ilin2 (947409), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Итак, по определению ю (б, () = зпр )Г(х') — ((х")[. 1«' — «1<ь «',«"в[а,ь[ Непосредственно из теоремы Кантора (см, теорему 4.18 ч. 1) вытекает, что модуль непрерывности ю(б, )) любой непрерывной на сегменте [а, Ь) функции 1(х) стремится к нулю при 6- Ояз>. Однако для произвольной только непрерывной на сегменте [ — и, и] функции [(х) нельзя, вообще говоря, ничего сказать о порядке ее модуля непрерывности ю(б, () относительно малого 6. Рассмотрим дифференцируемые на сегменте функции.
Утверждение. Если функция Г(х) дифференцируема на сегменте [а, Ь] и ее производная 1'(х) ограничена на этом сегменте, то модуль непрерывности функции ((х) на указанном сегменте го(6, [) имеет порядок оз(6, Г) =0(6) я'>. В самом деле, из теоремы Лагранжавю вытекает, что для любых точек х' и х" сегмента [а, Ь] найдется точка $, заключенная между х' и х" и такая, что )((х') — ((хь) [=[)'(й) [ ]х' — х"). (8.49) Так как производная ['(х) ограничена на сегменте [а, Ь], то найдется постоянная М>0 такая, что для всех х из этого сегмента ]Г'(х) [<М и, следовательно, )Г'($) ]<М. Из последнего неравенства и из (8.49) заключаем, что )((х') — )(хи) ]<Мб для всех х' и х" из [а, Ь], удовлетворяющих условию )х' — х"] <6.
Но это и означает, что оз(6, )) <Мб, т. е. оз(б, 1) =О(6). Пусть а — любое вещественное число из полусегмента 0<а 1. Определение 2. Будем говорить, что функция Г(х) принадлежит на сегменте [а, Ь] классу Гельдера С" с показателем а (0<а<1), если модуль непрерывности го(6, [) функции [(х) на сегменте [а, Ь] имеет порядок Ф(6, Г) =О(б").
Для обозначения того, что функция )'(х) принадлежит на сегменте [а, Ь) классу Гельдера С, обычно употребляют символику: 1(х) ы Са [а Ь) . ен Ибо (в силу теоремы Кантора) для любого в>0 найдется 6>0 твкое, что )((х') — ((х«) ! <е для всех х' н х" из сегмента [л, 61, удовлетворяющих условию (х' — х" 1<6. ьп Напомним, что символ а=О(6) был введен в ч. 1 и обозилчвет существоввнне постоянной М такой, что (о( <М6. «и См. теорему 8.5 ч. 1.
5 5. Более точные услоиии схоцимости 311 Сразу же отметим, что если на сегменте [а, Ь] функция [(х) дифференцнруема и ее производная ограничена, то эта функция заведомо принадлежит на этом сегменте классу Гельдера С' (это утверждение непосредственно вытекает из доказанного выше соотношения ю (б, 1) =0(6) ) 'з1. Замечание, Пусть [(х) епСе[а, Ь]. Точную верхнюю грань дроби, на множестве всех х' и х", принадлежащих )х' — х" )о сегменту [а, Ь] и не равных друг другу, называют к о и с т а н т о й Гельдера (нли коэффициентом Гельдера) функции 1(х) (па сегменте [а, Ь]).
Сумму константы Гельдера функции 1(х) на сегменте [а, Ь] и точной верхней грани ]1(х) [ на этом сегменте называют гельдеровой но р мой фун кцн и 1(х) н а сегменте [а, Ь] и обозначают символом ]~Щс 1,ь1 П р и м е р. Функция [(х) =)1х принадлежит на сегменте [О, 1] классу Сиз, так как для любых х' и х" из [О, 1], связанных условием х')х", справедливо равенство рх' — х [) (х') — 1(х") [ =) ' х' — х" Гхю+т х" (при этом константа Гельдера, являющаяся точной верхней гранью на [О, 1] дроби, равна единице, а гельдерова .р' х' + у' х' норма равна двум). 2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье. Пусть [(х) — произвольная функция, определенная и ку- сочно непрерывная на сегменте [ — и, и].
