ilin1 (947407), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Множество (х) всех значений, которые может принимать данная переменная величина х, называется о б л а с т ь ю и з м е н ения данной переменной величины. Переменная величина считается заданной, если задана область ее изменения. В дальнейшем мы, как правило„будем обозначать переменные величины малыми латинскими буквами х, у, т, ..., а области изменения этих переменных величин соответственно символами (х), (у) (г) -" Перендем теперь к уточнению понятия функции. Пусть задана переменная величина х, имеющая областью изменения некоторое множество (х).

Если каждому значению пеоеменной х из множества (х) ставится в соответствие по известному закону некоторое число у, то говорят„ что на множестве (х) задана функция у=у(х) или у=((х).' При этом переменная х называется а р г у м е н т о м или н е з ависимой переменной, множество (х) называется областью задания функции, а то число у, которое соответствует данному значению х, называется ч а с т н ы и з н а ч е н и е м ф у н к ц и и в т о ч к е х. Совокупность всех частных значений образует вполне определенное множество (у), которое называют либо областью изменения функции, либо множеством всех значений функции.

В обозначении у=у(х) букву Г часто называют х ар а к те ристикой функции. Для обозначения аргумента, функции и ее характеристики могут употребляться различные символы. Остановимся на примерах функций. 1*. у= )т'4 — х'. Эта функция задана иа сегменте — 2~х(2 (при этом выражение под знаком корня является неотрицатель- ' Понятие неременной величины также относится к числу начальных математических ионятий. 107 $4. Предел функции ным), а множеством всех ее значений является сегмент 0(у<2 (рис.

3.4). 2'. Так называемая функция Дирихле', которая определяется так: 1 О, если х — иррациональное число, у ='Р(х)= ~ 1, если х — - рациональное число. Эта функция задана на бесконечной прямой — со<х<+ое, а множество всех ее значений состоит из двух точек 0 и 1. 3н +1, если х>0, У=зйпх= О, если х=О, — 1, если х< О. (Термин «зуп» происходит от латинского слова з(ипшп — знак.) Читается: «у равно сигнум х».

Эта функция задана на всей бесконечной прямой — со<х<+о, а множество всех ее значений состоит из трех точек у= — 1, у=О и у=! (рис. 3.5). Рис. 3.5 Рис. 3.4 4. у=!х1, или у=Е(х), где символ 1х1 или Е(х) обозначает целую часть числа х или, точнее, наибольшее целое число, не превосходящее х. Читается:.«у равно антье х» (от французского слова еп(1ег — целый). Эта функция задана на всей бесконечной прямой — сс<х<+ое, а множеством всех ее значений является множество всех целых чисел (рис. 3.6).

5'. у=п!. Эта функция задана на множестве всех натуральных чисел п=-1, 2, 3, .... Множеством всех значений этой функции является множество натуральных чисел вида п1=1 2 3 ... и, где п = 1, 2, 3, ... (рис. 3. 7) . Часто закон, устанавливающий соответствие между множеством всех значений аргумента и множеством всех значений функции, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется ан ал итическ им. * Петер Густав Лежен-Дирихле — немецкий математик ()805 — 1859). Гл. 3.

Теории пределов 108 При этом следует подчеркнуть, что функция может задаваться разными формулами на разных участках области своего задания. Например, функция — х при и<0, хи при х)О задана аналитическим способом на всей бесконечной прямой — со<х<+ос (рис. 3.8). Рис. 3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8 Весьма распространенным способом задания функции является так называемый т а б л и ч н ы й способ, заключающийся в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Прн таком способе задания можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, отвечающие промежуточным значениям аргумента. Для этого применяется метод и н т е р п о л я ц и и, заключающийся в замене функции между ее соседними табличными значениями какой-либо функцией простой природы (например, линейной или квадратичной).

Примером табличного способа задания функции может служить расписание движения поезда, которое определяет местополо- юй $4. Предел функции жение поезда в отдельные моменты времени. Интерполяция позволяет приближенно определить местоположение поезда в любой промежуточный момент времени. В практике физических измерений весьма распространенным является и еще один способ задания функции — так называемый графический способ, прн котором соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика (снимаемого, например, на осциллографе). 2.

Предел функции по Гейне и по Коши. Пусть функций у=)(х) определена на некотором бесконечном множестве (х), и пусть а — точка бесконечной прямой ( — оо, +со), быть может и ие принадлежащая множеству (х), но обладающая тем свойством, что в любой 6-окрестностн этой точки а имеются точки множества (х), отличные от а *. Например, множеством (х) может служить интервал (а, Ь); в этом случае точка а, являясь граничной точкой интервала, ему не принадлежит, но в любой 6-окрестности а содержатся точки указанного интервала. Другим примером множества (х), на котором задана функция 1(х), может служить множество всех рациональных чисел, принадлежащих интервалу (а — 6, а+6) с выкинутой точкой а. Заметим, кстати, что при любом 6)0 интервал (а — 6, а+6), 'из которого выкинута точка а, принято называть проколотой 6-окрестностью то чк и а.

