ilin1 (947407), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

--+---' ствующая последова- 1 тельность значений функции (1(х )) сходится к Ь. Фиксируем произ- в а-Ю а а+Ю х вольное положительное число е и по нему Рис. 3.9 положительное число 6, которое в силу определения предела функции по Коши гарантирует справедливость неравенства (3.58) для всех значений х, для которых 0<1х — а ~ <6. В силу сходимости последовательности (х„) к а для указанного положителю|ого числа 6 найдется номер )и' такой, что при всех п)У справедливо неравенство 1х„— а~<6.

Поскольку х„~а для всех номеров и, то при всех п)У справедливы неравенства О< <1х — а~<6 и, значит, в силу определения предела функции по Коши при всех п~У справедливо неравенство 11(х ) — Ь1<е. Это я означает, что последовательность (1(х„О сходится к числу Ь. 2) Пусть теперь число Ь является пределом функции у=1(х) в точке а по Гейне. Докажем, что это же число Ь является пределом функции у=)(х) в точке а и по Коши. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого положительного числа е и для сколь угодно малого положительного числа 6 кайдется хотя бы одно значение аргумента х такое, что 0<1х — а ~ <6, ио ~1(х) — Ь |:э-е. 1 Таким образом, мы можем взять последовательность 6„=— л 1 (п=1, 2, ...) и утверждать, что для каждого ее элемента 6„=— и найдется хотя бы одно значение аргумента х„такое, что 0< |х„— а1( —, но 11(х„) — Ь) )~ е. (3.59) Гл.

3. Теория пределов Левое из неравенств (3.59) означает, что последовательность (х ) сходится к а и состоит из чисел, отличных от а. Но в таком случае согласно определению предела по Гейне соответствующая последовательность значений функции ()(х„)) обязана 'сходиться к числу Ь, а этому противоречит правое из неравенств (3.59), справедливое для всех номеров и.

Полученное противоречие доказывает теорему. Приведем примеры функций, как обладающих, так и не обладающих в данной точке а предельным значением. 1'. Функция 1(х) =с=сопя( имеет равный с предел в каждой точке а бесконечной прямой. В самом деле, для любого значения аргумента х разность )(х) — с равна нулю, и поэтому )[(х) — с(<а для любого е>0 и для всех значений аргумента (в данном случае для любого е>0 в определении предела по Коши можно брать в качестве б любое положительное число).

2'. Функция )'(х) =х в любой точке а бесконечной прямой имеет предел, равный а. В самом деле, для этой функции последовательности значений аргумента и соответствующих значений функции тождественны, и поэтому, если последовательность (х„) сходится к а, то и последовательность (1(х„)) также сходится к а. 3 . Функция Дирихле д)(х), значения которой в рациональных точках равны единице, а в иррациональных точках — нулю, не имеет предела ни в одной точке а бесконечной прямой. Это вытекает из того, что для сходящейся к а последовательности рациональных значений аргумента предел последовательности соответ* ствующих значений функции равен единице, в то время как для сходящейся к а последовательности иррациональных значений аргумента предел последовательности соответствующих значений функции равен нулю.

Введем теперь понятие одностороннего (т. е. правого или левого) предела функции в данной точке а. Для этого нам прежде всего следует уточнить характер того множества (х), на котором задана функция [(х). Мы теперь потребуем, чтобы это множество (х) для любого б>0 имело хотя бы один элемент, принадлежащий интервалу (а, а+б) [интервалу (а — б, а)). Определение 2 (правый [левый) предел функ ° ци и по Гейне).

Число Ь называется правым пределом [л е в ым и р в д е л о м) ф у и к ц и и у=[(х) в точке а, если для любой последовательности значений аргумента (х„), сходящейся к а и состоящей из чисел, ббльших а [меньших а), соответствующая последовательность значений функции (~(х„)) сходится к числу Ь. Определение 2* (правый [левый) п редел фун кци и по Коши). Число Ь назь1вается правым пределом левым пределом) функции у=[(х) в точке а, если ля любого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число б такое, что для всех значений аргумента х, Ь 4, Предел функции удовлетворяющих условию а<х<а-1-6 [условию а — б<х<а|, справедливо неравенство (3.58) .

Для обозначения правого [левого| предела функции 1(х) в точке а используют следующую символику: 1пп [(х) = Ь [ 1пп ~(х) = Ь[ х а+0 х или более краткую символику [(а+0) =Ь Ща — 0) =Ь). В полной аналогии с теоремой 3.19 доказывается эквивалентность определений 2 и 2*: следует лишь во всех проведенных пр1с доказательстве этой теоремы рассуждениях брать значения аргумента х и элементы последовательности (х„) большими числа а [меиьптими числа а). В качестве примера рассмотрим функцию + 1, если х ) О, [ (х) = зйп х = О, если х = О, — 1, если х< О.

