ilin1 (947407), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Последовательность (х ) называется ограниченной сверху (снизу), если существует вещественное число М (вещественное число т) такое, что каждый элемент этой последовательности х, удовлетворяет неравенству х»~М (х >т). Прн этом число М (чнсло т) называется верхней гранью (ннжней гранью) последовательности (х„), а неравенство х„<М (х„~т) называется у ел о в н е м о г р а н н ч е н н о с т н этой последовательности сверху (сннзу).

Отметим, что любая ограниченная сверху последовательность имеет бесконечное множество верхних граней » н что в условии ограниченности последовательности сверху х„ (М в качестве М может браться любая нз верхних граней. Аналогичное замечание относится н к нижним граням ограниченной снизу последовательности. О яре делен не 2. Последовательность (х ) называется ог раничеыноо й с обеих сто р он (или просто ограни ч е иной), если она ограничена и сверху, и снизу, т.

е. если существуют два * В самом деле, если число М вЂ” одна нз верхних граней, то в силу свойства транзитивности знаков )и = и лгобое..ласло М', большее М, является верхней гранью. 70 Гл. 3. Теория пределов веи!ественньсх числа М и т такие, что каждый элемент этой последовательности х удовлетворяет неравенствам т <х„<М. (3.3) При этом числа т и М называются соответственно нижней и верхней гранями последовательности (хь), а неравенства (3.3) называются у с л о в и е м о г р а н и ч е н н о с т и последовательности (хв) .

Подчеркнем, что в условии ограниченности (3.3) могут фигурировать любая нижняя и любая верхняя грани последовательности. Определение ограниченности последовательности требует существования хотя бы одной пары вещественных чисел т и М таких, что для любого элемента последовательности х„справедливы неравенства (З.З). Заметим, что условие ограниченности последовательности можно записать не только в форме удовлетворения неравенствам (З.З), но и в другой эквивалентной форме: последовательность (х„) является ограниченной тогда и только тогда, когда существует положительное вещественное число А такое, что каждый элемент последовательности х„ удовлетворяет неравенству !х !<А.

(3.4) В самом деле, если каждый элемент х„удовлетворяет неравенству (3.4), то, положив т= — А, М=+А, мы получим, что х, удовлетворяет неравенствам (3.3). Если, наоборот, каждый элемент х„удовлетворяет неравенствам (3.3), то, обозначив через А наибольшее из двух чисел !т~ и !М~, мы можем утверждать, что х, удовлетворяет неравенству (3.4). В соответствии с определением 2 ограниченной последовательности и условием ограниченности, взятым в форме (3.4), мы можем определить понятие неограниченной последовательности.

Последовательность (х ) называется неог рани чен ной, если для любого положительного вещественного числа А* найдется хотя бьс один элемент последовательности х„, удовлетворяющий неравенству ! хв ~ ) А ° (3.5) С точки зрения этого определения всякая последовательность, которая ограничена только сверху или только снизу, является неограниченной. Так, например, последовательность 1, 2, !, 4, ..., 1, 2п, ограничена только снизу и является неограниченной; какое бы положи- стельное вещественное число А мы ни взяли, найдется элементзтой последовательности с четным номером, удовлетворяющий нера- и у [з.бь е Сколь бы болылиы ыы ни взяли это число.

ф 1. Последовательность и ее предел Последовательность ~ — ~, очевидно, является ограниченной: ( 1 ~ п каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам (3.3) при любых т(0 и М~1. Введем теперь понятия бесконечно большой н бесконечно малой последовательностей. Определен ие 3. Последовательность (х ) называется беско н е ч но бал ь ш ой, если для любого положительного вещественного числа А* найдется номер )т' такой "е, что при всех и> )т' элементы х„этой последовательности удовлетворяют неравенству (3.5).

Очевидно, что всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, ибо определение бесконечно большой последовательности требует, чтобы для любого А>0 неравенству (3.5) удовлетворяли все элементы последовательности, начиная с некоторого номера Ф, а определение неограниченной последовательности требует, чтобы для любого А>0 неравенству (3.5) удовлетворял хотя бы один элемент последовательности. Вместе с тем не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Так, например, рассмотренная выше последовательность 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2п, ..., будучи неограниченной, не является бесконечно большой, ибо для любого А> 1 неравенство (3.5) не имеет места для элементов х„со сколь угодно большими нечетными номерами п.

Определение 4. Последовательность (а„) *** наэьгвается бес кон е ч н о м а л о й, если для любого положительного вещественного числа е 'еее найдется номер л( такой*"***, что при всех гг~гт' элементы а„этой последовательности удовлетворяют неравенству (а„(<е. (3.6)' Докажем, что последовательность д, г)Я, ..., д", ... является б е сконечно большой при )д)>1 и бесконечно малой нри )у! <1. Пусть сначала )г))>1. Тогда 1д(=1+6, где 6>0. Используя формулу бинома Ньютона, можем записать ~у~я= (1+6)я=1+)тб+ (положительные члены). Отсюда следует неравенство (у(Я>6Ф. (3.7) * Сколь бы большим мы ни ваяли это число. ** Так как этот номер У, вообще говоря, зависит от А, то иногда пишут: УУ=У(А). "' Элементы бесконечно малых последовательностей мы будем стремиться обозначать греческими буквами. СкОль бы малым мы ии ВЭЯли ЗТО число.

