ilin2 (947409), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В силу равенства (8.50) и+» и [7 (т + и) — [ (т) [ Нт = ) [ Г (т + и) — ) (и) [ с(т. — и+я и Следовательно, неравенство (8.62) является следствием (8.61). 816 Гл. 8 Ряди Фурье Следствие 2. Если каждая из функций [(!) и д(!) кусочно непрерь!вна на сегменте [ — и, и] и периодически (с периодом 2п) продолжена на всю прямую, то функция ~()= ~ ~( +1)у(1)й( является непрерывной функцией х на сегменте [ — п, и].
Доказательство. Пусть х — любая точка сегмента [ — и, и]. Тогда )(х+ и) — /(х) = ~ [1(х+ (+ и) — [(х+1)] у(1) й(, и поскольку кусочно непрерывная на сегменте [ — и, п] функция д(1) удовлетворяет на этом сегменте условию ограниченности ]Ы(1) ]~М то л '(х+и) — ~(хн <М ~ ]~(х+(„и) р(х+„[„, и потому в силу (8.62) для любого е>0 ])(х+и) — Т(х) [<е при 1и~(б(е). Непрерывность т'(х) в точке х доказана.
Следствие 3. Если каждая из функций 1(!) и д(1) кусочно непрерывна на сегменте [ — и, и] и периодически (с периодом 2п) продолжена на всю прямую, то тригонометрические коэффициенты Фурье функции Р(х, 1) =1(х+1)К(1) при разложении ее по переменной 1 а„(х) = — ! )'(х+1)у(1)созпЖ, 1 (8.63) Ь„(х) = — ~ 7(х+ 1) уЯзтпЫ( (8.64) ьп См, следствие 1 и. 3 5 3. при и- се сходятся к нулю равномерно относительно х на сегменте [ — п,п] (а следовательно, и на всей прямой). Доказательство.
Для любой фиксированной точки х сегмента [ — и, и] функция Р(х, 1) =1(х+1)у(1) является кусочно непрерывной функцией аргумента 1 на сегменте [ — и, и], поэтому для нее справедливо равенство Парсеваля еп з)т 4 5. Более точные условия схолимости я — + ~ [аа (х) + Ье (х)] = — [ ~а (х + Е) да (Е) йЕ. (865) 2 п,) Из равенства (8.65) вытекает сходимость ряда, стоящего в левой его части, в каждой фиксированной точке х сегмента [ — и, и].
Так как указанный ряд состоит из неотрицательных членов, то в силу теоремы Динита1 для доказательства равномерной на сегменте [ — п, и] сходимостн указанного ряда достаточно доказать, что как функции а„(х) и йи(х), так н сумма ряда (8.65) ! — Еа(х + Е) да(Е) йŠ— непрерывные функции х на сегменте [ — и, п], а это сразу вытекает из предыдущего следствия (достаточно учесть, что квадрат кусоч:ю непрерывной функции является кусочно непрерывной функцией и что сов пЕ и з!ппЕ прн каждом фиксированном номере и являются непрерывными функциями). Следствие 4.
Если каждая из функций Е(Е) и д(Е) кусочно непрерывна на сегменте [ — и, и] и периодически с периодом 2п продолжена на всю прямую, то последовательность С„(Х)= — й! Г(Х+Е)й(Е)з!и![ и + — Е! 1~ йЕ (8.66) 1 с гг сходится к нулю равномерно относительно х на сегменте [ — и, и] (а следовательно, и на всей прямой). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Достаточно учесть, что ейп [(и + — Е! Е~ =созпЕедп — +един!сов 2 Е 2 2 и применить предыдущее следствие, беря в (8.63) вместо д(Е) функцию й(Е) з)п —, а в (8.64) вместо й(Е) функцию й(Е) соз —. 2 2 4. Принцип локализации. В этом пункте мы докажем, что вопрос о том, сходится илн расходится тригонометрический ряд Фурье кусочно непрерывной на сегменте [ — и, и] и периодической (с периодом 2п) функции Е(х) в данной точке х, решается лишь на основании поведения функции Е(х) в как угодно малой окрестности точки х. Это замечательное свойство тригонометрического ряда Фурье принято называть при н ци по м локализации.
