ilin2 (947409), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Поэтому интеграл для 1(х) сходится абсолютно и равномерно,(относительно х) на ( — сс, сс). Умножая обе части формулы для 7(х) на тр(х) и интегрируя по х от — А до А, получим л А « ~ 7(х)ц«(х)йх= — ' ~ц (х) ~ ~у(Х)е — ""д)« ~ дх. — А — А «В В силу равномерной по х на ( — А, А) сходимостн интеграла ) у(Х)е "" дХ можно поменять порядок интегрирования в этой формуле справа: «А ~ 1(х)у(х)йх= — ~ Ц ц«(х)е ,—""дх~у(Х) д)«, (9,!3р где черта означает комплексное сопряжение. Согласно оценке А О ~ ) ц«(х)е — """дх~. (д(7«)1<с(1+ (7«1) ' ( !ц«(х)~дх -А о М. Плаишерель — швейцарский математик (1ббб — 19б7). й 2. Некоторые свойства преобразования Фурье З51 и признаку Вейерштрасса интеграл в правой части (9.13) сходится равномерно по А на всей прямой.
Применяя теорему 7.9, в (9.13) можно перейти к пределу при 1А~ со под знаком интеграла. Получим ~ ~(х) д(х) Их= — ~ д(Х)тр(Х) сйь, что и требовалось доказать. В заключение докажем теорему Котельникова т~, играющую важную роль в теории радиосвязи.
Для этого сделаем несколько предварительных пояснений. Пусть функция 1(х) определена на сегменте ( — 1, 4) и периодически (с периодом 21) продолжена на всю прямую; пусть эта функция абсолютно интегрируема на периоде. Разложим 1(х) в ряд Фурье (который в случае, если 1(х) удовлетворяет дополннтелызым условиям, сходится к ней): н 1(х)= — '+ 1 ' (пасов — йх+Ьазгп и йх) = ~~ сан ! Функцию ((х) называют сигналом, числа (аа, аы Ьа) илн (са) — спектром сигнал а, а величину й/21 — частотой сигнала (. Разложение периодической функции в ряд Фурье называют г ар м он ичееки м анализом данной функции.
В случае периодической функции 1(х) ее спектр дискретен, т. е. состоит из не более чем счетного множества значений. Если функция не является периодической, то ряд Фурье, как мы знаем, может быть заменен интегралом Фурье функции ((х) и ((х) 1 й(т) е — мал),, 2н,1 Функцию ((х) можно по-прежнему называть сигналом, а функцию д(Х) — с п е к т р о м с и г н а л а (в данном случае спектр непрерывен) и Х вЂ” частотой сигнал а.
На практике важной задачей является задача восстановления сигнала по спектру. Подчеркнем, что часто нет необходимости знать спектр й'(Х) для всех частот Х, да и приборы улавливают спектр только в некотором диапазоне частот ~Х~ <а. (Например, человеческое ухо улавливает сигнал в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц.) Поэтому будем считать, что сигнал 1(х) (х — время, — оо<х< <оо) имеет финитный спектр, отличный от нуля лишь для частот н В. А. Котельников (род. в Г908 т.) — советский академик, специалист в теории радиосвязи. 352 Гл.
9. Преобразование Фурье Л при ~Л)~а. Таким образом, прн )Ц)а имеем д(Л) =О. Следо- вательно, ~о й ( й(Л),— йдЛ= ' ('а(Л)е-' дЛ. 2я,1 2и О -й разложим на сегменте 1 — а, а] функцию д(Л) в ряд Фурми г — "в а(Л) = ~~„дйе ' (9.14) Учитывая (9.14), получим й й й с — и дй = — ~ д (Л) е дЛ = — 1 ~ — — й) .
2й й й (9.15)ь Подставляя эти коэффициенты в ряд для д(Л), а затем а(Л) — н, интеграл (9.14), будем иметь й 1(х) =— — й 1 2а )'(х) = ~~ у ( — й) й (х — — й) Теорема 9.2 показывает, что сигнал, описываемый функцией' 1(х) с финитным спектром д'(Л), сосредоточенным в полосе частот. / к 1Л~ ~а, восстанавливается лишь по отсчетным значениям 1 ( — й),. („й передаваемым через равные промежутки времени н/а.