Мы будем называть периодическим продолжением этой функции на всю прямую такую определенную на всей пря- мой функцию [(х) а >, которая удовлетворяет трем требованиям: 1) совпадает с первоначально заданной функцией на интерва- ле — п<х<н, 2) имеет на концах сегмента [ — и, к] значения у(п) =-Г( — и)= — [1( — и+0)+Г(п — 0)], 3) удовлетворяет условию периодичности с периодом 2п, т. е.
удовлетворяет для любого х соотношению [(х+2п) =1(х). Л е м м а. Если функция Р(х) является периодическим продолжением на всю числовую прямую функции Р(х), первоначально определенной и кусочно непрерывной на сегменте [ — и, и], то зю Класс Гельцера С', отвечающий значению а=1, часто называют классом Лившица. "' Оставляем цли этой функции обозначение исходной функции 1(х). Гл. 3 Ряды Фурье 3!2 все интегралы от этой функции по любому отрезку длины 2а равны друг другу, т.
е. для любого х справедливо равенство л л+к ) Р(1)Ш- ~ РЯЙ. — л — !к+к (8.50) Из (8.51) и (8.52) вытекает соотношение (8.50). Лемма доказана. Пусть теперь функция 1(х) является периодическим продолжением на всю прямую функпии 1(х), первоначально определенной и кусочно непрерывной на сегменте [ — а, и).
Вычислим для этой функции в любой точке х частичную сумму ее тригонометрического ряда Фурье 5л(х, 1), имеющую вид л о„(х, 1) — '+ ~~)~ ~(а, соя Ьх+ Ь, з!и йх). я ! Используя выражения для коэффициентов Фурье а,= — ~ Г(у)бу, а,= — ~" ~(у)сжйуду, Ь,= — ~" 1(у)з!пйуйу 1 Е л л -л (й=1, 2, ...) и свойство линейности интеграла, выражение для 5„(х, 1) можно переписать в следующем виде: л л Я„(х, ! ) = — ~ 1 (у) ~ — + ~~) (соз йу соз ух+ э\и йу з1п йх) ) е(у = — л к=! = — ! 1(у) 1 — + ~!соей(у — х)~ йу. — л я ! Доказательство.
В силу свойства аддитивности интеграла имеем л+к — л л л-1-к (' Р(1)й1= ~ Р(1)й1+ ~ Р(1)й1+ ~ Р(1)й(. (8зИ) — я+к — л+к — л л Используя условие периодичности Р(у — 2а) =Р(у), с помощью замены у=1+2п получим — л л л л-'-к РЯд1= ~ Р(у — 2п) йу= ~ Р(у)ду= — ~ Р(у)с1у. (8г52) — я+к л+к я+к й З1З $5. Более точные условия сходимости Сделаем в последнем интеграле замену переменной у=г+х; и — и я 5„(х, ~) = — ( ~(х+() ~ — +~~1!сои Ы1с(!. и 2 — я — в и-1 Наконец, используя лемму 1 и замечая, что подынтегральная: функция в последнем интеграле является периодической функцией аргумента ! с периодом 2п, получим л е 5„(х, 1) = — 1 !' (х+ !) ~ — + ~ соз й! ~ сИ.
(8. 53) и,! [ 2 Вычислим сумму, стоящую в (8.53) в квадратных скобках. Для этого заметим, что для любого номера й и любого значения 2 справедливо равенство !'~.т! 2 я и — соз 'и( = яп ( й + — 1 ! — яп ~ и — — ~ !. 2, 2 / Просумх!:руем это равенство по всем номерам й, равным 1, 2,, пс 2з!и — ~созМ=-яп ! и + — ! г — яп —. е-1 Отсюда я 2 яп — ~ — + ~~ сои 2! ~ = я'и ~п + — ~ 1 и ! и, следовательно, я и!п (л+ — ) ! — + ~~1~ созЫ1 = А=! 2ып— 2 (8. 54); 1 1 с 5! (Л+ ~! Я„(х, ~)= — ~ !".
