ilin2 (947409), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Теорема доказана. Замечание. Каждое из условий 1) непрерывности г(х) на сегменте [ — и, и] и 2) равенства значений [( — и) н г(п) является необходимым условием для равномерного на сегменте [ — и, п] приближения функции [(х) тригонометрическими многочленами. Иными словами, теорему Вейврштрасса можно переформулировать следующим образом: Теорем а 87". Для того чтобы функцию 1(х) можно было равномерно на сегменте [ — и, и] приблизить тригонометрическими многочленами, необходимо и достаточно, чтобы функция г(х) была непрерывной на сегменте [ — и, и] и удовлетворяла условию 1( — и) =[(и) Достаточность составляет содержание теоремы 8.7. Оатановнмся иа доказательстве необходимости.
Пусть существует последовательность тригонометрических многочленов (Т„(х)), равномерно на сегменте [ — и, и] сходящаяся к функции 1(х). Так как каждая функция Т„(х) непрерывна на сегменте [ — и, и], то по следствию 2 из теоремы 2.7 и функция [(х) непрерывна на сегменте [ — и, и]. Для любого е>0 найдется многочлен Т„(х) такой, что [1" (х) — Т„(х) [<е72 для всех х из сегмента [ — и, и]. Следовательно, [[( — и) — Т„( — и) [ <е/2, [[(и) — Т„(н) [ <е72. Из последних двух неравенств и из вытекающего из условия периодичности (с периодом 2п) равенства Т„( — я)=Т„(п) заключаем, что [[( — и) — 1(я)',<е, откуда Г( — п)=1(п) (в силу произвольности е>0). 2.
Доказательство замкнутости тригонометрической системы. Опираясь на теорему Венерштрасса, докажем следующую основную теорему. Т е о р е м а 8.8. Тригонометрическая система (8.10) является замкнутойв~, т. е. для любой кусочно непрерьгвной на сегменте [ — и, и] функции г(х) и любого положительного числа е найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что Г [[Т'(х) — Т(хН[= $уг Я(х) — Т(х)]'йх( е. (8. 34) '1 А следовательно (в силу теоремы 8.5), и полной. Д о к а з а т ел ь с т в о. Прежде всего заметим, что для любой кусочно непрерывной на сегменте [ — и, п] функции 1(х) и для любого е>0 найдется непрерывная на этом сегменте функция Гл.
8 Ряды Фурье Р(х), удовлетворяющая условию Р( — я)=Р(я) и такая, что Ц7' (х) — Р (х) [[ = < —. (8. 35) 2 В самом деле, достаточно взять функцию Р(х) совпадающей с 7(х) всюду, кроме достаточно малых окрестностей точек разрыва функции 1(х) и точки х=я, а в указанных окрестностях взять Р(х) линейной функцией так, чтобы Р(х) являлась непрерывной на всем сегменте [ — я, к] и удовлетворяла условию Р( — к)= =Р(я). Так как кусочно непрерывная функция и срезлющая ее линейная функция являются ограниченными, то, выбирая указанные окрестности точек разрыва 1(х) н точки х=я достаточно малымн, мы обеспечим выполнение неравенства (8.35). По теореме Вейерштрасса 8.7 для функции Р(х) найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что для всех х из сегмента [ — я, я] справедливо неравенство [Р(х) — Т(х) [< Из (8.36) заключаем, что [[Р(х) — Т(х)[[= ]у' ] [Р(х) — Т(х)]Ых~( —.
2 (8.36) (8.37) Из (8.35) и (8.37) и из неравенства треугольника для норм вытекает неравенство (8. 34), Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Из теорем 8.8 и 8.5 сразу же вытекает, что тригонометрическая система (8.10) является полной. Отсюда в 7 2 свою очередь вытекает, что система ~7 — з!пнх (а=1, 2,...) является полной на множестве всех функций, кусочно непрерывных на сегменте [О, я] (или соответственно на сегменте [ — я, 0]). В самом деле, всякая кусочно непрерывная на сегменте [О, я] функция 1(х), ортогональная на этом сегменте всем элементам I 2 системы ~7 — а|пах, после нечетного иродолжеиия на сегмент [ — и, 0] оказывается ортогональной на сегменте [ — я, л] в с е м эл е мент а м тригонометрической системы (8.10).
В силу полноты системы (8.10) эта функция равна нулю на [ — я, н], а следовательно, н на [О, и]. Совершенно аналогично доказывается, что 1 2 — — сових (и =1, 2,...) является полной на мно,тжестве всех функций, кусочно непрерывных на сегменте [О, н] (или соответственно на сегменте [ — и, 0]). $ 3. Замкнутость трнгонометрнческой системы н следствия не нее ЗОЗ 3 а меч а ни е 2. Можно показать, что среди ортонормированных систем, указанных в $1, системы, образованные с помощью полиномов Лежандра, полиномов Чебышева и функций Хаара, являются замкнутыми, а система Радемахера замкнутой не является.
