ilin2 (947409), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Оба метода суммирования имеют свои преимущества и свои недостатки. При рассмотрении кратного тригонометрического ряда Фурье как ряда Фурье по ортонормированной системе естественно располагать его члены в порядке возрастания 1п~ и иметь дело со сферическими частичными суммами.
Прямоугольные частичные суммы применяются при исследовании поведения кратных степенных рядов около границы области сходимостн. Следует отметить, что определение суммы ряда как предела прямоугольных сумм (в противоположность определению, опирающемуся на предел сферических сумм) не накладывает никаких ограничений на бесконечное множество частичных сумм этого ряда. Прежде чем формулировать условия сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье, определим некоторые характеристики гладкости функции Л' переменных. 2. Модуль непрерывности и классы Гельдера для функции 1Ч переменных.
Пусть функция А1 переменных 1(х) = =1(хь хь ., хн) определена и непрерывна в А(-мерной области О. 6 6. Кратные трягояометрячееяяе ряды Фурье О и р е д е л е н и е 1. Для каждого б > 0 назовем м о д у л в м непрерывности функции ((х) в области Р точную верхнюю грань модуля разности (/(х') — /(х") ( на множестве всех точек х' и х", которые принадлежат области Р и расстояние р(х', х") между которыми меньше б. Будем обозначать модуль непрерывности функции ((х) в об. ласти Р символом !о(б, (). Определение 2. Для любого и из полусегмента 0(я~1 будем говорить, что функция /(х) принадлежит в области Р кла~су Гел одера С" с показателем и, и писать ((х)еи я=С" (Р), если модуль непрерывности функции ((х) в области Р имеет порядок о!(х, () =0(б").
Пусть теперь а — любое положительное число, не обяза. тельно целое. Это число мы всегда можем представить в виде а=г+к, где г — целое, а и принадлежит полусегменту 0(и<1. Определение 3. Будем говорить, что функция /(х) принадлежит в области Р к л а с с у Г е л ь д е р а С с показателем а>0, и писать ((х)~С" (Р), если все частные производные функции /(х) порядка г непрерывны в области Р и каждая частная производная порядка г принадлежит классу С(Р), введенному в определении 2.
3. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье. Выясним условия абсолютной и равномерной сходнмости кратного тригонометрического ряда Фурье. Теорема 8.17. Если функция /(х) периодически (с периодом 2п по каждой из переменных) продолжена на всг пространство Ен и обладает в Ен непрерывными производносми порядка з=(/У/2)+1, где (М/2) — целая часть числа М/2, то кратный тригонометрический ряд Фурье функции /(х) сходится (к этой функции) абсолютно и равномерно во всем пространстве Ен. Д о к а з а т е л ь с т в о, Договоримся обозначать символом с в ) коэффициент Фурье производной в „с номером и= з /'! м»). =(пь пг,, пн).
Производя интегрирование по частям, полу. чим ~ — /! =!па/» (для любого я=1, 2,, /т), так что ( В('! ~ д.„).= и, следовательно, (/„( =(!п (+ (па(+... + (пн()-! ~~) ~ ~ — ) ~ (8.91) а-! Гл. 3 Ряды Фурье Формула (8.9!) справедлива не только для функции ), но и для каждой частной производной функции ! до порядка (з — !) включительно. Отсюда сразу же вытекает соотношение % ! 1(( а.!' )(е!»((и )+!и (+ +(Пм!) 74 1! дяз, а~~1 $1+,+ +зе( — п lе ! (8.92) сумма в правой части которого берется по всем целым.неотрицательным з(, зз, ..., нл, удовлетворяющим условию з(+аз+' +...+зп=з (так что число слагаемых в этой сумме равно (У'). Из (8.92) в свою очередь следует'з!, что !Я» — ()пз)+ ~!пе~ +...
)- )и .!) — зз-) 2 (8.93) (у ! Учитывая что з= — +е, где е=! для четного ((! н е=((я 2 для нечетного Л(, и что ()пз( + )пв! +... + )пз(!)зз =(~ п,! + ~!пв! + ... -)- )и, !) — ы-зз < яв зе зв — ! —— — ! —— — ! —— »)пз! )пв! ... ~!и ! нз (8.93) получим )зв зв яв — ! —— — ! —— — ! —— !Г„!» — )пз! )Пв! "... )п„~ "+ 2 ~( асаф ..ь ) ~ (з.з(! Для абсолютной и равномерной сходнмости кратного триго.
