ilin2 (947409), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Таким образом, при /с-~со интеграл ) р(х) е!кадх а стремится к нулю. Лемма доказана. Л е м и а 3. Преобразование Фурье д()с) функции 1(х) ~ ен1.!( — оо, оо) стремится к нулю ари ~Л[=ч-оо, т. е. 1пп [у (Х) [ = О. !Ц-» Гл. 9. Преобразование Фурье Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольное число е>0 В силу сходнмости интеграла (9.1) можно выбрать число А>Ь такое, что А ! !1(х)!й + ) !)(х)!йх(+ При таком А справедливо неравенство » А (д(Л)! = ( ~ Т(х)еп«йх~ а )~ )'(х)езь«йх( -1- —.
» — я Последний интеграл прн достаточно большом !Л! может быть оценен сверху числом — (см. лемму 2). Так как е пронзволь- 2 но, то 1пп !д(Л)! =О. Лсмгаа доказана. ~Щ» В качестве следствия нз леммы 3 получаем 1нп 1 )(х) созЛхйх=О, 1пп ( Т(х)з(пЛхйх=О. ьн»» 4 Х ~Ф 2. Основная теорема. Формула обращения. Определение 1. Для каждой функции 1(х) из класса Е1( †, оо) назовем предел А 1пп — 1 д(Л)е сх йЛ 1нп — (' ~ ~ ерхн — а~(1)й1~ йЛ (9 3) л-»» 2п з л 2я,) -А — А (при условии, что этот предел существует) разложением ф у и к ц и и 1(х) в интеграл Фурье. Возникает вопрос о существовании разложения функции 1(х) , в интеграл Фурье (9.3).
Ответ дается следующей теоремой. Теорем а 9.1. Если функция 1(х)е=Е1(-оо, оо) и если 1(х). удовлетворяет в данной точке х справа условию Гельдера порядка аь где 0<а1~ 1, а слева условию Гельдера порядка им где 0<аз» 1, то в данной точке х выполнено равенство я 1|гп — С у (Л) е '""йЛ = 1 ( + ) + 1 ( л-»» 2я З 2 Таким образом, в каждой точке х, в которой значение Г(х) равно полусумме Т(х)= ~( + )+~' ', в частности, в каждой 2 точке непрерывности )(х), справедливо равенство $1.
Представление Функции интегралом Фурье )(х)= — ~ я'(Л)е '" йЛ, 2п,3 (9.4) (' в(Л) е п~дЛ 1 ( е-ыь ~ ~ еиьу(1),ц ~ аЛ 2п 2п,1 В силу того что интеграл, заключенный в квадратные скобки, равномерно по Л сходится на любом сегменте [ — А, А1, можно поменять порядок интегрирования относительно 1 и Л. Воспользовав;шись равенствами е~м' — "1 = соз Л (1 — х) + 1 яп Л (1 — х); л ь созЛ(1 — х)аЛ "; ~ япЛ(1 — х)йЛ=О, (1 — х) л — ь .а также заменой 1=х+и, получим л и л — ~ я (Л) е — ""йЛ вЂ” ( [ ~ е'""-'1 дЛ ~ ~(1) Ж = 2п 2п,) п,1 1 — и ' п,1 'и Следовательно, при любом А>0 л а 1 (' к(Л) п.йЛ 1 1 У(х+и) а~пА йи+ 2п,1 и и и + — ) ~(х+и) — йи. и и а (9.5) Поскольку О а а1п Аи и г а1п Аи и — йи= —, ~ — пи= —, и 2 3 и 2 :в котором несобственный интеграл понимается в смьссле главного .значения, т.
е. при симметричном стремлении пределов интегрирования к бесконечности. Доказательство. Поскольку д(Л) — непрерывная функция, то при любом А)0 существует интеграл Г»ь О, Преобразование Фурье то »«+0) ! Г»(Х -0)»нА (и в »(х — О) ! а»н Аи = — ! 7(х — 0) — ди. 2 л и — Ф Вычитая последние два равенства из (9.5), получим а (л),. ! (з+ О) + ! (х — О) 2 = — г! (7(х+ и) — 7(х+О)) — """" »(и+ л и (9.6) — 7(х+ ОЦ вЂ” "" »(и+ — ~ !7(х+и) — »(х — ОЦ вЂ” "" "йи + и л и + — 1 7 (х+ и) !(и— л,» и »и»3:е о + — 1 17(х+и) — 7(х — 0)1 — "" "ди. л» и Так как функция 7(х) удовлетворяет справа условию Гельдерн порядка а», то существует постоянная М» такая, что для достаточно малых положительных и будет выполнено неравенство »('(х+и)-Г(х+0) ) ~М»ич, 0(а»<1. (*) Аналогично из условия Гельдера слева порядка аз получаем неравенство ! ! (х+и) — ! (х — 0) ~ (Мз ! и ~ ", 0(аа « 1, (ее) для всех достаточно малых по модулю отрицательных и.