О и р е д е л е н и е 1 (п р е д е л ф у н к ц и и п о Г е й н е е*)'. Число Ь называется пределом (или предельным значеи и ем) функции у=)" (х) в точке а (или при х-з-а), если для любой последовательности значений аргумента хь хз, ...,х, ..., сходяи(ейся к а и состоящей из чисел х„, отличных от а, соответствующая последовательность значений функции )(хх), )(хз), ...,Дх ) ...

сходится к числу Ь. Определение 1* (предел функции по Коши). Число Ь называется пределом (или предельным значением) функции у=((х) в точке а (или при х-ка), если для любого положительного числа е найдется отвечающее ему положительное число б такова*а, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию 0<)х — а~ <6, справедливо неравенство 1)'(х) — Ь | <ж (3.58) Для обозначения предельного значения функции у=)(х) в точке а используют следующую символику: 1)шГ(х) =Ь или )(х)-з.Ь при х-з-а.

' Это означает, что е является предельной точкой множества (х). *' Генрих Эдуард Гейне — немецкий математик (1821 — !881). Так как 8 зависит от е, то иногда пишут: 8=8(е). Гл. 3. Теория пределов Прежде чем доказывать эквивалентность определений 1 и 1 ", сделаем несколько замечаний, разъясняющих смысл этих определений.

3 а м е ч а н и е 1. Подчеркнем важность фигурирующего в определении 1 требования, обязывающего элементы последовательности значений аргумента х„быть отличными от а, и аналогичного требования в определении 1е, обязывающего брать значения аргумента х, удовлетворяющие условию 0<)х — а), т. е.

отличные от а. Это требование вызвано уже тем, что функция у=)(х) может быть не определена в точке а. Отсутствие этого требования сделало бы невозможным использование предела функции для определения производной функции. В самом деле, из гл. 1 нам известно, что производная Г'(а) функции )(х) в точке а представляет собой предел при х- а следующей функции: 1(л) — Да) х — а Очевидно, что эта функция Р(х) не определена в точке а и это вызвано существом дела. Замечание 2. Особо подчеркнем, что множество (х), на котором задана функция ((х), вовсе не обязано сплошь покрывать некоторую проколотую 6-окрестность точки а.

От этого множества (х) требуется только, чтобы оно имело хотя бы один элемент в любой проколотой 6-окрестности точки а. Примером множества (х) может служить множество всех элементов последовательности 1 — ), лежащих в фиксированной 6-окрестности точки а=0. л 3 а меч ание 3. Заметим, что фигурирующее в определении 1* условие 0<)х — а~ <б эквивалентно соотношениям а — 6< <я<а+6, х~а, т. е. означает, что х принадлежит проколотой б-окрестности точки а. Аналогично, фигурирующее в определении 1е неравенство (3.58) эквивалентно неравенствам Ь вЂ” е< <1(х) <Ь+е, т. е. означает, что 1(х) принадлежит з-окрестности Ь.

3 а м е ч а н и е 4. Привлекая идею приближения функции 1(х) в окрестности точки а с наперед заданной точностью е, мы можем следующим образом перефразировать определение 1* предела функции по Коши: число Ь называется и р е д е л ь н ы м з н а ч ением ф унк ц и и 1(х) в то ч к е а, если для любой наперед заданной точности е>0 можно указать такую Ь-окрестность точки а, что для всех значений аргумента х, отличных от а и принадлежащих указанной б-окрестности точки а, число Ь приближает значение функции 1(х) с точностью е (рис. 3.9). 3 а меч ание 5. Отметим, что функция 1(х) может иметь в точке а только один предел. В самом деле, для определения предела функции по Гейне это вытекает из единствевности предела последовательности (1(х„)), а для определения предела функции $4.

Предел функции по Коши это вытекает из устанавливаемой ниже эквивалентности этого предела пределу функции по Гейне. Докажем теперь следу1ощую важную теорему. Теорема 3.19. Определения 1 и 1* предела функции по Гейне и по Коши являются эквивалентными. Дока з а тел ь ство. 1) Пусть сначала число Ь является пределом функции у=1(х) в точке а по Коши. Докажем, что это же число Ь является пределом функции у=1(х) в точке а и по Гейне. Пусть (х,) — любая сходящаяся к а после- у=Гав) довательность значений аргумента, все элементы которой от- ь в личны от а. Требуется ь доказать, что соответ- ь +.

Характеристики

Список файлов книги