й 3. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Здесь мы дадим лишь самые начальные понятия о кратном интеграле Фурье. Пусть функция )у' переменных 1(х)=~(хь хм .... ..., хн), )у'~2, такова, что существует несобственный интеграл Таким образом, доказана следующая Теорем а 9.2 (теорема Котельникова). Для сигнала 1(х) с. финитным спектром д(Л) справедливо соотношение ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 6 1. Понятие числового ряда !. Сходящиеся и расходящиеся ряды (7). 2. Критерий Коши сходи- мости ряда (10) $2. Ряды с неотрицательными членами . !. Необходимое и достаточное условие сходимостн ряда с неотрицательными членами (!2). 2. Признаки сравнения (13).
3. Признаки Даламбера н Коши (16). 4. Интегральный признак Коши — Маклорена (2!). 5, Признак Раабе (24). 6, Отсутствие универсального ряда сравнения (27) 5 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды 1. Понятия абсолютно и условно сходящихся рядов (28). 2. О перестановке членов условно сходяшегося ряда (30). 3. О перестановке членов абсолютно сходящегося рида (33) й 4. Признаки сходнмостн произвольных рядов . 9 5.
Арифметические операции над сходящимися радами 4 6. Бесконечные произведения 1. Основные понятия (44). 2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов (47), 3 Разложение функции мих в бесконечное произведение (51) 9 7. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов 1. Метод Чезаро (метод средних црнфметических) (56), 2. Метод суммирования Пуассона — Абеля (57) $8. Элементарная теория двойных и повторных рядов 28 35 41 44 55 59 ГЛАВА 2.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 67 6 1. Понятия сходимости в точке и равномерной сходимости на множестве !. Понятия функциональной последовательности и функционального ряда (67). 2. Сходимость функциональной последовательности (функционального ряда) в точке н на множестве (69). 3. Равномерная сходимость на множестве (70). 4. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности (ряда) (72) $2.
Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов . . . . . . . . . . 74 4 3. Почленный переход к пределу . . . . . . . . . . . 83 й 4. Почлцнное интегрирование и почленнае дифференцирование функциональных последовательностей и рядов . . . . . . . . . 87 1. Почленное интегрирование (87). 2.
Почленное дифференцирование (90). 3. Сходимость в среднем (94) 3 5. Равностепенная непрерывность последовательности функций . . 97 $6. Степенные ряды...,........... 102 1. Степенной ряд и область его сходимости (102). 2. Непрерывность суммы степенного ряда (105). 3. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда (105) $7. Разложение функций в степенные ряды . . . . . . , . . 107 1.
Разложение функции в степенной ряд (107). 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (108), 3. Элементарные представления о функциях комплексной переменной (110). 4. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленамн (112) ГЛАВА 3. ДВОЙНЫЕ И в-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 117 $ 1. Определение и условия существования двойного интеграла . 1. Определение двойного интеграла для прямоугольника (117). 2. Условия существования двойного интеграла для прямоугольника (119) 3 Определение и условия существования двойного интеграла для произвольной области (121). 4. Общее определение двойного интеграла (123) 9 2. Основные свойства двойного интеграла $ 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному 1. Случай прямоугольника (129). 2.
Случай произвольной области (130) 9 4. Тройные и в-кратные интегралы 5. Замена переменных в и-кратном интеграле . $6. Вычисление объемов л-мерных тел $7. Теорема о почлснном интегрировании функциональных последовательностей и рядов $ 8. Кратные несобственные интегралы 1. Понятие кратных несобственных интегралов (159). 2. Два признака сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций (160). 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций (161).
4. Главное значение кратных несобственных интегралов (165) 117 127 129 133 136 152 157 159 ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 167 $1. Понятия криволинейных интегралов первого и второго рода... 167 $2. Условия существования ириволинейных интегралов..... 169 ГЛАВА 5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !75 ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ПОЛЯ, ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА................ 190 $1.
Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты линейного оператора 1. Обозначения (190). 2. Биортогональные базисы в пространстве Е" (!9!). 3. Преобразования базисов, Ковариантные и контрвзриантные координаты вектора (192). 4. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор (195). 5. Выражения для дивергенция и ротора лвнейного оператора в ортонормированном базисе (!98) 9 2.
Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы векторного анализа !. Скалярные и векторные поля (198). 2. Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля (203). 3. Некоторые другве формулы векторного анализа (204). 4. Заключительные замечания (206] 9 3. Основные интегральные формулы анализа 1. Формула Грина (207). 2. Формула Остроградского — Гаусса (211). 3.
Формула Стокса (214) $ 4. Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования $ 5. Некоторые примеры приложений теории поля . 1. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл (222). 2. Выражение объема через поверхностный интеграл (223) Дополнение к главе б. Дифференциальные формы в евклидовом про- странстве 198 207 2!8 222 225 $ 1. Понятия поверхности и ее площади . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
