ilin1 (947407), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Указанную базу принято обозначать символом х — ~-а+О [соответственно х- а — О]. 3'. Пусть функция 1(х) задана на множестве (х), имеющем хотя бы один элемент вне сегмента [ — 6, +6] при любом 6>0. Положим С,= ( — оь, +ьь)" [ — 6, +6], В,=-(х)ДС,. Легко проверить, что совокупность В=(Ве) образует базу множества (х). Эту базу принято обозначать символом х-+.ьо.

4'. Пусть функция 1(х) задана на множестве (х), имеющем при любом 6>0 хотя бы один элемент на полупрямой (+6, +со) [соответственно ( — оо, — 6)], Обозначим указанную полупрямую символом С, и положим В,=(х)ДС,. Легко убедиться в том, что совокупность В=(Вз) образует базу множества (х). Эту базу обозначают символом х-э-+ьь [соответственно Х вЂ” и — оь] . 124 Гл. 3. Теория пределов 5'. Пусть, наконец, множество (х) представляет собой множество всех натуральных чисел 1, 2, 3, ..., и, .... Положив В,= =(х)П(+б, +оо) для любого б>0, мы легко убедимся и в том, что сово1супность В=(Ве) образует базу множества (х). Эту базу принято обозначать символом п-эоо. Сформулируем теперь фундаментальное определение гредела функции 1'(х) по базе В множества ее задания, содержащее в себе как все рассмотренные выше виды предела функции, так и предел числовой последоиательности.

Предположим, что функция 1(х) задача на множестве (х) и что совокупность В=(Ве) подмножеств В, множества (х) образует базу множества (х). Множество всех значений, которь1е принимает функция 1(х), когда ее аргумент х п)юбегает множество В„договоримся называть образом множества В, и обозначать символом ((В.). Определение 2. Число Ь называется пределом функции 1(х) по базе В множества ее задания, если для любого е>0 существует такой элемент В, базы В, образ Г(В,) которого принадлежит е-окрестности точки Ь, т.

е. принадлежит интервалу (Ь вЂ” е, Ь+з). Для обозначения предела функции Г(х) по базе В множества ее задания будем использовать сима 1л 11ш Г (х) = Ь. в Читатель без труда проверит, что это общее определение предела ио базе содержит в себе как час.ные случаи изученные выше виды пределов, отвечающие базам .";+а, х-+а+О, х — а — О, х-'" х +оо, х-е — оо и и— Легко проверить также, что для общего определения предела по базе остаются справедливыми основные свой тва предела, отвечающего простейшей базе х-е-а. Мы ограничимся тем, что докажем критерий Коши существования общего предела функции 1(х) по базе В множества ее задания. Теорема 3.22.

Для существования предела функции 1(х) по базе В= (В,) множества ее задания необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 нашелся элемент В, базы В, образ 1(В,) которого содержится в некотором интервале длины 2е. Доказательство. 1) Необходимость очевкдна: если сушествует предел Ь функции 1(х) по базе В, то для любого е>0 найдется элемент этой базы В„ образ которого 1(В,) содержится в интервале (Ь вЂ” е, Ь+е), имен .цем длину 2е.

2) Достаточность. Пусть для любого е>0 существует элемент В, базы В, образ которого 1(В,) содержится в некотором интервале длины 2е. Рассмотрим бесконечно малую последова- $5. Общее определение предела функции по базе 12Ь 1 тельность положительных чисел е„= — (в=1, 2, 3, ...). Для и каждого е, найдется элемент базы Ве„, образ которого 1(Ве ) содержится в некотором интервале длины 2е . По определению базы в пересечении элементов Ве, и Ве„ обязательно лежит некоторый элемент базы, который мы обозначим символом.Ввп ОбРаз этого элемента ~'.Ве,) лежит как в некотором интервале 1~ длины 2еь так и в некотором интервале 1з' длины 2ез.

Пересечение интервалов 1, в 1з' представляет. собой интервал 1з длины, не большей 2ез, содержащийся в интервале 1ь Далее, по определению базы в пересечении элементов Ве, н Ве, обязательно лежит некоторый элемент базы, который мы обозначим символом Ве,. Образ этого элемента Х(Ве,) лежит как в интервале 1з длины, не большей 2еь так и в некотором интервале 1з' длины 2нз. Пересечение интервалов. 1з и 1а' представляет собой интервал 1, длины, не большей 2ез,. содержащийся в интервале 1и.

Продолжая эти рассуждения далее, мы построим последовательность элементов базы Ве„, Ве„..., Ве, ... таких, что образ 1(Ве„) каждого элемента Ве„содержится в некотором интервале 1 длины, не большей 2е„, причем в последовательности интервалов 1м 1з, ..., 1„, ... каждый следующий интервал содержится в предыдущем. Обозначим символом Т„сегмент, получающийся добавлением к интервалу 1, его концов.

