ilin1 (947407), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Представление (3.63) весьма удобно в различных приложениях теории пределов. Введем теперь понятие бесконечно большой в данной точке а справа !или слева) функции. 120 Гл. 3. Теория пределов Функция А(х) называется бесконечно большой в то чке а справа [слева) функцией, если для любой сходящейся к а последовательности (х„) значений аргумента, все элементы которой больше а [меньше а[, соответствующая последовательность значений функции (А (х„)) является бесконечно большой последовательностью, все элементы которой, начиная с некоторого номера, либо положительны, либо отрицательны.

Для бесконечно больших в точке а справа [слева[ функций используется следуюшая символика: !!т А(х) = + со [ !нп А(х' = + оо] а-аа+О а-аа — О или 1пп А(х) = — оо [ !!гп А(х) = — оо]. а.аа+О а а-О Иногда употребляют более лаконичную символику: А (а+О) =+оп [А (а — О) = +по) или А (а+О) = — оо [А(а — О) = — оо[.

Остановимся на методике сравнения двух бесконечно малых в данной точке а функций. Пусть а(х) и р(х) — две функции, заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являющиеся бесконечно малыми в точке а. !'. Говорят, что а(х) является в точке а бесконечно м а л о й б о л е е в ы с о к о г о и о р я д к а, ч е м р(х) (и м е е т в точке а более высокий порядок малости, чем Р(х)), если !нп () =0 (3. 64) - Р(х) = . 2'. Говорят, что а(х) и [1(х) являются в точке а бесконечно малыми одного порядка (имеют в точке и одинаковый порядок малости), если предел, стоящий в левой части (3.64), равен конечному числу, отличному от нуля.

3'. Говорят, что о(х) и 6(х) являются в точке а эквивалентными бесконечно малыми, если предел, стоящий в левой части (3.64), равен единице. Для обозначения того, что а(х) является в данной точке бесконечно малой более высокого порядка, чем р(х), используют следуюшую запись: а=о(6) (читается: «а равно о малому от р»). Итак, символ о(р) обозначает любую бесконечно малую в данной точке а функцию, имеющую в этой точке более высокий порядок малости, чем бесконечно малая в той же точке функция 121 $4. Предел функции О(х). Из этого определения символа «о малое» вытекают следующие его свойства: 1) о(ф)+о(й) =оф), о(й) — о(й) =о(б); 2) если у=о(р), то о(б) +о(у) =о(р) ", 3) если а и б — любые две бесконечно малые в данной точке функции, то а О=о(а) и а р=о(р).

Аналогично сравниваются две бесконечно большие в данной точке а справа (или слева) функции. Пусть А(х) и В(х) определены для одних и тех же значений аргумента и для определенности 1ип А(х) =+ оо, 1ип В(х) =+оо. х»а+о х»а+о 1'. Говорят, что А(х) имеет в точке а справа более высокий порядок роста, чем В(х), если функция А(х) В (х) является бесконечно больгиой в точке а справа. 2'. Говорят, что А(х) и В(х) имеют в точке а справа одина ко вьгй порядок роста, если предел функции — при А(х) В(х) х-»а+О равен конечному числу, отличному от нуля. Приведем примеры сравнения бесконечно малых н бесконечно больших функций.

1. Функции а(х)=хо — хо и р(х)=бх'+х" являются в точке х=О бесконечно малы н одного порядка, ибо а(х' . хо — хо . 1 — х' 1 1ип — — 1ип = 1ип — = —. х о Р(х х-о 5х'+х' х- о 5+х 5 2. Функции а(х) *=(х — 2)'(х — 1) и р(х) =(х — 2)' являются в точке х=2 эквивалентными бесконечно малыми, ибо 1ип — = Пгп а(х) . (х — 2)'(х — 1) ' = Пгп(х — 1) =1. х о ))(х) х о (х — 2)к х к 3.

Функции А(х) = — и В(х) = — являются бесконечно 2+х 1 х х большими одинакового порядка роста в точке х=О как справа, так и слева, ибо 1ип — =! ип (2 + х) = 2. А(х) х-о В(х) х о Аналогично определяются и сравниваются функции, бесконечно малые или бесконечно большие при х- оо, а также при х- +ее (соответсгвенно при х -оо). Гл.