Начнем с доказательства важной леммы. Л е м м а (лемма Римана). Если функция Г(х) кусочно непрерывна на сегменте [ — и, и] и периодически (с периодом 2п) пра- т'1 См. теорему 2Л (формулировку в терминах рядов). Гл. 8 Ряды Фурье 318 должена на всю прямую и если эта функция обращается в нуль на некотором сегменте [а, Ь) Яэ|, то для любого положительного Ь вЂ” а числа б, меньшего —, тригонометрический ряд Фурье функ- 2 ции 1(х) равномерно на сегменте [а+6, Ь вЂ” 6) сходится к нулю. Доказательство.
Пусть 6 — произвольное положительное Ь вЂ” а число, меньшее . Частичная сумма тригонометрического 2 рида Фурье функции 1(х) в произвольной точке х числовой прямой определяется равенством (8,55). Полагая 1 при 6( [1[ (и; 2 э|ив 2 1 прн '11! =6; 4мн— 2 О при [1!(6 (8.67у и учитывая, что 1(х+() равняется нулю при условии, что х при- надлежит сегменту [а+6, Ь вЂ” 6], а 1 принадлежит сегменту (6 эо|, можно следующим образом переписать равенство (8.55) для каждой точки х сегмента [а+Ь, Ь вЂ” 6): 8„(х, 7) = — ~ ~(х+1)д(1)гйп ~ ~я+ — ) 1~ сЫ. Остается принять во внимание, что последовательность, стоящая в правой части последнего равенства, в силу следствия 4 и. 3 сходится к нулю равномерно относительно х на всей числовой прямой. Лемма доказана.
Непосредственными следствиями доказанной леммы являются следующие две теоремы. Теорем а 8.11. Пусть функция г(х) кусочно непрерывна на сегменте [ — я, и) и периодически (с периодом 2п) продолжена на всю прямую, и пусть [а, Ь) — некоторый сегмент. Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье функции Дх) при любом положительном б, меньшем (Ь вЂ” а)72, сходился (к этой функции) Сегмент (а, Ь) является совершенно нрояэиольиым сегментом длины, меньшей 2л. В частности.
этот сегмент может не содержаться целиком и ( — ну л). тю В силу того, что функция 1(х) равна нулю на всем сегменте (а, Ь). й 5. Более точные условия схолимостя з1в равномерно на сегменте [а+6, Ь вЂ” 6], достаточно, чтобы существовила кусочно непрерывная на сегменте [ — л, л] и периодическая (с периодом 2л) функция д(х), обладающая равномерно сходящимся на сегменте ]а, Ь] тригонометрическим рядом Фурье и совпадающая на сегменте [а, Ь] с функцией 1(х).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя лемму Римана к разности [[(х) — у(х)], получим, что тригонометрический ряд Фурье разности [[(х) — у(х)] при любом 6 из интервала 0<6<(Ь вЂ” а)~2 сходится к нулю равномерно на сетчленте ]а+6, Ь вЂ” 6], а отсюда и из равномерной на сегменте [а, Ь] сходимости тригонометрического ряда Фурье функции д(х) вытекает равномерная на сегменте ]а+ 6, Ь вЂ” 6] сходимость тригономе" рического ряда Фурье функции [(х).
Тот факт, что последний ряд сходится па сегменте ]а+6, Ь вЂ” 6] именно к функции 1(х), непосредственно вытекает из следствия 5 п. 3 $3. Теорема доказана. Теор ем а 8.12. Пусть функция [(х) кусочно непрерывна на сегменте [ — л, л] и периодически (с периодом 2л) продолжена на всю прямую, и пусть хе — некоторая точка прямой. Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье функции 1(х) сходился в точке хе, достаточно, чтобы существовала кусочно непрерывная на сегменте [ — л, л] и периодическая (с периодом 2л) функция д(х), обладающая сходящимся в точке хе тригонометрическим рядом Фурье и совпадающая с [(х) в как угодно малан 6-окрестности точки хе. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно применять лемму Римана к разности [](х) — д(х)] по сегменту [хе — 6~2, хе+6/2] и учесть что из сходимостн в точке х, тригонометрических рядов функций [[(х)— — у(х)] и д(х) вытекает сходимость в втой точке и тригонометрического ряда Фурье функции [(х). Теорема доказана.