(х+!)— 2 с(г, л — и 25!П 2 (8.55), справедливое в любой точке х числовой прямой. Подставляя (8.54) в (8.53), окончательно получим следующее выражение для п-й частичной суммы тригонометрического ряда Фурье: 314 Гл. 8 Ряды Фурье 3 а м е ч а н и е. Из формулы (8.55) и из того, что все частичные суммы 5„(х, 1) функции )(х) = — 1 равны единицевв), вытекает следующее равенство: 1 5!п (и .)- ) 1 — д(.
— л 2в!ив 2 (8.56) 3. Вспомогательные предложения. Л е м м а. Пусть 7(х) кусочно непрерывна на сегменте ( — и, и) и периодически с периодом 2п продолжена на всю бесконечную прямую. Тогда для любого е>0 найдется б(и) >О такое, что при всех и, удовлетворяющих условию (и'1 '6, справедливо неравен- ство и ) )7(и+() — ТЯ( д(( и. Доказательство. Фиксируем произвольное а>0. Согласно теореме 8.8 (о замкнутости тригонометрической системы) для функции 7(х) найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что / и ))))*) — т ) )! = у7~ т) ))))) — т )))) щ < зу 2п и потому на основании неравенства Коши — Буняковского" ) ~)))) — т))))же~, ) ))))) — т)))]'й ) й( —.
)8)7) 3 ' Из неравенства (8.57), из леммы п. 2 и из того, что 7(1) и ТЯ являются периодическими функциями периода 2п, заключаем, что для любого числа и (( ((+и) — Т((+и)( д(( —, (8.58) 3 ' Поскольку модуль суммы трех величин не превосходит сумму мо- дулей этих величин, то для любого числа и справедливо неравен- ство ") Так как величина (8.58) для функции ((х)= — 1 равна сумме 5„(х, 1), в которой па=2, оь=ьь=о при Ь= 1, 2, ... ") См.
неравенство (8.7) при а= — и, Ь=п. й о. Более точные условия сиодимости ~ [ (1 + и) — 1 (1) [ с(1 ч ) [7 (1+ и) — Т (1 + и) [ с(Е + + ) [Т((+и) — Т(У)[Ж+ ) ~Т(() — ~(1)( сй. (8.59) Теперь остается заметить, что в силу непрерывности тригонометрического многочлена и теоремы Кантора (см. теорему 4.16 ч.
1) для фиксированного нами е>0 найдется б>0 такое, что прн [и1(б н при всех ( из [ — я, я) [Т(1+и) — ТЯ [(е/(бп), и потому ~ 1Т (1 + и) — Т (1)1 с(1 ( е/3. (8.60) Сопоставляя неравенство (8.59) с неравенствами (8.57), (8.58) и (8.60), получим [[(1+и) — 7" (1)[ Й ( г (8.61) для всех и, для которых [и1(б, Лемма доказана. Извлечем теперь из этой леммы ряд важных для дальнейшего следствий. С л е д с т в и е 1, Если 4ункция [(() кусочно непрерывна на сегменте [ — и, я] и периодически (с периодом 2я) продолжена нп всю бесконечную прямую, и х — любая фиксированная точка сегмента [ — я, я[, то для любого г>0 найдется б>0 такое, что (8.62)~ (7(х+1+и) — [(х+()[ Й( е при [и1(б. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сделаем в интеграле, стоящем в левой части (8.62), замену переменной т=х+1: и и+» [ [Г(к+1+и) — Т(х+1)[ с1г = ~ 17(и+и) — 7(т)[ с(т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
