ilin1 (947407), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Для обозначения введенных понятий используется следующае символика: 1пп 7" (х) = Ь [ 1'ип 7' (х) =. Ь) . х-~4-ю Л Ф Эквивалентность определений 4 и 4" доказывается по схеме доказательства теоремы 3.19: следует только во всех рассуждениях заменить сходящуюся последовательность значений аргумента (хн) на бесконечно большую последовательность значений аргумента (хн), состоящую из положительных [отрицательных) чисел, а неравенство О< [х — а[<6 заменить неравенством х>6 [х< — 6). 3 а м е ч а н н е 6. Отметим, что изученное нами в $1 — 3 понятие предела числовой последовательности (х„) можно рассматривать как частный случай предела функции при х-ь.+ьо. В самом. деле, если взять в качестве (х) мвожество всех натуральных чисел 1, 2, ..., п, ..., а в качестве функции [(х), заданной на этом множестве, ту функцию, которая каждому значению аргумента п ставит в соответствие и-й член последовательности х„ то определение 4ь предела такой функции прн х- + оь в точности совпадет с определением предела числовой последовательности (х„).

3'а меча ние 7. Естественно, возникает идея связать воедино все введенные нами понятия пределов функции и предел числовой последовательности. В $ 5 настоящей главы вводится понятие общего предела функции по базе, включающее в себя как частный случай все введенные нами понятия пределов функции и понятие предела числовой последовательности. 3. Критерий Коши существования предела функции. Ради определенности рассмотрим подробно случай предела функции у=[(х) в точке а, введенного определениями 1 и 1'. Определение.

Будем говорить, что функция у=1(х) удовлетворяет в точке а условию Коши, если для любого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число 6 такое, что для любых двух значений аргумента х' и х"„ удовлетворяющих условиям 0<[х' — а[<6, 0<[х" — а[<6, (3.60) справедливо неравенство [7(х') — )'(х") [ <е. (3.61)1 410 Гл. 3. Теория пределов Теорема 320 (критерий Коши существования предел а функции в то'чке а), Для того чтобы функция у=1(х) имела в точке а конечный яредел, необходимо и достаточно, чтобы функция у=1(х) удовлетворяла в точке а условию ,Коши.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Необходимость. Пусть существует конечный предел 1~п1(х) = Ь. Фиксируем произвольное положил а тельное число а. В силу определения 1" предела функции по Коши для положительного числа е12 найдется положительное число 6 такое, что, каковы бы ни были два значения аргумента х' и х", удовлетворяющие условиям О< ~х' — а~ <6, О< ~хл — а) <6, для соответствующих значений функции справедливы неравенства ~Г(х') — Ь| ( —, ~1(х") — Ь|(— 2 2 (З.б2) Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то в силу неравенств (3.62) мы получим, что У (» ) 1( ") ) = ~ (1(» )-Ь) + (Ь-1(хл)) ~ < <~7'(х') — Ь!+ ~)(хл) — 6~ <а, а это и означает, что функция у=1(х) удовлетворяет в точке а условию Коши. 2) Достаточность.

Пусть функция 1(х) удовлетворяет в точке а условию Коши. Требуется доказать, что функция 1(х) имеет н точке а предел. Пусть (х„) — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а и состоящая из чисел, отличных от а. В силу ойределення 1 предела по Гейне достаточно докузать, что соответствующая последовательность значений функ,ции ()(х,)) сходится к некоторому числу Ь и что это число Ь одно и то же для всех сходящихся к а последовательностей (х,), состо.ящих нз чисел, отличных от а.

Докажем сначала, что для каждой сходящейся к а последовательности (хл) значений аргумента, отличных от а, соответствующая последовательндсть значений функции (1(х,)) сходится н некоторому пределу. Фиксируем произвольное положительное число е н по нему отвечающее ему, согласно условию Коши, по.ложительное число 6. В силу сходнмостн последовательности (х„) 'к а и в силу условия х,чьа для этого 6>0 найдется номер У такой, что 0<1х„— а~ <6 при я~У. Если теперь р — любое нату.ральное число (р=1, 2, 3, ...), то тем более 0<)х,+ — а) <6 при я>1Ч '.

