ilin1 (947407), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Зто и означает, что х„>)та при п=2, 3, .... Докажем, наконегт, что последователы1ость (х ), если ее рассматривать с номера в=2, является невозрастающей. Из рекуррентной формулы (3.38) вытекает, что — '.".' =+("+ х = — (х+ — ). Это равенство представляет собой уравнение для определения предела х. Единственный положительный корень этого уравнения есть х = 1/ а .

Итак, мы окончательно доказали, что последовательность (х„), определяемая рекуррентной формулой (3.38) при любом выборе х~)0, сходится к пределу р' а .- В качестве другого применения теоремы 3.15 рассмотрим вопрос о вычислении предела последовательности (х ), элементы которой имеют внд м х„= —, и! (3.40) где 1 — любое фиксированное вещественное число. Для любого фиксированного 1 найдется номер 1у такой, что ~1(<в+1 при всех и И. Но тогда, поскольку "+' = —, мы получим, что кл и+1 )х .„,~ < ~х„~ при всех и~Лт, т. е., начиная с номера Л', последовательиость (~х„() является убывающей. Так как, кроме того, эта последовательность ограничена снизу (иапример, числом нуль), то Из последнего соотношения, учитывая, что х„))'а при н»2, получим, что ~' .ч,,1 при п>2 или х„+,.<х при н)2.

Итак, прн «» п~ 2 последовательность (х ) является невозрастающей. По теореме 3.15 последовательность (х ) сходится к некоторому пределу х. Остаетсянайтиэтот предел. Учитывая, что х„ъ'~а при и=. 2, мы получим (в силу теоремы 3.13), что х=. ~а>0. Принимая во внимание, что х>0, перейдем к пределу при и — ~-ее в рекуррентном соотношении (3.38).

Мы получим в пределе прн и — ~-са из (3.38) следующее равенство: 90 Гл. 3. Теория пределов г х„= т' а+1 а+Уа+... +~а (3.41) при условии, что а)О и общее число извлекаемых корней равно и. Указанную последовательность (х„) можно задать рекуррентным соотношением х,+, = )Га + х„(и = 1, 2, ...) (3.42) при условии, что х,= ~а. (3.43) .Для доказательства сходимости рассматриваемой последовательности достаточно (в силу теоремы 3.15) доказать, что она возрастает и ограничена. Сначала докажем возрастание последовательности (3.41), т.

е. докажем, что для любого номера хл<х +!. (3.44) Доказательство этого неравенства проведем по индукции Достаточно доказать два утверждения: 1) неравенство (3.44) справедливо для номера и=1, т. е. справедливо неравенство х!~хя! (3.45) 2) нз справедливости неравенства (3.44) для данного номера и по теореме 3.15 она сходится к некоторому пределу х. Для нахождения х запишем соотношение (3.40) для номера и+1: ~+ !" ! 1! х„+, = (и+ 1)! и1 и+! и+! Таким образом, (х„+,) = — (х„(, и, перейдя в последнем равени+! стве к пределу при и-л-ео, мы получим соотношение 1х( =)х) 1пп ~ =О. л о и+1 Итак, последовательность ~х„(, а вместе с ней и последовательность (3.40), сходится к пределу х=О. В обоих рассмотренных примерах мы применили часто употребляемый прием: сначала с помощью теоремы 3.15 доказали существование предела последовательности, а затем нашли этот предел, устремив номер и к бесконечности в рекурреитном соотношении, выражающем (и+1)-й элемент последовательности через ее и-й элемент.

В качестве третьего примера изучим вопрос о сходимости последовательности (х„), элемент х„которой имеет вид й 2. Мопотопвне последовательности вытекает справедливость этого неравенства и для номера и+1, т. е. вытекает справедливость неравенства хп+г (Хп+г. (3.46) Справедливость неравенства (3.45) сразу вытекает из равенства (3.43) н нз соотношения х, = $ а + !т'а )Уа . Докажем, что нз справедлйвости неравенства (3.44) вытекаех справедливость неравенства (3.46). Из неравенства (3.44) и рекуррентной формулы (3.42) вытекает, что х >т = ')т"а + х„( )/а + х„+,. (3.47) С другой стороны, записывая рекуррентное соотношение (3.42) для номера и+1, мы получим равенство х„.ьг = н' а + х„.ьт, (3.48) Из сопоставления равенства (3.48) с неравенством (3.47) и вытекает неравенство (3.46).