Теорема 8.12 не устанавливает конкретного вида условий, обеспечивающих сходимость тригонометрического ряда Фурье функции [(х) в точке х,. Она лишь доказывает, что эти условия определяются только поведением [(х) в как угодно малой окрестности точка хе (т.
е. имеют локальный характер). 5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гельдера. В атом и в следующем пункте мы уточним условия, обеспечивающие равномерную сходимость и сходимость в данной точке х, тригонометрического ряда Фурье. Те о р е м а 8.13. Если функция [(х) принадлежит на сегменте [ — л, л] классу Гельдера С с каким угодно положительным показателем а (0<а<1) и если, кроме того, 1( — л) =[(л), то тригонометрический ряд Фурье функции 1(х) сходится (к втой функции) равномерно на сегменте [ — л, л].
Доказательство. Как обычно, будем считать, что функция [(х) периодически (с периодом 2л) продолжена на всю числовую прямую. Условие 1( — л) =1(л) обеспечивает принадлеж- 820 Гз. 8 Ряды Фурье ность так продолженной функции классу Гельдера Св на всей числовой прямой. Пусть х — любая точка сегмента ( — л, л]. Умножая обе части равенства (8.56) на /(х) и вычитая полученное при атом равенство из (8.55), получим равенство ! 1 з!и ( л+ — ] ! 3„(х, /) — ](х) = — ~ (](х+ /) — /(х)] 1((. (8.68» л 2 5!П 2 Из условия принадлежности /(х) классу Гельдера С" вытекает существование постоянной М такой, что (/(х+() — /(х) ] <М](]" (8.69» во всяком случае для всех х н всех ( из сегмента ( — и, л].
Фиксируем произвольное в)0 и по нему 6)0, удовлетворяющее неравенству — 6 !(( а а гг 3 (8.70» Разбивая сегмент ] — л, л] на сумму отрезка ]/] <6 и множества 6~]/](л, придадим равенству (8.68) следующий вид: 5!П(л+ — ) ! 5„(х, /) — /(х) = — ( (/(х+() — /(х)] ~и+ !1]<а 251п (8 71» ( — '1 ( 5!П Л+ 51П П+ / л 1л В<)1КП 25!ив 2 з<!а<я 2 51п— 2 Для оценки первого интеграла в правой части (8.71) воспользуемся неравенством (8.69) и учтем, что ! л 2~Ми — ~ для всех ( из сегмента ] — л, л] "!.
Таким образом, для любого м! Указанное иеравевства сразу вытекает из того, что функция (Мп х)/х при 51П Х изменении х от 0 до л/2 убывает от ! до 2/л. Факт убывания фуикцки / 51ПХ 1 С05Х в свою очередь вытекает из того, что ( — ] = — (х — !Кх)<„0 всюду х / яз при 0<х<л/2, так как х<!К х при 0<х<л/2 (см.
гл. 4 ч, !). $ З. Более точные условия схохимости номера п и любого х из сегмента [ — л, л] получим 5!П (П+ ) 1 ~ ~ [Н.+1) — И.)],' и~< 111<ь 2Мп— 1 мп [ п+ — 11 [7'(х+ 1) — ~(х) ~ ' ' бт < 111(Ь 2)51П вЂ” ~ [' ]1]~-~ й=Мл('1~-1Ш= Мл ба 2 а 16~5 о Отсюда на основании (8.70) для любого номера п и любого х из сегмента [ — л,л] будем иметь оценку ! — '1 мп (и+ — ) 1 л — [)(х+1) — ~(х)] 5(1~( —.
(8,72) з ' м<ь 25!П Второй нз интегралов в правой части (8.7)) с помощью кусочно непрерывной на сегменте [ — л, л] функции (8,67) записывается и виде мп (и+ — ) Ф вЂ” 1(х+1) Ж= 5~111~я 2 51п— 2 = — ~ Цх+1)д(1)5(п ((и + — ) фй. В силу следствия 4 п. 3 правая часть последнего равенства при и-воо сходится к нулю равномерно относительно х на сегменте [ — л, л]. Поэтому для фиксированного нами е>0 найдется номер Ж1 такой, что 1 мп (и+ — ) 1 — /(х+1) Й!< — (8,73) л 1 3 ь<]51<и 2КП— для всех и;и-15'1 и всех х из сегмента [ — л, л].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