Пусть М=»пах(Мь Мз), се=пни(а», аа). Тогда неравенства (:в) и (ее) можно записать в виде одного: /((х+и) — 7(х-~0) / ~М/и!" (9.7) при »и) (6, где 6>0 достаточно мало, Перепишем соотношение (9.6) в следующем виде: А е ())»» () )(а+О)+1(» О) ! 2 л,) — А а 5 !. Представление фуикцка интегралом Фурье )(х+0) (' а!пЛи ! )(х — О) (' а!пАи и,) и и,) и (9.8г — ~ Г[((х+и) — [(х+0)! — 1(и! ц.— '1 [)(х+и) — 7(х+0)[ — <. и !,! и ! и,! и о о о ~ — ~ и '!1(и =— ~ща о Аналогично 1 ! Г[1(х+и) — )(х — О)[ — "" "г(и!< — [ [1(х+и) — Кх — ОУ вЂ” < !и! о < — ~ !и[" — !г(и= —. Поэтому в силу выбора 6 — ~ [ [1(х+ и) — [(х+ О)[ мпАи г(и ~+ и и о о + 1 ! Г у(Х+и) — ['(Х вЂ” 0)[ о!пАп 1(и!( и и ! 2 (9.9)1 Для оценки третьего интеграла в правой части (9.8) рассмотрим функцию — при [и[) 6; ! 1 )(х+ и) г)(и) =- и и 0 при [и[(6.
Функция д(и) принадлежит классу Ь|( — сп, по), а поэтому в силу леммы Римана )пп ~ г) (и) з)п Аи Ни = ! (пт — 1 ! (х+ и) — ди = О. 1 Г о1п Аи А-+аг А-г» и и О !а~~о Пусть фиксировано произвольное а>0, а 6 выбрано из услоМап е вия — с, — и так, чтобы прн [и[(6 было справедливо (9.7). пи 4 Оценим первые два интеграла в правой части (9,8). Пользуясь (9.7), получим Гл. 9.
Преобразование Фурье Но зто и означает, что для фиксированного нами произвольного е)0 существует число У, такое, что при А~У, — ~(х+и) — йи~ < —. м)~о (9. 10) Далее, в!пАи (' Мили (' з!ит и ,) и 1 О о о при А — »-оо. Отсюда следует, что для фиксированного нами произ. вольного г>0 и рассматриваемой точки х найдется Уз такое, что 1(х+О) (' МоАи а, ) ) 1(х — О) (' МнАи ) е г .~ ) — )( .~< о при А~Уз. Пусть У=знак (Уь Уз). Тогда, подставляя (9.9) — (9.11) в (9.8), получаем, что при А)У А ~ ~ у(),)е-п,р, 1("и О)+1(" О) ~<а — л ~(х+О)= 1пп ~(х+и), ~(х — О)= 1пп Дх — и); и о+о и-»О+о б) для какого-нибудь положительного значения е оба интег- рала в е Г(х+и) — Г(х+О) Г 1(х — и) — Г(х — О) д си» и 3 и о о сходятся абсолютно. Ясно, что если функция 1(х) удовлетворяет в точке х справа и слева условию Гельдера Ц(х+и) — 1(х~0) ~ (М~и~)", 0(а~1, Теорема доказана.
3 а м е ч а н и е. Требования, налагаемые на функцию Г(х) в теореме 9.1, можно несколько ослабить. Определение 2, Будем говорить, что функция ~(х), заданная в некоторой проколотой окрестности точки х, удовлетворяет .в точке х условиям Дини, если; а) в точке х существуют оба односторонних предела $1. Представление Функции интегралом Фурье то, поскольку 11(х+и) — 1 (х~о)1 М и )и(~ для функции 1(х) выполнено и условие Дини.
Обратное, конечно, неверно. Можно доказать, что условие Дини тем не менее обеспечивает разложение функции ((х) в интеграл Фурье в данной точке. Сделаем некоторые выводы из полученных результатов. При условии )(х)енЕ1( — оо, оо) у функции )(х) существует преобразование Фурье и (Л) = ) ~(х) егьа с(х; обозначим его так; д(Ц=Р(~), где г — оператор Фурье, применяемый к функции (. При выполнении условий теоремы 9.1 и условия ( (х) = 1(х+ О)+1(х — О) как мы доказали, функция 1(х) разлагает- 2 ся в интеграл Фурье, т.
е. справедлива формула Эту формулу называют обратным п р ео бр азов а ниеьк Фурье. Обозначим ен так: 1(х)= — Р (д), где Г-' — обрат! 2л ный оператор Фурье, применяемый к функции й'(Л), т. е. к образу Фурье функции ((х). Отметим, что хотя формулы преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье внешне похожи (см. формулы (9.2) и. (9.4)), по существу они различны: в первой из них интеграл существует в обычном смысле (поскольку )енх,1( — со, оо)), а во второй, вообще говоря, лишь в смысле главного значения. Кроме того, равенство (9.2) — зто определение функции йг(Л), а в равенстве (9.4) содержится утверждение о том, что интеграл равен исходной функции )(х).
