ilin2 (947409), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Для формулировки еще одного следствия введем новое понятие, Пусть О(а<1. О предел ение 3. Будем говорить, что функция 1(х) удовлетворяет в данной точке х справа (слева) услов и ю Г е л ь д е р а и о р я д к а а, если функция 11х) имеет в точке х правое (левое) предельное значение и если существует такая постоянная М„что для всех достаточно малых положительньлх 1отрицательных) 1 справедливо неравенство !1(х+ Π— 1(х+ОП М / 11(х+ Π— 1(х — ОП М) (а (Ц Очевидно, что если функция 1(х) имеет в данной точке х правую (левую) производную, понимаемую как предел 1пп 1(х + Π— 1(х + О); l 1. 1(х + Π— 1(х — О) ) нп е- о+о ~е о — о то функция 1(х) заведомо удовлетворяет в этой точке х справа (слева) условию Гельдера любого порядка а(1.
С л ед с та н е 2 (условне сходимостн тригонометрического ряда Фурье в данной точке). Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье кусочно непрерывной и периодической (с периодом 2п) функции 1(х) сходился в данной точке х числовой прямой, достаточно, чтобы функция ((х) удовлетворяла в точке х справа условию Гельдера какого-либо положительного порядка а1 и в точке х слева условию Гельдера какого-либо полозсительного порядка ах (и тем более достаточно, чтобы функция 1(х) имела в точке х аров ю и левую производные).
ока зательство. Достаточно заметить, что из того, что хрункция 1(х) удовлетворяет в точке х справа (слева) условию Гельдера порядка а1 (порядка аз), вытекает существование постоянной М~ (постоянной Мх) такой, что для всех достаточно малых положительных (отрицательных) 1 справедливо неравенство (8.75) (неравенство (8.76)). Так как доказательство теоремы 8.15 использует лишь неравенства (8.75) и (8.76) и кусочную непрерывность и периодичность 1(х), то утверждение следствия 2 верно. Пример. Не вычисляя коэффициентов Фурье функции созх при — а ь хч. О; 1(х)= 112 при х=О; )Гх прн О к.
х ~ и, $ 5. Более точные условии сходиности можно утверждать, что тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится в точке х=О к значению —, так как функция 1 2 7(х) имеет в этой точке левую производную и удовлетворяет в 1 этой точке справа условию Гельдера порядка а,= — . 2 7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических. Мы уже отмечали, что тригонометрический ряд Фурье всюду непрерывной и периодической (с периодом 2п) функции может быть расходящимся (см. п. 1). Докажем, что этот ряд тем не менее всегда суммируем (равномерно па всей прямой) методом Чезаро (методом средних арифметических) зз).
Теорема 8.16 (теорема Фейера) 'а>. Если функция !(х) непрерывна на сегменте ( — и, я) и удовлетворяет условию 7( — я) =)(я), то средние арифметические частичных сумм ее тригонометрического ряда Фурье. 5е(х, 7)+5т(х, /)+...+5.,(х, 1) а( сходятся (к этой функции) равномерно на сегменте [ — и, а! (а в случае, если функция продолзкена на всю прямую с периодом 2п, равномерно на всей прямой).
Доказательство. Из равенства (8.55) для 5„(х, )) следует, что о„(х, ~) = — ~ (х+ ~ ~~йз!и ~1 А+ — ) 11 й(. (8.78) — и 2 на — а=о 2 Для вычисления суммы, стоящей в (8.78) в квадратных скобках, просуммируем тождество 2 з!п — з!и ~й + — ) ! =-соз й! — соз (й + 1) 1 / 1 2 т 2 ) по всем А=О, 1, 2,..., и — 1. В результате получим 2яп — ~з!п!(А+ — 1! (=! — созп(=2яп — ° лг 2 ( 2 г 2 ао См. и. 1 $ т гл. 1. ен Л. Фейер — венгерский математик (1880 — 1959). Приведенная теорема доказана им в 1904 г, 12 звк.
