ilin1 (947407), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Последовательность н ее предел Следующие четыре теоремы показывают, что четыре арифме- тические операции над элементами сходящихся последовательно- стей приводят к аналогичным операциям над их пределами. Т е о р е м а 3.9. Сумма сходящихся последовательностей (х4 и (у„) представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей (х„) и (у4. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последовательности (х4 и (у„) сходятся к пределам а и Ь соответственно. Тогда в силу специального представления элементов сходящейся последователь- ности (3.16) будут справедливы соотношения х„=а+а, у =Ь+()„, (3,17) в которых аа и р представляют собой элементы некоторых беско- нечно малых последовательностей (а4 и (р4.

Из соотношений (3.17) вытекает, что (х„+ у„) — (а+ Ь) = а, + (1 . (3.18) Так как сумма (а,+р4 двух бесконечно малых последовательно- стей (а4 и (р4 представляет собой бесконечно малую последова- тельность (теорема 3.1), то из соотношения (3.18) вытекает в силу определения 1, что последовательность (х,+у4 сходится н веще- ственное число а+Ь является ее пределом. Теорема доказана. Т е о р е м а 3.10. Разность сходящихся последовательностей (х4 и (у4 представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей (х4 и (у„). Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.9, только вместо соотношения (3.18) мы получим соот. ношение (х„— у4 — (а — Ь) =а — р .

Теорем а 3.11. Произведение сходящихся последовательно- стей (х ) и (у,) представляет собой сходящуюся последователь- ность, предел которой равен произведению пределов последовательностей (х4 и (у4 Доказательство. Предположим, что последовательности (х4 и (у4 сходятся к пределам а и Ь соответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы специальные пРедставления (3.17), перемножая которые, мы получим х, у„=а Ь+а р„+Ь.аа+а .р„ нлн, что то же самое, х„у„— а Ь=а(1„+Ьа„+ао.(1 .

(3.19) Для доказательства теоремы в силу определения 1 остается убедиться н том, что в правой части (3.!9) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу же вытекает из теоремы Гл. 3. Теория пределов 1у„— Ь~ < —, !Ь1 (3.20) Итак, для всех номеров и, начиная с номера Ф, выполняется неравенство (3.20). Убедимся в том, что из неравенства (3.20) вытекает следующее неравенство: 2 1ь1 (3.21) которое тем самым оказывается.

справедливым также для всех номеров и, начиная с номера )ч'. В самом деле, так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы модулей этих чисел, то, исходя из тождества Ь= — (Ь вЂ” у )+у и используя неравенство (3.20), мы получим 1 Ь 1 < 1 Ь у ! + ! у ! ( ! + ( у ! Из последнего неравенства сразу же вытекает неравенство (3.21), справедливость которого, начиная с номера У, установлена. Неравенство (3.21) позволяет утверждать, что при п~)ч' элементы у, не обращаются в нуль и, начиная с номера Л!, можно г 1 рассматривать частное ~ — 1. Уп ! Из (3.21), в свою очередь, вытекает, что для всех п)У справедливо неравенство 3.3 (согласно этой теореме последовательности (а 0„) и (Ь ав) являются бесконечно малыми), из следствия из теорем 3.3 н 3.4 (согласно этому следствию последовательность (а,.й„) является бесконечно малой) и из теоремы 3.1 (согласно этой теореме сумма трех бесконечно малых последовательностей (а р„), (Ь а ) н (а,.й„) является бесконечно малой последовательностью).

Теорема доказана. Теореме о частном двух сходящихся последовательностей пред- пошлем следующую лемму. Л емма 1. Если последовательность (у ) сходится к отличному от нуля пределу Ь, то, начиная с некоторого номера, определено частное ~ — ~ последовательностей (1) и (у„), которое пред! ! У» ставляет собой ограниченную последовательность. Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая, что Ь~=О, обозначим через е !Ь| положительное число е = —, Для этого е найдется номер 1ч' 2 такой, что при п>Л' справедливо, неравенство ~у — Ь~ <е или, что то же самое, ф 1.