3. Примеры. Рассмотрим прямое и обратное преобразования Фурье для случаев четной и нечетной функций. 1'. Случай четной функции 1" (х), Очевидно, в случае,. если )(х)=1( — х), из формулы (9.2) получаем 0 д(Л) = ) ((х)(сгбЛх+Ез(пЛх)4х=21 7(х)созЛхс(х. 6 а Гл. 9. Преоьравование Фурье Отсюда следует, что п(Л) тоже четная функция. Поэтому О 7 (х) = — ~ и (Л) соз Лх е(Л = — ~ и (Л) соз Лх е(Л. 1 Г 1 Г 2п 3 О о Первую нз этих формул называют прямы м косинус-п р е об. разованнем Фурье функции р(х), а вторую — обратным косинус-преобразованием Фурье. 2'. Случай нечетной функции Г(х). Пусть 1(х)'= = — 1( — х).
Тогда, очевидно, получим прямое синус-п р собр а.зование Фурье д (Л) = 2 ) ~ (х) я и Лх бх о и обратное синус-преобразование Фурье ~(х) = — ~д(Л)яп ЛхдЛ. о 3'. Пусть ((х) =е — М"', Т>0, Тогда ° е г(Т)= п(Л) = ) е 4ннеоь*е(х=2 ~ет созЛхо(х, Ю о С помощью двукратного интегрирования по частям находим Р(~) =Е(Л)- „,",, 4'. Пусть ( ) при !х1 ч. а; ~0 при (х~ ~а. Тогда е еа"' — е ал 2 Мп Х4 а(Л) = ~ Г(х) е"" о(х= ~ е""г(х 1Л Заметим, что д(Л) не принадлежит Л1( — ео, ее). $2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Установим некоторую связь между скоростью убывания функции 1(х) и гладкостью (дифференцируемостью) ее преобразова.
ния Фурье, а также между гладкостью функции и скоростью убывания ее преобразования Фурье. $ 2. Некоторые свойства преобразования Фурье Утверждение 1. Пусть для целого неотрицательного (1+ <х<)ау(х)~Е<( — оо, оо). Тогда преобразование Фурье д(1) функции <(х) дифференцируемо й раз, причемзего производную по Л любого порядка т=1, 2, ..., й можно вь<числять дифференцированием под знаком интеграла (9.2), т. е.
по формуле О д<"'П(Х) ) )(х)((х) е" <(х, <п=1, 2, ..., й. (9.12) Доказат~ельство. Для любого т=1, 2, ..., й справедливо <неравенство 1(е<а"7(х))вар~ = <е<ав(1х)'"~(х) ~ < (1+ <х~ ) << (х) ). Интеграл ) (1+ <х<')<<(х)1дх сходится. Из сходимости этого интеграла и из признака Вейергптрасса (см, теорему 7.8) вытекает равномерная по Х на каж- 0 дом сегменте сходимость интеграла ) Т(х)еп с(х. Из теоремы 7.14 вытекает возможность продифференцировать этот интеграл по ) до порядка в<=1, 2, ..., й, а также справедливость формулы (9.12). Утверждение доказано. Утверждение 2.
Пусть функция <(х) имеет в каждой точке х все производные до порядка й~-1 включительно, причем 1(х) а есе <<"о(х), т=1, 2, ..., й, абсолютно интегрируемы на ( — оо, со) г< для любого т=О, 1, ..., й — 1 <<'">(х)-эО при <х!- со ()<с<(х)=— = — 1(х)). Тогда ~д(Х)< =о(<Х~ ") при <Х~-~со, где у(Х) — преобразование Фурье функции 1(х), До к аз а т ель ство. Пусть А)0, тогда ') Г<а< (х) е<а" дх =(7<а — и (х) е<"а) л — Ц<а — а(х) (<) ) е<а"]~я+ — л л + ... +( — Е)а)<а ) Т(х)е<аадх.
Устремляя А к бесконечности и учитывая стремление к нулю про изводных функции ):(х), получим 0 О ~ У<а>(х) е<аадх ( 1)<)' ~ 7'(х) е<аадх=( — й)ад(Х) Гл. 9. Пресарввсваиие Фурье Согласно лемме 3 преобразование Фурье функции 7оо(х) стремит- ся к нулю. Поэтому (д(Х) )=о()7«)-'). Утверждение доказано.
Утверждение 3 (равенство Планшерелян). Пусть функция 7(х) и ее вторая производная абсолютно интегрируемы на ( — сс, сс), 1(х)-+О, 7'(х) — «О при )х)-+со. Пусть функция ф(х~ абсолютно интегрируема на ( — сс, сс). Тогда м ~ 7(х)тр(х)дх= — ~ у(Х)тр()) д)«, О где д'(Х)=Р((), тр(Х)=Р(<р) — преобразования Фурье функций 1 и Ф соответственно; черта над тр(А) означает комплексное сопряжение. Д о к а з а т е л ь с т в о. По формуле обращения 1'(х) 1 ! ! = — Е (д) = — 1 д()«)е """Ю, причем согласно утвержде2п 2я,1 нию 2 1уР) ! «е(1+)7.()-е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