3. Теория пределов й З. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ Анализируя определения различных видов предела функции Г(х) по Коши, мы легко можем заметить, что во всех этих определениях требуется, чтобы для любого з>0 все значения этой функции, отвечающие значениям аргумента х, принадлежащим некоторому множеству С„удовлетворяли неравенству (3.58)', т. е. принадлежали з-окрестности Ь.

При этом множество С„определенное для всех 6>0, имеет разный вид при определении различных видов предела. При определении предела в точке а множество С, представляет собой проколотую 6-окрестность точки а, прн определении правого [левого] предела в точке а множество С, представляет собой интервал (а, а+6) [соответственно (а — 6, а)], при определении предела при х- оо множество С, представляет собой внешнюю часть сегмента [ — 6, +6] и, наконец, при определении предела при х- оо [при х-е — оо] множество С, представляет собой открытую полупрямую (6, +со) [соответственно ( — оо, — 6)].

Если функция )(х) задана на множестве (х), то во всех определениях пределов по Коши требуется, чтобы неравенство (3.58) было справедливо для тех элементов множества (х), которые принадлежат соответствующему множеству С,. Договоримся обозначать символом В, подмножество тех элементов (х), которые принадлежат С„т. е. положим В,=(х)ЙС,. Естественно, возникает вопрос, какими общими свойствами обладает совокупность всех подмножеств В, множества (х).

Анализ условий, при которых формулируются определения 1* — 4* пределов функции по Коши, приводйт нас к выводу, что множество (х) задания функции 1(х) всякий раз имеет хотя бы один элемент, принадлежащий С„т. е. множество В, всегда не является пустым. Далее легко убедиться в том, что для всех видов пределов пересечение двух любых множеств совокупности (Ве) представляет собой некоторое множество той же совокупности.

Так, например, пересечение двух множеств Ве и В,', первое из которых состоит из значений аргумента, принадлежащих проколотой 6-окрестностн точки а, а второе — из значений аргумента, принадлежащих проколотой 6'-окрестности точки а, представляет собой совокупность значений аргумента, принадчежащих проколотой 6"-окрестностн точки а, гдеб" — наименьшее из двух положительных чисел 6 и 6', т. е. представляет собой множество В," той же совокупности (В,). В более общей ситуации, которая может встретиться, например, при изучении функции нескольких переменных, нересече- 5 5.

Общее определение предела функции по базе 123 ние двух любых множеств совокупности (В ) само может не являться элементом этой совокупности, но обязательно содержит элемент этой совокупности. Проведенное рассмотрение, естественно, приводит нас к фундаментальному понятию базы множества (х) задания функции. О и р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что бесконечная совокупность В=(В ) подмножеств В, множества (х) образует базу (или базис фильтра) множества (х), если для элементов этой совокупности выполнены два требования: 1) каждый элемент Ве является непустым подмножеством множества (х); 2) в пересечении любых двух элементов совокупности (В,) обязательно содержится некоторый элемент этой же совокупности. Приведем примеры наиболее употребительных баз (базисов фильтра).

1'. Пусть функция [(х1 задана на множестве (х), имеющем хотя бы один элемент в любой проколотой 6-окрестности точки а. Указанную проколотую 6-окрестность точки а обозначим символом С, и положим В,=(х)ПСь Очевидно, совокупность В=(Ве) множеств В, при всех 6>0 образует базу множества (х), ибо каждое множество В, при любом 6>0 не является пустым н пересечение любых двух множеств совокупности (Вз), как уже отмечалось выше, представляет собой множество из той же совокупности. Рассмотренную базу (В,) принято обозначать символом х — иа. 2'.

Пусть функция 1(х) задана иа множестве (х), имеющем прн любом 6>0 хотя бы один элемент, принадлежащий интервалу (а, а+6) [соответственно (а — 6, а)]. Обозначив указанный интервал символом С„положим В,=(х)ПС,. Тривиально проверяется, что совокупность В=(Ве) множеств В„отвечающих всевозможным 6>0, образует базу множества (х).

Характеристики

Список файлов книги