Таким образом, при и- У и для любого натурального р спра~ведливы два неравенства: О< ~х„+л — а~ <6, О< ~я,— а) <6. ' Иоо если л~У, то и нодввно я+я~У. $4. Предел функции 117 Из этих двух неравенств и из условия Коши вытекает, что при а>Ф и для любого натурального р ][(Хичр) 1(Хр) ],<3, а это означает фундаментальность последовательности Д(х )). В силу критерия Коши.сходимости числовой последовательности (см. теорему 3.18) последовательность ([(х )) сходится к некоторому числу Ь.

Остается доказать, что для любых двух сходящихся к а последовательностей значений аргумента (х„) и (х ), все элементы которых отличны от а, соответствующие последовательности значений функции ([(х„)) и (1(л„')) сходятся к одному и тому же пределу. Предположим, что последовательности ()(х )) и ()(х„')) сходятся к пределам Ь и Ь' соответственно. Рассмотрим новую последовательность значений арсумента хь х1', хь хз, хз, хз, ..., х„ х,', ..., также сходящуюся к и и состоящую из чисел, отличных от а. В силу доказанного выше соответствующая последовательность значений фУнкЦии У(х,), У(х,'), Г(хз), У(хз'), ..., )(хч), У(х„'),...

обЯ- заиа сходиться к некоторому пределу Ь". Но тогда в силу утверждения, доказанного в начале п. 1 $3, и ллобая подпоследовательность этой последовательности обязана сходиться к тому же самому пределу Ь". Значит, как подпоследовательность нечетных элементов )(х~), )(хз), ..., )(х,), ..., так и подпоследовательность четных элементов 1(хл'), 1(хз'), ..., )(х '), ... обе сходятся к Ь". Отслода вытекает, что Ь=Ь'=Ь". Теорема полностью доказана. Аналогично формулируется условие Коши и доказывается критерий Коши и для случаев правого [левого] предела в точке а, предела при хл-оо и предела при х-~+ оо[х-р †]. При формулировке условия Коши достаточно в приведенном выше определении заменить условия (3.60) для случая правого [левого] предела в точке а условиями а<х'<а+б, а<х" <а+6 [а — 6<х'<а, а — 6<х"<а], для случая предела при х-+оо условиями ]х']>б, ]х" ]>б н, наконец, для случая предела при хл-+оо [х-~ — оо] условиями х'>6, х">6 [х'< — 6, х" < — 6].

Соответствующие критерии Коши доказываются по схеме доказательства теоремы 3.20: следует только во всех рассуждениях понимать под последовательностями значений аргумента (х„') и (х,") в случае правого [левого] предела в точке а последовательности, сходящиеся к а и состоящие из чисел, ббльших а [меньших а], в случае предела при х-е-оо бесконечно большие последовательности и, наконеп,, случае предела при х-е+оо[х-р- †) бес- |1В Гл. 3.

Теория пределов конечно большие последовательности, состоящие из положительных [отрицательных] чисел. 4. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Справедлива следующая фундаментальная теорема. Основная теорема 321. Пусть две функции /(х) и п(х) заданы на одном и том же множестве (х) и имеют в точке а пределы, соответственно равные Ь и с. Тогда функции /(х)+д(х), /(х) — к(х), /(х) к(х) и /(х)/д(х) имеют в точке а пределы, соответственно равные Ь+с, Ь вЂ” с, Ь с, Ь/с (в случае частного нужно дополнительно требовать, чтобы с было отлично от нуля).

Доказательство. Пусть (х«) — произвольная сходящаяся к а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. В силу определения 1 предела по Гейне соответствующие последовательности значений функции (/(х,)) и (д(х«)) сходятся к пределам Ь и с соответственно. Но тогда в силу теорем 3,9 — 3.12 последовательности (/(х )+й(х,)), (/(х ) — к(х )), (/(х ) к(х«)) и [ — 1 сходятся к пределам Ь+с, Ь вЂ” с, Ь.с и Г /(х„) 1 ! я(..)! Ь/с соответственно.