Тем самым индукция завершена и возрастание последовательности (3.41) доказано. Докажем теперь, что эта последовательность ограничена сверху. Снова пользуясь методом математической индукции, мы докажем, что для всех номеров и х (М, (3.49) где М вЂ” наибольшее из двух чисел а и 2. Сначала проверим, что неравенство (3.49) справедливо для номера и=1. Пользуясь равенством (3.43) и рассматривая отдельво случаи 0(а~2 и а>2, мы получим хт =)Га <(/2 (2 при 0(а~<2, (3.50) при а)2. хт =)/а ( а Из (3.50) вытекает, что хг (М, где М='шах(а, 2).

Пусть теперь неравенство (3.49) справедливо для данного номера и. Пользуясь рекуррентным соотношением (3.42) и рассматривая отдельно случаи 0<а(2 н а>2, мы получим, что х +, — — )/а -(- х„( У2 + 2 = 2 при О ( а ( 2, (3.51) х +, —— 1 а + х„( 'г' а + а = )т'2а ( а при а ) 2.

Из (3.5!) вытекает справедливость неравенства х +г~М, где М=тах(а, 2). Таким образом, индукция завершена, и ограниченность последовательности (3.41) доказана. Гл. 3. Теория пределов По теореме 3.15 последовательность (3.41) сходится к некоторому пределу х. Остается найти этот предел. Из соотношения (3.41) очевидно, что все элементы рассматриваемой последовательности неотрицательны. Следовательно, в силу теоремы 3.13 и искомый предел х этой последовательности не- отрицателен. Возводя в квадрат рекуррентное соотношение (3.42), мы получим равенство (3.52) Так как последовательность (х„) сходится к пределу х, то, переходя в равенстве (3.52) к пределу при а-~-оо и пользуясь теоремой о пределе суммы и произведения двух сходящихся последовательностей, мы получим следующее соотношение для определенна искомого предела х: х'=а+х илн, что то же самое, х' †х †.

(3 53)' Соотношение (3.53) представляет собой квадратное уравнение для определения искомого предела х. Это уравнение имеет два корня: х= '+Р"+ >Онх-= '-"'+~ (О Так как искомый предел, как уже указано выше, является неотрицательным числом, то мы окончательно получим, что он сов. падает с положительным корнем уравнения (3.53), т. е. равен 1+ У1+4п 2 $ 3.

ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1. Предельные точки, верхний и нижний пределы последовательности. Рассмотрим некоторую последовательность хь хь ..., х„, . и произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел йь яя, ..., й„, .... Выберем из последовательности (х„) элементы с номерами йь /ге, ..., Й,...

и расположим их в порядке возрастания указанных номеров, Мы получим при этом новую последовательность . хвлхя„...,х»„, ..., которую принято называть подпоследовательностью исходной последовательности (х„). В частности, и сама последовательность (х ) может рассмат» риваться как подпоследовательность с номерами й„=п. 9 3. Произвольные паследавательнасти 93 , Заметим сразу же, что всегда я ~ и, ибо любая подпоследовательиость, не совпадающая со всей последовательностью, получается путем некоторого прореження элементов последовательности. Справедливы два тривиальных утверждения: 1'.

Если последовательность (х„) сходится к пределу а, то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же самому пределу а. 2'. Если все подпоследовательности некоторой последовательв ности (х„) сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу а (к этому же пределу а сходится и вся последовательность). Докажем сначала утверждение 1'. Фиксируем произвольное положительное число в и, пользуясь сходимостью последовательности (х„) к пределу а, выберем по этому з номер Л' такой, что !х„— а~(в при всех п)М. Пусть (хь ) — произвольная подпоследовательность последовательности а '(х„).

Так как ян'.ы.тУ, то для всех номеров и.- Л! элементы подпоследовательности (хь„) удовлетворяют неравенству 1хь — а ) с. е, а это и означает, что подпоследовательпость (хь„) сходится к пределу а. Для доказательства утверждения 2' достаточно учесть, что так как сама последовательность (х„) (как частный случай подпоследовательности) сходится к некоторому пределу а, то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу а (в силу утверждения 1'). В полной аналогии с утверждением 1' доказывается, что любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности представляет собой также бесконечно большую последовательность.

Введем фундаментальное понятие предельной точки последовательности. Определение 1. Точка х бесконечной прямой ( — аа, +аа) называется предельной точкой последовательности (х ), если в любой в-окрестности точки х содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Оп р ед ел ение 2. Точка х бесконечной прямой ( — аа, +со) называется предельной точкой последовательности (х„), если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к пределу х. Убедимся в том, что определения 1 и 2 эквивалентны. 1) Пусть в любой е-окрестности х содержится бесконечно много элементов последовательности (х„).

Характеристики

Список файлов книги