тз Гл, В Ряды Фурье С помощью этого равенства (8.78) приводится к виду л! л 5!И'— о„(х, /) = — ( /(х+ 1) о1. лл,', — л 25!Ле— 2 (8.79у Из (8.79) в свою очередь немедленно следует, что л! 5!И'— !11= 1, лл .! л 25!Ля 2 (8.807 !о„(х, / — Т)~< л! и 5!И*— ( 1/(х+ 1) — Т(х+1)~ лл — и 2 Мля— 2 л! и 5!Ле— е 1 Г 2 5 ~ъ — — ) . !11=— 2 лл .) ! 2 — л 2ап'— 2 (8.83) Неравенство (8.83) справедливо для любого номера а. так как левая часть (8.80) равна среднему арифметическому частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции /(х) =1, а все указанные частичные суммы тождественно равны единице (см. и.
2). Фиксируем произвольное е>0. Согласно теореме Вейерштрасса 8.7 найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, 5!то !/(х) — Т(х) !я е/2 (8.81) для всех х числовой прямой. В силу линейности средних арифметических ол(х, /) =ел(х, / — Т)+о„(х, Т), так что 1о„(х, /) — Т(х)~<!ол(х, / — Т)1+ !ол(х, Т) — Т(х)). (8.82) Запишем равенство (8.79) для функции [/(х) — Т(х)!. Учитывая неотрицательность называемой ядром Фейера функл! 5!Пя— ции 2 и используя оценку (8.81) и равенство (8.80), 2 Ыпя— 2 получим зз! 5 о.
Более точные условия сходимости Заметим, что тригонометрический ряд Фурье многочлена Т(х) совпадает с этим многочленом. Отсюда следует, что все частичные суммы 5„(х, Т), начиная с некоторого номера но, равны Т(х). Но это позволяет нам для фиксированного выше произвольного и>0 отыскать номер 1у' такой, что [в (х, Т) — Т(х) ] <е/2 (8.84) при всех я- У и всех х.
Из неравенств (8.82) — (8.84) заключаем, что ]а [х, !) — 1(х) ](и прн всех я) М и всех х. Теорема доказана. 8. Заключительные замечания. 1'. При решении ряда конкретных задач приходится раскладывать функцию в тригонометрический ряд Фурье не на сегменте [ — и, я], а на сегменте [ — 1, 1], где 1 — произвольное положительное число. Для перехода к такому случаю достаточно во всех проведенных выше рассуждениях заменить переменную х на — х, Конечно, при такой линейной заме! не переменной останутся справедливыми все установленные нами результаты, которые будут относиться к тригонометрическому ряду Фурье — + у (а»соз — Ьх+Ь»згн — Ьх) я 2 "г[, »-1 со следующими выражениями для коэффициентов Фурье: (8.85) — ] 1(!)«1; ! Р (8.
86) а» = — ! ~(!) соз ~ — я! ! й1; Ь» — ! 1(!) з(п ~ — Ь!) й1; ! Р ~! ~ ' !) ~ ! -! » ое л — + ~~ а„соз — Йх, 2 »-! !2» Ь=1,2,... Мы не будем заново формулировать все установленные теоремы, а лишь отметим, что во всех формулировках сегмент [ — я, я] следует заменить сегментом [ — 1, 1], а период 2я — периодом 21. 2'. Из вида (8.86) тригонометрических коэффициентов Фурье вытекает, что для четной функции )(х) равны нулю все коэффициенты Ь» (й=1, 2, ...), а для нечетной функции !(х) равны нулю все коэффициенты а» (Й=О, 1, 2, ...). Таким образом, четная функция !(х) раскладывается в тригонометрический ряд Фурье только но косинусам: ЗЗ2 Гл.