Эта функция имеет в точке а=0 как правый, так и левый пределы, причем зяп(0+0) =+1, зяп(0 — 0) = — 1. В самом деле, для. любой сходящейся к а=О последовательности (ха), состоящей иэ чисел, больших нуля, соответствующая последовательность. (здпх„) сходится к +1, а для любой сходящейся к а=О последовательности (ха), состоящей из чисел, меньших нуля, соответству. ющая последовательность (знпх ) сходится к — 1. Из проведенных рассуждений вытекает, что у рассматриваемой- функции у= вин х не существует в точке а=О предела. Итак, функция у=вднх не имеет в точке а=О предела, поимеет в этой точке правый предел, равный +1, и левый предел, равный — 1.

Тот факт, что правый и левый пределы этой функции не равны друг другу, не является случайным, ибо справедливо следующее утверждение: если функция 1(х) имеет в точке а как правый, так и левый пределы и если эти односторонние пределы. равны одному и тому все числу Ь, то эта функция имеет в точке а предел, равный Ь". Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться определениями 1а и 2* и учесть, что если неравенство (3.58) справедливо для значений аргумента х, удовлетворяющих условиям а<х<а+6 и а — 6<х<а, то неравенство (3.58) справедливо и для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию 0<1х — а~ <6. ' Очевидно, справедливо и обратное утверждение: если функция 1(х) иые.

ет в точке а равный Ь предел, то как правый, так и левый пределы 1(х) в точке о существуют и оба равны Ь. 614 Гл. 3. Теория пределов Сформулируем теперь понятие предела функции при х-+-оо. Для введения этого понятия следует потребовать, чтобы мнозсест'ео (х), на котором задана функция у=/(х), для любого 6>0 имело хотя бы один элемент, лежащий вне сегмента ( — 6, ллб). Определение 3 (предел функции п р и х-~оо по Гейне).

Число Ь называется пределом (или предельным значением) функции у=/(х) при х — кое, если для любой ебесконечно большой последовательности значений аргумента (х,) соответствующая последовательность значений функции (/(х„)) сходится к числу Ь. О п р е д е л е н и е Зе (п р е д е л ф у н к ц и и п р и х-+.оо п о 'Кош и). Число Ь называется пределом (или предельным з и а ч е и и е м) ф у н к ц и и у=Я(х) и р и х — е.оо, если для любого еположительного числа в найдется отвечающее ему положительное .число 6 такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию !х) >6, справедливо неравенство (3.5Й).

Для обозначения предела функции у=/(х) при х — оо используют следующий символ: 1!ш/(и) = Ь. В полной аналогии с теоремой 3.19 доказывается эквивалентность определений 3 и Зе. Следует лишь в рассуждениях, использованных при доказательстве этой теоремы, во!оду заменить сходя!цуюся последовательность значений аргумента (х,) бесконечно большой последовательностью значений аргумента (хв), а нера.венство 0<!х — а~ (6 заменить неравенством !х!>6.

Примером функции, имеющей предел при х-+оо, может слу! окить функция /(х) = — (хчоО), В самом деле, для любой бескох печно большой последовательности значений аргумента (х,) соответствующая последовательность значений функции /(х„) =1/х„ (в силу теоремы 3.6) является бесконечно малой, т. е. имеет своим пределом число Ь=О. Значит, в силу определения 3 !пп — = О. 1 Сформулируем, наконец, понятие предела функции при стремлении х к бесконечности определенного знака. Для введения такого понятия потребуем, чтобы функция у=/(х) была задана на таком множестве (х), которое для любого 6>0 имеет хотя бы один элемент, лежащий правее 6 (левее — 6).

Определение 4 (предел функции при х +оо (х-+ — оо) п о Г е й н е). Число Ь называется и р е д е л о м (или и р е д е л ь и ье м значением) ф у и к ц и и у =/(х) п р и м — ~+во [при х — оо), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента (х,), все элементы которой $4. Предел функции положительны [отрицательны[, соответствующая последовательность значений функции Ц(х„)) сходится к числу Ь.

Определение 4" (предел функции прн х- +со [х- — оо) по Коши). Число Ь называется пределом (или и р е д е л ь и ы м э н а ч е н и е и) ф у и к ц и и у = [(х) при х- +со [при х- — о), если для любого положительного числа а найдется отвечающее ему полоскательное числа 6 такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию х>6 [х< <,6[, справедливо неравенство (3.58).

Характеристики

Список файлов книги