*'*" Так как этот номер У, вообще говоря, зависит от е, то иногда пишут: В=У(а). Гл. 3. Теория пределов Фиксируем произвольное положительное число А и выберем по нему номер У такой, чтобы было справедливо неравенство бУ>А. (3.8) Убедимся в том, что по любому А>0 можно выбрать номер У, удовлетворяющий неравенству (3.8). Договоримся обозначать символом [х] целую часть положительного вещественного числа х.

Поскольку неравенство (3.8) эквивалентно неравенству У ) —, А б ' то этому неравенству заведомо будет удовлетворять номер У, выбранный из условия У = ~ — ~ + 1 = ~ 1[+ 1. 1 [ч[ — 11 Заметим теперь, что поскольку ] а[>1, то из свойств произведения вещественных чисел мы получим, что при всех пъУ [у [" ~[у!". (3.9) Сопоставляя неравенства (3.7), (3.8) и (3.9), мы получим, что для любого А>0 найдется номер У = [ ~ + 1 такой, что при А ~ 1ч1-1 всех п>У [а" [= [а[ ">А.

Это н доказывает, что прн [а[>1 последовательность (а") является бесконечно большой. Рассмотрим теперь случай [у[<1. Мы должны доказать, что в этом случае последовательность (д„) является бесконечно малой. 1 Исключая тривиальный случай у=0, положим — =1+6, где 1ч! б>0. Используя, как и выше, бином Ньютона, мы вместо (3.7) получим неравенство — )ЬУ, илн [д[н( —. 1 1 [ч1~ дн Фиксируем произвольное положительное число е и выберем по нему номер У такой, чтобы было справедливо неравенство — (е.

бн (3.8') В силу того, что неравенство (3.8') эквивалентно неравенству 1 У ) —, для выбора указанного номера достаточно положить еб У = ~ — ~~+1= ~ 1 1 Г 1е1 ~ + 1. Далее, поскольку, в силу еб ~ ~ е(1 — [ч1) свойств произведения вещественных чисел, при [у[<1 для всех п>У справедливо неравенство [у[о~ [у]н (3.9') $ 1. Последоввтельиость и ее предел 73 то из сопоставления неравенств (3.7'), (3.8') и (3.9') мы получим, что для любого е>0 найдется номер У = ~ ~ + 1 1ч1 ~ е(1 — 1е1) такой, что при всех п~У справедливо неравенство 1дв~ 1д~л<е Это и доказывает, что при 1д~ < 1 последовательность является бесконечно малой.

3. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. Те о р ем а 3.1. Сумма (а + р ).двух бесконечно малых последовательностей (а„) н (р„) представляет собой бесконечно малую последовательность. Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольное положительное число е. Так как последовательность (а ) является бесконечно малой, то для положительного числа е(2 найдется номер У, такой, что при п~У1 справедливо неравенство ~1о ~<в(2. (3.10) Аналогично, так как последовательность (8,) является бесконечно малой, то для положительного числа е(2 найдется номер Уп такой, что при п~Уе справедливо неравенство ~й,)<е(2. (3.11) Обозначим через У наибольший из двух номеров У1 и Уе.

Тогда при п) У будут справедливы оба неравенства (3.10) и (3.11). Учитывая, что модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей, мы получим, что для всех номеров пъУ ~ ав+ Р4 ~! ав1+ ! Р4. (3.12) Из соотношений (3.12), (3.10) и (3.11) вытекает, что при пъУ справедливо неравенство ~1а +р„~ <е. Это и означает, что последовательность (а +бе) является бесконечно малой. Теорема доказана. Теорема 3.2.

Разность (а„— р„) двух бесконечно малых последовательностей (а„) и (р„) представляет собой бесконечно малую последовательность. Доказательство атой теоремы отличается от доказательства теоремы'3.1 только тем, что вместо неравенства (3.12) следует взять неравенство ~а„— рл~~)а ~+)Д„(. Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность. Гл. 3. Теория пределов Т е о р е м а З.З, Произведение ограниченнои последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность. Доказательство.

Пусть (х„) — ограниченная и (а ) — бесконечно малая последовательности. По определению ограниченной последовательности найдется вещественное число А)О такое, что для всех элементов х, справедливо неравенство ~х„! ~А. Фиксируем произвольное положительное число е. Так как последовательность (а ) является бесконечно малой, то для положительного числа е/А найдется номер й1 такой, что при п»Ж справедливо неравенство (3.13) )а ~ <е/А.

(3.14) Учитывая, что модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел, мы получим с помощью неравенств (3.13) и (3.14), что для всех п»йе 1хл. и, ( = 1хв ~ ~ ав ) <А — = е. А Это и означает, что последовательность (х, ав) является бесконечно малой. Теорема доказана. Теорема 3,4. Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной: Доказательство.

Пусть (а„) — бесконечно малая последовательность. Фиксируем некоторое положительное число е. По определению бесконечно малой последовательности найдется отвечающий этому е номер й1 такой, что ~1а ~<е для всех номеров п»Х Обозначим через А наибольшее из следующих )Ч чисел: е, ~а1 ~, ~1ая~; ..., (ан 1~. Тогда очевидно, что 1а„) ~А для всех номеров и, а это и означает ограниченность последовательности (ал). Теорема доказана.

Характеристики

Список файлов книги