиости квадратного трехчлена, стояпгего в левой части последнего неравенства, является неполомитсльность его дискримннанта, т. е. неравенствсь (1 Ы)' — 11, В (8, я)ко, которое зквивалентно неравенству (8.3). 'я90 Гл. 8 Ряды Фурье ((((-а((=Ь О+а, (а-а(=$~(( ()'-а(( аН.(а, а(с < ]а (~, ~)+2 3/(~, ~) ~(д, д')+(д, д) =]' [)'(7, Д+)/(й', д)1 = =]П([, [)+На Й= 11[['1+ И1а И1. /ь М![=$/ [) (х)д», О (8.6) а неравенства Коши — Буняковского (8.3) и треугольника (8.5) принимают внд ь ь ь () 7'(х) у (х) дх) ~< ] [Га (х) ((х ] дх (х) йх; (8.7) ь /ь /ь ] [)'(х)+д(х)]адх< [/ ) 7н(х)дх+ ~т' ] да(х)(1х. (8.8) Введем теперь в произвольном бесконечномер(ном евклидовом пространстве К понятия ортогональных элементов и ортонормированиой системы элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
