ilin1 (947407), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

В этом случае пишут Л=(1А„, что и означает, что множество А состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному Лсл Заметим, что не следует путать понятие суммы двух множеств с понятием суммы двух вещественных чисел. Например, если мы рассматриваем множества А=(Ц, В=(2), т. е. множества, состоящие всего из одного элемента: в первом случае нз единицы, во втором из числа два, то С=А((В=(1; 2) есть множество, состоящее нз двух элементов — чисел 1 и 2. Ясно, что при этом 1+2=3 не является даже элементом множсства С Пересечением двух множеств А и В 'называется третье множество С, состоящее из элементов, принадлежащих нан множеству А, так и множеству В, т.

е, из элементов, общих для множеств А и В. Пересечение С двух множеств А и В обозначается так: С=АПВ. Аналогично определяется пересечение С произвольного числа множеств А.: С=ПА„, т. е. множество С, состоящее из а элементов, принадлежащих, каждому множеству А„. Р а з н о с т ь и С=А',В двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов А, не принадлежащих В. Заметим, что если рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного множества Рь то разность А'=Е',А называется дополнением множества А или дополнением до Е множества А, Подчеркнем также, что понятие разности двух множеств также не следует путать с понятием разности двух вещественных чисел.

Дополнительные сведения о свойствах операций над множествами н понятие отображения множеств будут даны в п. 4 в конце настоящего параграфа. $7. Элементы теории множеств 3. Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмента [О, 1], Мощность множества. Важным вопросом при изучении множеств является вопрос о том, как сравнивать между собой два множества, имея в виду «количество» элементов, в них содержащихся.' Если мы имеем два множества, каждое из которых содержит конечное число элементов, то элементы в этих множествах мы можем просто каким-нибудь способом занумеровать. При этом может- оказаться, что в первом и втором множествах содержится одина» ковое число элементов.

Назовем такие два множества, содержащие конечное и одинаковое число элементов, э к в и в а л е н т н ым и. Если в одном из рассматриваемых множеств элементов окажется больше, то мы будем говорить, что оно имеет большую. м о щ н о с т ь, чем другое из рассматриваемых множеств. Обратимся теперь к множествам, состоящим из, вообще говоря, бесконечного числа элементов. Примерами таких множеств являются множество рациональных чисел или множество вещественных чисел, лежащих на сегменте [О, 1]. Назовем два множества А и В экви вал ен тн ыми, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, т.

е. каждому элементу ае=А отвечает единственный элемент ЫВ, каждый. элемеят Ь~В сопоставлен некоторому элементу ае-=А и разным элементам множества А отвечают разные элементы множества В. Взаимно однозначное соответствие называют иногда биективным соответствием. В частности, множества, содержащие конечное число элементов, эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов. Эквивалентность множеств А и В обозначается так: А-В. Покажем, например, что множество К=(г) рациональных чисел и множество У=(п) натуральных чисел эквивалентны.

Заметим сначала, что для любого целого ЙэьО два рациональных числа т[п и тй!пй являются одинаковыми (здесь пФО). Поэтому всякое. рациональное число г можно записать в виде г= — (д ) О) Р и дробь считать несократнмой. Число 0 будем считать записанным О одним способом:. 0 = —. 1 Назовем число и= [р~+а высотой рационального числа р/д. Ясно, что рациональных чисел г, имеющих данную высоту, конечное число. Будем нумеровать натуральными числами 1, 2, 3, .... рациональные числа по возрастанию высоты, т. е. сперва занумеруем все рациональные числа высоты й=1.

Такое число только одно: О. Этому рациональному числу припишем индекс 1, т. е. поставим ему в соответствие натуральное число 1. Затем зануме- 1 руем рациональные числа высоты п=2. Таких чисел два: 1 =-— б2 Гл. 2. Вещественные числа — 1 -и 1 = —. Первому из них поставим в соответствие натураль- 1 ное число 2 (т.

е. занумеруем его индексом 2), второму — число 3. После этого занумеруем рациональные числа высоты 3 и т. д. Ясно, что при этом мы установим взаимно однозначное соответст"вие между всеми рациональными числами н всеми натуральными числами, т. е. В й1.