нометрического ряда Фурье (8.88) достаточно (в силу признака Вейерштрасса) доказать сходимость мажорирующего его числового ряда У.!. Л( — Ф "! Мы пользуемся неравенствами )а! ° (Ь| ~аз/2+Ьз/2 и ()а((+(аз)+...+ + )ар~)з~р(а(з+азз+.Г. Ьа '). 337 й 6. Кратные тригонометрические ряды Фурье но (в силу неравенства (8.94)) сходимость последнего ряда яв. ляется прямым следствием сходимости для любого Й=1, 2, ...
тз -1 —— ..., М числового ряда ~ (и ( н и сходимости для лю- бых эь эы ..., эн ряда вытекающей из неравенства Бесселя (8.90), записанного для нед'1 прерывной функции дл",дхз ... д~л' Тот факт, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88)' сходится именно к функции 7(х), вытекает из полноты кратной тригонометрической системы чо. В самом деле, если бы ряд (8.88) равномерно сходился к некоторой функции й(х), то из возможности почленного интегрирования такого ряда вытекало бы, что все коэффициенты Фурье функции й'(х) совпадают с соответствующими коэффициентами Фурье функции 1(х). Но тог. да разность Ц(х) — у(х)] была бы ортогональна всем элементам кратной тригонометрической системы и (в силу полноты этой системы) равнялась бы нулю.
Теорема доказана. 3 а меч ание. Теорема 8.17 может быть уточнена. Те о р е м а 8.18, Если функция 1(х) периодична по каждой иэ переменных (с периодом 2п) и принадлежит в Ен классу Гельдера С" при а>М!2, го кратный тригонометрический ряд Фурье ((х) сходится (к этой функции) абсолютно и равномерно во всем пространстве Ен. Выяснение условий неабсолютной сходимостн кратного три. гонометрнческого ряда требует привлечения более тонкой техники. мо Полнота кратной тригонометрической системы сразу вытекает из полноты составляюпгих ее одномерных тригонометричесхих систем, произведением которых оиа является. Глава 9 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Если функция Г(х) задана на всей числовой прямой или на полупрямой и не является периодической нн с каким периодом, то эту функцию естественно раскладывать не в тригонометрический ряд Фурье, изученный в предыдущей главе, а в так называемый интеграл Фурье.
Изучению такого разложения и посвящена настоящая глава. Приведем сначала некоторые наводящие соображения. Пусть периодическая с периодом 21' и первоначально заданная на сегменте ( — 1, 1) функция ) (х) разложена в ряд Фурье: 1" (х) = — + оь соз — йх + Ьь 51п — йх), 5-1 где а,= — [ 1(()о1, аь — — — ( Г(()соз — "Н1((, Ь,= 1 1 г .
в = — 3 ~(() 81П вЂ” й((( — 1 Формально подставив выражения для аь и Ьа в разложение функ- ции )(х), получим С 1 Г(х)= — С ГЯг11+ т'1 — '1 ~(1)соз — йхсоз — й(1(Г+ 21,1 С~( 1,) 1 -1 5-1 — 1 + — "~(1)8!П вЂ” "йх51П вЂ”" й1'111 = — ~(1)6Ы+ 1 й 1 21 .3 — ( с 1 + — ~ (1) соз — йх соз — йг + 81п — йх 8! п — й( Й, 8-1 -1 ззв з 1. Представление функции интегралом Фурье или ~(х)= — ' С ~(()с~+ — 'У вЂ”" С У(1)соь — "й(( — х)((. 21,1 и.йй 1,', 1 — 1 а=1 -1 Предположим, что функция Г(х) абсолютно интег~ируема на всей прямой, т. е.
сходится несобственный интеграл ~, ~Д1)!сЫ, и перейдем чисто формалыю в равенстве для Г(х) к пределу при (-+. -иоо. Прн этом первое слагаемое правой части равенства стремится к нулю, а второе слагаемое можно рассматривать как интегральную сумму для интеграла ~д(Л)Ю от функции о гг(Л) = — ~ 1(1) сои Л(1 — х) г(1, если положить Ла = — й, Ы = —. Поэтому формальный предельный переход приводит к равенству О у (х) = — ~ Ю ~ ~ (1) соь Л (1 — х) с(г.