3. Следствия замкнутости тригонометрической системы. С л е д с т в и е 1. Для любой кусочно непрерывной на сегменте [ — и, +и] функции 1(х) справедливо равенство Парсе- валя 2 я оо +1~~( е+ (8:38) (вытекает из теоремы 8.3). Следствие 2. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно непрерывной на сегменте [ — и, и] функции 1(х) сходится к этой функции на указанном сегменте в среднем (вытекает из теоремы 8.4 и замечания 2 к ней). Следствие 3. Тригонометрический ряд Фурье любой кусочно непрерывной на сегменте [ — и, и] функции 1(х) можно почленно интегрировать на этом сегменте (вытекает из предыдущего следствия и из теоремы 2.11). Следствие 4.
Если две кусочно непрерывные на сегменте [ — и, и] функции [(х) и д(х) имеют одинаковые тригонометрические ряды Фурье, то эти функции совпадают всюду на этом сегменте (вытекает из теоремы 8.6). Следствие 5. Если тригонометрический ряд Фурье кусочно непрерывной на сегменте [ — и, и] функции [(х) сходится равномерно на некотором содержащемся в [ — и, и] сегменте [а, Ь], то он сходится на сегменте [а, Ь] именно к функции [(х). Д о к а з а т ел ь с т в о.
Пусть д(х) — та функция, к которой сходится равномерно на [а, Ь] тригонометрический ряд Фурье функции 1(х). Докажем, что д(х) =1(х) всюду на сегменте [а, Ь]. Так как из равномерной сходимости на сегменте [а, Ь] вытекает сходимость в среднем на этом сегменте (см. п. 3 $4 гл. 2), то тригонометрический ряд Фурье функции [(х) сходится к функции д(х) на сегменте [а, Ь] в среднем. Это означает, что для произвольного е)0 найдется номер пм начиная с которого и-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье 5 (х) удовлетворяет неравенству ть ]!д(х) — 5„(х)Ц = 1тт [ [д(х) — 5„(х)]ейх ( — ' (8.39) а С другой стороны, в силу следствия 2 последовательность Я,(х) сходится к 1(х) в среднем на всем сегменте [ — л, п], а следова- Гл.
8 Ряды Фурье тельно, и на сегменте [а, Ь], т. е. для фиксированного нами про- извольного е)0 найдется помер пм начиная с которого /ь [[3„(х) — 7'(х)И = ~/ ] [3„(х) — 7*(х)]а г(х< —. (8.40) а Из (8.89) и (8.40) и из неравенства треугольника ]!д(х) — [(х) 1](]~у(х) — Я„(х) |]+ ![3„(х) — [(х) [] вытекает, что ~]д(х) — [(х)1~(е, Из этого неравенства и из произвольности е>0 следует, что ~~д(х) — Г(х) [1=О, а отсюда на основании первого свойства нормы заключаем, что к(х) — 1(х)— нулевой элемент пространства кусочно непрерывных на [а, Ь] функций, т.
е. функция, тождественно равная нулю на сегменте [а, Ь]. Следствие 5 доказано. 3 а м еч ание 1. Конечно, в следствии 5 сегмент [а, Ь] может совпадать со всем сегментом [ — тт, тт], т. е. из равномерной сходимости ряда Фурье функции 7(х) на всем сегменте [ — и, и] следует, что этот ряд сходится на указанном сегменте именно к функции 1(х), 3 а м е ч а н и е 2.
Совершенно аналогичные следствия будут справедливы н для ряда Фурье по любой другой замкнутой ортонормированной системе в пространстве кусочно непрерывных на произвольном сегменте [а, Ь] функций со скалярным произведением (8.!) н нормой (8.6). Примерами таких систем могут служить указанные в $1 ортонормнрованные системы, связанные с полиномами Лежандра и Чебышева, а также система Хаара. й 4. ПРОСТЕЙШИЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ И ПОЧЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА ФУРЬЕ 1. Вводные замечания.
В математической физике и в ряде других разделов математики существенную роль играет вопрос об условиях, при выполнении которых тригонометрический ряд Фурье функции Г(х) сходится (к этой функции) в данной точке х сегмента [ — я, и]. Еще в конце прошлого века было известно, что существуют непрерывные на сегменте [ — я, я] функции, удовлетворяющие условию 1( — я) =7(я), тригонометрические ряды Фурье которых расходятся в наперед заданной точке сегмента [ †, я] (нли даже расходятся на бесконечном множестве точек сегмента [ †, и], всюду плотном на этом сегменте) 'е>. гю Первый пример такой фуикции был построен фраицуаским математиком Дго Буа Раймопом в 1876 г.
$ 4. Простейшие условия равномерной сходимости Таким образом, одна непрерывность функции 7(х) на сегменте [ — д, д[ без дополнительных условий не обеспечивает не только равномерную сходимость тригонометрического ряда Фурье этой функции, но даже сходимость этого ряда в наперед заданной точке указанного сегмента. В этом и в следующем параграфах мы выясним, какие требования следует добавить к непрерывности функции [(х) (или ввести взамен непрерывности !(х)) для обеспечения сходимости тригонометрического ряда Фурье этой функции в заданной точке, а также для обеспечения равномерной сходимости этого ряда на всем сегменте [ — д, д[ или на какой-либо его части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