8 Ряды Фурье Ьл з!и — Йх. Х 1 я ! 3'. Приведем весьма часто употребляемую комплексную ф о р м у з а и и с и тригонометрического ряда Фурье (8.85). Используя соотношения (см. п. 3 2 7 гл. 2) -с — яя я к я е = соз — Йх — с зсп — Йх, с — ял е = соз — Йх+ с з1п — Йх, я .. я с легко убедиться в том, что тригонометрический ряд Фурье (8.85) с коэффициентами Фурье (8.86) приводится к виду  — с — ьл я ~)~~ с,е (8.87) в котором комплексные коэффициенты сь имеют вид с с" яс сь = — ( Г(1)е с(1 2С 1 и выражаются через коэффициенты (8.86) по формулам 2 2 2 а 6. кРАтные тРиГОнОметРические Ряды ФРРъе 1.
Понятия кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных и сферических частичных сумм. Пусть функция Ас переменных )(хс, хм ..., хн) определена и интегрируема в Ас-мерном кубе — я.кхл~п (Й=1, 2, ..., Ас); обозначим этот куб символом П. Кратный тригонометрический ряд такой функции удобно записывать сразу в комплексной форме, используя для сокращения записи понятие скалярного произведения двух ссс-мерных векторов.
Пусть х=(хь хсь ..., хсч) — вектор с произвольными вещественными координатами хс, хм ..., хя, а п=(пс, пъ пя) вектор с целочисленными координатами пс, пь ..., пн. а нечетная функция ((х) раскладывается в тригонометрический ряд Фурье только по синусам: 6 6. Кратные тригонометрические ряды Фурье Кратным тригонометрическим рядом Фурье фУнкции 1(х) =1(хь хэ, ..., хл) называетсЯ РЯд вида (8.88) в котором числа 1„называемые коэффициентами Фурье, определяются равенствами Га = ~э,л~...эы (8.89) = (2п) —" ) ... ') 1(у, у„..., ум) ана'"*+"'+а"""'с(ух... г(у„, и а символ (х, и) обозначает скалярное произведение векторов х и и, равное х,п,+хяп,+...+хлад. Конечно, кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) можно рассматривать как ряд Фурье по ортонормированной (в й1-мерном кубе П) системе ">, образованной с помощью всевозможных произведений элементов одномерных тригонометриче.
ских систем, взятых от переменных хь хх, ..., хл соответствен. но. Эту ортонормированную систему принято называть к р а тной тригонометрической с и с те мо й. Как и для всякой ортонормированной системы, для кратной тригонометрической системы справедливо н е р а в е н с т в о Бесселя, которое имеет вид (8.90) где )(хь хх, ..., хл) — любая непрерывная в И-мерном кубе П функция. Рассмотрим вопрос о сходимости тригонометрического ряда Фурье. Если этот ряд не сходится в данной точке х= (хь х„ ... ..., хк) абсолютно, то вопрос о его сходимости (в силу теоремы Римана 1.10) зависит от порядка следования его членов (или, что то же самое, от порядка суммирования по индексам пы и„..., пл).
Широко распространены два способа суммирования кратно. го тригонометрического ряда Фурье — сферический и прямоугольный. Сферическими частичными суммами кратного тригонометрического ряда Фурье (8.88) называются суммы вида ем При этом скалярное произведение двух любых функций определяется как интеграл от проиэведения этих функций по кубу П. Гл. 8 Ряды Фурье 5„(х, 1)= у Гпе — и" и 1п)(Х взятые по всем целочисленным значениям п„пь ..., и„, удовлетворяющими условию 1п~= 1 а~+и + ...
+ай~А. Говорят, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8,88) суммируем в данной точке х сферическим методом, если в этой точке существует предел !1щ5х(х, 1). Х Прямоугольными частичными суммами крат. ного тригонометрического ряда Фурье (8,88) называются суммы вида пч т — ЯК п1 Е ' ~'„е 5п „„,м (х, 1)= и, — пь Говорят, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88) суммируем в данной точке х прямоугольным методом (или мет од ам П р и н с ге й м а 'а1), если в этой точке существует пре- дел 1пп 5„,,„м„(х, Г) пч о мх ~ сч Альфред Прянсгейм — немедкяй математик 11850 — 1941). (при независимом стремлении к бесконечности каждого индекса т„ть..., тн).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