о — м Это равенство и называется ф о р м у л о й Ф у р ь е. Если положить ак — '1 ) Я соь Л1 г)Е, Ьк =- — ) 1" (1) ып Л1 Ш, л,> и то формулу Фурье можно записать в виде О 1'(х)= ) (ад сои Лх+ Ьлып Лх) с(Л. о Перейдем теперь к строгому изложению теории преобразования Фурье. $1. ЛРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ Всюду в дальнейшем подчиним функцию 1(х) требованию абсолютной интегрируемости на прямой ( — оо, оо), т. е. потребуем, чтобы сходился несобственный интеграл Гл. 9. Преобразование Фурье ) ~~(х)'1йх. (9.1) Определение 1.
Будем говорить, что функция 1(х) пр и- надлежит и а п р я м о й ( — оо, оо ) классу Е, и писать 1 (х) ен енЕ~( — со, со), если функция 1(х) интегрируема (в собственном смысле Римана) на любом сегменте (говорят, что 1(х) — локально интегрируема) и если сходится несобственньей интеграл (9.1). 1. Вспомогательные утверждения. Заметим, что в дальнейшем комплексная функция д(Л) вещественного аргумента Л будет рассматриваться как пара вещественных функций и(Л) и о(Л): й(Л) =-и(Л)+1о(Л).
Непрерывность у(Л) в данной точке Л понимается как непрерывность в этой точке каждой из функций и(Л) и о(Л), Лемма 1, Если (~нЕ1( — оо, оо), то для любой точки Л числовой прямой ( — со<Л<со) существует несобственный интеграл О й(Л) =* ) е""*Г(х) йх,1 (9.2) называемый преобразованием Фурье (или образом Ф ур ь е) функции 1(х). Функция й(Л) непрерывна по Л в каждой точке числовой прямой. Доказательство. Из равенства )((х)еа*|=)((х) ~ и из сходимостн интеграла (9.1) вытекает существование несобственного интеграла д(Л): Ю С (у(ЛИ = ~ ~ е' *7(х) йх ) < $ 1Г(х)1~ < Из признака Вейерштрасса (см.
теорему 7.8) вытекает равномерная по Л сходнмость интеграла (9.2); отсюда в силу непрерывности е" по Л легко следует непрерывность д(Л) на каждом сегменте, т. е. в каждой точке числовой прямой. Лемма 2 (лемма Римана). Пусть функции 1(х) — локально интегрируема на ( — оо, +со) и [а, Ь) — произвольный фиксированный интервал числовой прямой; тогда ь ') ((х) е'" йх-ь 0 а при Л- оо (Л вЂ” вещественное число). Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольное число е)0. Так как функция 1(х) по условию теоремы локально интегрируема на числовой прямой„то 1(х) интегрируема на заданном сегмен. 5 !. Представление функции интегралом Фурье те [а, Ь).
Поэтому для выбранного числа и)0 найдется такое разбиение Т сегмента [а, Ь) на частичные сегменты [ха „ха] (я=1, 2, ..., и, а=хь<х!«...х,=Ь), что для нижней суммы Дарбу зг справедливы неравенства ь 0 ~( (г/(х)г(х — зг < е. а Напомним, что $ т ~/ т / Ь х ! / 1 где т = (п1 /а (х), /1х/ = х/ — х/-! ° *е!а/ ! */$ Рассмотрим кусочно постоянную на сегменте [а, Ь) функцию р(х)=т/, при хен[х/ !, х/), 1=1, 2, ..., а, р(хо)=т!. Очевидно, р(х) <1(х) на [а, Ь) и для всех вещественных чисел /с 0<1~ [(х) е!к*с(х — ~ р(х) е!"и/(х[< ~ !1(х) — р (х) [ ° [е" [//х = а а а ь ь = [ [1 (х) — Р (х)) /(х = [ 1(х) ах — зг <, а. а а Но для фиксированного нами разбиения Т ь а а р (х) е!" /(х = ~~~ ~ т/е!ь' с(х = — Ч (т,е!ьл) [ "/ -» О //с аав «/ а /=!,и/ / 1 при /; оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