Так как. последовательность Хь Хз, ..., Т,, представляет собой стягивающуюся систему сегментов (см. п. 2 $2), то в силу следствия из теоремы 3.15 существует, и притом единственная, точка Ь, принадлежащая всем сегментам. Остается доказать, что Ь является пределом функции 1(х) по базе В, т. е. убедиться в том, что для любого е>0 найдется элемент базы В, образ которого содержится в интервале- (Ь вЂ” е, Ь+и). В силу того, что система сегментов (Х ) является стягивающейся и Ь является общей точкой всех сегментов, мы можем утверждать, что для любого е>0 найдется сегмент Х с достаточно большим номером л, содержащийся в интервале (Ь вЂ” е, Ь+и).

Это означает, что при соответствующем номере и элемент базы Ве„имеет образ 1(Вз ), содержащийся в интервале (Ь вЂ” е, Ь+ е) . Теорема доказана. Подчеркнем, что доказанная теорема содержит в качестве частных случаев как критерий Коши сходимости числовой последовательности, так и критерии Коши существования всех рассмотренных выше видов предела функции.

426 Гл. 3. Теория пределов В качестве возможных обобщений изложенной теории можно рассматривать функции, заданные на подмножествах произвольного метрического пространства (см. по этому поводу дополнение 2 к гл. 12). 3 а меч ание. Базы В и Р множества (х) называются экв ив а л е н т н ы м и, если для любого элемента В», базы В найдется такой элемент Р~ базы Р, что Р»„С:В»,, и для любого элемента Р», базы Р найдется такой элемент В», базы В, что В», С Реев Совокупность всевозможных эквивалентных между собой баз В множества (х) называется фильтром множества (х). Нетрудно убедиться, что утверждения о пределах функции по эквивалентным базам В а Р справедливы одновременна.

Глава 4 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В настоящей главе будет всесторонне изучаться важнейшее понятие математического анализа — понятие непрерывности функции, В дополнении 2 к гл. 12 понятие непрерывности будет введенсь в общей ситуации, когда задано отображение одного метрического пространства в другое. й Е ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ 1. Определение непрерывности функции, Пусть точка а принадлежит области задания функции ((х)а и любая е-окрестность точки а содержит отличные от а точки области задания функции- 1(х)**. Формальное определение непрерывности в точке а. Функция Дх) называется непрерывной в точке а, если функция 1(х) имеет в точке а предел и этот предел равен частному значению )(а) функции )(х) в точке а. Используя определения предела функции у= — )(х) в точке а по Гейне и по Коши, мы приходим к определению непрерывности функции в данной точке а по Гейне и по Коши.

Определение 1 (непрерывность в точке а по Гейне). Функция у=)(х) называется непрерывной в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности значении. аргумента хь хь ..., хгь соответствующая последовательность значений функции )(х~), )(хя), ..., ((х ), ... сходится к числу 1" (а). Замечание 1. По сравнению с определением 1 предела функции по Гейне (см. п. 2 $4, гл. 3) в определении непрерывности по Гейне мы опустили требование, обязывающее все элементьа последовательности (х,) быть отличными от а. Это можно сделать.

в силу того, что добавление к элементам последовательности ()(х„)), сходящейся к числу 1(а), любого числа новых элементов, равных )(а), не нарушит сходимости этой последовательности к )(а). * Заметим, что этого не требовалось, когда мы рассматривали предел функции 1(х),в точке а. "* Т. е. точка и является предельной точкой множества (л), на котором задана срункция ((х). 828 Гл. 4. Непрерывность функции Определение 1а (непрерывность в точке а по Коши). Функция 1(х) называется непрерывной в точке а, если для любого положительного числа е найдется отвечающее .ему положительное число 6 такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию ]х — а[<6, справедливо неравенство ~[(х) — [(а) [<е.

3 а м е ч а н н е 2. По сравнению с определением 1* предела .функции по Коши (см. п. 2 5 4, гл. 3) в определении непрерывности по Коши мы опустили требование, обязывающее все значения аргумента х удовлетворять неравенству ]х — а~>0, т. е. быть от.личными от а. Это можно сделать в силу того, что для значений .х=а разность» (х) — 1(а) равна нулю и удовлетворяет неравенству [1(х) — [(а) ~ <е при любом е>0. Условие непрерывности функции 1(х) в точке а символически можно выразить следующим равенством: 1нп 1(х) = 7 (а), к -.а Так как а=1ґпх, то этому равенству можно придать следую«-и~ щую форму: 11пт 1(х) =Г(1ппх). Следовательно, для непрерывной в точке а функции символ 1пп «-аа предельного перехода и символ [ характеристики функции можно менять местами.

Из теоремы об эквивалентности определений предельного значения по Гейне и по Коши (см. теорему 3.19 из п. 2 $4 гл. 3» следует, что определения непрерывности функции по Гейне и по Коши (определения 1 и 1*) эквивалентны. Сформулируем теперь определение односторонней непрерывности функции 1(х) в точке а, т. е. непрерывности в точке а либо только справа, либо только слева. От множества (х) задания функции 1(х) мы нэ этот раз должны потребовать, чтобы это множество включало точку а и для любого 6>0 имело хотя бы один элемент, лежащий на интервале (а, а+6) [соответственно (а — 6, а)]. Формальное определение непр" рывности в ~точке а справа [слева]. Функция [(х) называется непрерывной в точке а справа [слева], если правый [левый] предел этой функции в точке а существует и равен частному значению 1(а) функции [Гх) в точке а.

Характеристики

Список файлов книги