Введем понятие счетного множества. Определение 1. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Согласно этому определению и рассуждениям, проведенным тныше, мы получаем, что множество рациональных чисел является счетным множеством. Докажем следующие два простых утверждения о счетных мно.жествах. У т в е р ж д е н и е 1. Всякое непустое подмножество счетного .пножества является или множеством, состоящим из конечного числа элементов, или множеством с гегнылс Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть А — исходное счетное множество, .т. е. А-Ж вЂ” множеству натуральных чисел. Это означает, что элементы множества А можно занумеровать каким-нибудь способом. 'Расположим элементы множества А в виде последовательности: аь аа, ..., а„.... Пусть  — непустое подмножество множества А.

Рассмотрим последовательно элементы аь аь аа, ... множества А. Если а,в=В, то этот элемент мы обозначим через Ьб если а~иВ, мы переходим к рассмотрению элемента а,. При рассмотрении элемента аа могут представиться две возможности: а) элемент а,ыВ; если при этом было выполнено, что и а1ецВ, то элемент а, .'мы обозначим через Ьа, если же а1ЙВ, то элемент аа обозначается .через Ь|, б) элемент аае=В, тогда переходим к рассмотрению элемента аа и т. д. Ясно, что при этом может случиться, что все элементы множества В будут расположены в виде конечной последовательности: Ьь Ьь,, Ьм (М(ее). В этом случае множество В состоит нз конечного числа элементов. Если этого не случится, то мы выпишем все элементы множества В в виде бесконечной последовательности элементов Ьь Ьа, ..., Ь„, ..., откуда следует, что множество В счетное.

Утверждение доказано. У т в е р ж д е н и е 2. Сумма любой конечной или счетной совокупности счетных множеств есть множество счетное. Дока з а тельство. Рассмотрим, например, случай, когда имеется счетная совокупность счетных множеств. Пусть Аь Аь Аз, ... — совокупность множеств, каждое нз которых счетно. Расположим элементы множеств А,, А,, А,, ... в виде последовательяостеи: й 7.

Элементы теории множеств А, — ]аз! > а„, аз,, Аз =' (азз > азз > ' азз! ° ° ) ° ° 4 ° ° .) х„=О, а„>а„,...а„... Рассмотрим на интервале (0,1) вещественное число х=0, Ь>Ьз ... ... Ь„..., где Ь! — любая цифра, отличная от ан, 0 и 9; Ьз — люба>ь цифра, отличная от азь 0 н 9; и т.

дл Ь, — люГ>ая цифра, отличная от а„„, 0 и 9. Достаточно доказать, что число х не совпадает ни с одним нз чисел х>, хз, ..., х„, .... Число х не содержит после запятой нулей и девяток, т, е. это число не принадлежит классу ра* В записи всех элементов множеств А>, Аз, ..., приведенной выше, стрелки указывают порядок, в котором мы производим нумерацию. Пусть А= Ц А„. Произведем нумерацию элементов а множе«=! ства А=(а) следующим образом а: а>=ась аз=ам, аз=ам, а,=азь аз=ать аз=а>з и т. д.

У некоторых множеств А; и А! могут оказаться общие элементы (при 1Ф1). В этом случае мы их учитываем только один раз, Таким образом, элементы множества А можно занумеровать„ т. е. поставить во взаимно однозначное соответствие с множест- вом натуральных чисел >>>, т. е. А счетно. Утверждение доказано. Возникает вопрос: существуют ли бесконечные несчетные мно- жества, т, е. такие бесконечные множества, которые нельзя поста- вить во взаимно однозначное соответствие с множеством натураль- ных чисел? Ответ содержится в доказываемой ниже теореме. Теорема 2.2, Множество всех точек сегмента (О, 1] несчетно. До к азат ел ьс тв о. Рассмотрим ннтервал (О, 1).

Очевидно„ что если мы докажем, что интервал (О, 1) несчетен, то и сегмент. [О, 1] будет несчетен, так как множество точек сегмента (О, 1] отли- чается от множества точек интервала (0,1) всего двумя точками: 0 н 1. Итак, докажем, что множество точек интервала (О, 1) не- счетно. Допустим противное, т. е. предположим, что все вещест- венные числа интервала (О, 1) можно занумеровать.

Записывая все числа интервала (О, 1) в виде бесконечных. десятичных дробей, получим, что х>=0, а>>а>з...а>, ха=О, ашазз - а Гл. 2. Вещественные чнсла циональных чисел, представимых двумя способами в виде бесконечных десятичных дробей. В таком случае число х допускает .единственное представление в виде бесконечной десятичной дроби и оно отлично от всех чисел хь хь ..., х„, ..., ибо совпадение чис.ла х с каким-либо числом х„ означало бы совпадение Ь„ и а,.

Характеристики

Список файлов книги