Это последнее в силу произвольности последовательности значений аргумента (х«), сходящейся к а, и в силу определения 1 предела по Гейне означает, что функции /(х) + +д(х), /(х) — д(х), /(х) у(х) и /(х)/я(х) имеют в точке а пределы, соответственно равные Ь+с, Ь вЂ” с, Ь.с и Ь/с. Теорема доказана. Доказательство соответствующей теоремы для случаев правого [левого] предела в точке а, предела при х-|-оо и предела при л- +оо[х — со] проводится по той же схеме, Все отличие состоит в том, что в качестве последовательности значений аргумента (х«) следует взять в случае правого [левого] предела в точке а последовательность, сходящуюся к а и состоящую из чисел, больших а [меньших а], в случае предела при х- оо — бесконечно большую последовательность и, наконец, в случае предела при :т-+.+ оо [х — оо] бесконечно большую последовательность, состоящую из положительных' [отрицательных] чисел.

Рассмотрим примеры применения теоремы 3.21. Выше в и. 2 мы убедились в том, что для любой точки а бесконечной прямой 1нпх=-а. Используя теорему 3,21, мы можем утверждать, что х-«« 1нп х' = 1цп х 1пп х = а. а = а' н, вообще, для любого номера п Вп| х«а« Пусть теперь Р (х) =Ья+Ь!х+Ь,х'+...+Ь„х", где Ь,, Ьь „, Ь„ь Ь«ФΠ— некоторые постоянные числа. Такая функция Р„(х) называется многочле нам степени п. В силу той же теоремы 3.21 й 4, Предел функцян 119 Вп1 Р„(х) =- 1!гп 1Ьа + Ь х + ... + Ь„х") = Ь + Ь а + ...

+ Ь а" = Р (а) для любой точки а бесконечной прямой. Итак„многочлен Р„(х) имеет предел в любой точке а бесконечной прямой, и этот предел равен частному значению этого много- члена в точке а. Пусть, наконец, Р„(х) и 1, (х) — два произвольных многочлена степеней и и т соответственно. Частное )т(х) =- — принята Ра(х) 1Ь. (х) называть рациональной дробью. В силу теоремы 3.21 для случая частного 1цп Ра(х) 1!гп Я (х) = 1пп "! ) * ' "! ) К (а) х а х а 1г,а(х) 1цц <Ъи(х) Юи(а) н любой точке а, не являющейся корнем мпогочлена !г (х). Таким образом, рациональная дробь имеет предел в каждой точке а бесконечной прямой, не являющейся корнем ее знаменателя, и этот предел равен частному значению этой дроби в указанной точке а, 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Ради определенности будем рассматривать предел функции в точке а.

Функция а(х) называется бесконечно м алой в точке а, если предел этой функции в точке а равен нулю. Примером бесконечно малой в точке а функции может служить функция а(х) = (х — а) ", где и — любое целое положительное число. В самом деле, в конце предыдущего пункта мы установили, что многочлен (х — а)" имеет предел в каждой точке а, причем этот предел равен частному значению этого многочлена в точке х=а, т. е. равен нулю. Заметим, что если функция !(х) имеет предел в точке а, равный числу Ь, то функция а(х) =1(х) — Ь является бесконечно малой в точке а, Это вытекает из того, что пределы каждой из функцнй !(х) и й(х)=Ь в точке а равны числу Ь, и из теоремы 3.21 для случая разности ) (х) — д (х) . Сформулированное утверждение приводит нас к следующему специальному представлению для функции 1(х), имеющей равный Ь предел в точке а: ! (х) = Ь+ а (х), (3.63) где а(х) — некоторая бесконечно малая в точке а функция.

Характеристики

Список файлов книги