Последовательность н ее предел хл а хл Ь вЂ” ула ь у.ь (3.22)~ Так как для элементов х„и у„справедливы специальные представления (3.17), то х„Ь вЂ” у„а= (а+а„) .Ь вЂ” (Ь+ р„) .а =алЬ вЂ” ()л.а. (3 23) Подставляя (3.23) в (3.22), получим хла11а — — = — ~" — ') (3.24) Ул Ь Ул Ь Остается доказать, что в правой части (3.24) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из теоремы 3.3 и из того, что последовательность ( — ~ (в силу 11 Ул леммы 1) является ограниченной, а последовательность ( — т ° а ал — — ()„~ (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью.

Теорема доказана. Убедимся теперь в том, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, приводят к аналогичным неравенствам для пределов этих последовательностей. Т е о р е м а 3.13. Если все элементы сходящейся последовательности (х„), по крайней мере начиная с некоторого нонера, удовлетворяют неравенству х„лЬ[х ~Ь), то и предел х этой последовательности удовлетворяет неравенству х~Ь (хк:Ь).

Это последнее неравенство и доказывает, что последователь- 1'1 ность 1 — 1, если ее рассматривать, начиная с номера Л', явля- 1 Ул1 ется ограниченной. Лемма доказана. Т е о р е м а 3.12. Частное двух сходящихся последовательностей (х ) и (у ), предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пред* лов последовательностей (х ) и (у„). Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последовательности (х„) и (у„) сходятся к пределам а и Ь~О соответственно. В силу леммы 1 найдется номер л1 такой, что при пъМ элементы у„не 1 1 обращаются в' нуль, определена последовательность к — 1 и эта Ул! последовательность является ограниченной.

Начиная с указанного номера Ф,мы и будем рассматривать частное 1 — л 1. В силу опреУл деления 1 достаточно доказать, что последовательность. ( хл а — — — является бесконечно малой. Будем исходить из тожу, ь дества Гл. 3. Теория пределов Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что все элементы х„по крайней мере начиная с некоторого номера Л/*, удовлетворяют неравенству хл» Ь. Докажем, что и предел х этой последовательности удовлетворяет неравенству х» Ь.

Допустим, что это не так, т. е. справедливо неравенство х<Ь. Тогда по определению сходящейся последовательности для положительного числа в=Ь вЂ” х найдется такой номер Ф (этот номер мы возьмем еще и таким, чтобы он превосходил Ул), что при и» 1е' будет справедливо неравенство 1х — х! <е или 1х„— х) <Ь вЂ” х. Последнее неравенство эквивалентно неравенствам — (Ь вЂ” х) < <х„— х<Ь вЂ” х, правое из которых означает, что х <Ь при всех и» Л1, а это противоречит условию теоремы.

Полученное противоречие означает, что наше предположение о том, что х(Ь, неверно, т. е. х»Ь. Случай х„<Ь рассматривается аналогично. Теорема доказана. 3 а м е ч а н н е 5. Если всг элементы сходящейся последовательности (х,) удовлетворяют строгому неравенству х >Ь, то отсюда, вообще говоря, не вытекает, что и предел х этой последовательности удовлетворяет строгому неравенству х>Ь.

(Можно лишь утверждать, что х»Ь.) 1 Например, если х„= —, то для всех номеров х„>0, однако и 1 шредел 1пп — =- х = 0 не удовлетворяет неравенству х>0. л С ледств не 1. Если всг элементьь двух сходящихся последовательностей (х„) и (у„), по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам х <у„, то и пргдглье этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенству 1пп х„<11ш ул. (3.25) л Р лаа В самом деле, начиная с указанного номера, все элементы последовательности (у — х„) неотрицательны. В силу теоремы 3.13 и предел указанной последовательности !1ш (у„ — х„) неотрицател Ф лен. В силу теоремы 3.10 !пп (ул — х„) = 11гп у,— 1!т хл и мы пол а л- л а .лучим, что 1пп ул — 1пп х„> О.

Из последнего неравенства вытелаа л а кает (3.25). Сл едет в ие 2. Если всг элементы сходящейся последова;тельности (х„) находятся на сегменте (а, Ь), то и предел х этой последовательности лежит на сегменте (а, Ь). В самом деле, так как а~х„<Ь для всех номеров и, то (в силу теоремы 3.13) а~х<Ь. 1лоследнюю теорему, к доказательству которой мы сейчас переходим, можно назвать п р ин цип ом двустороннего о гр а~и и ч е н и я. 5 2. Монотонные носледовательностн Теорем а 3.14. Пусть (х,) и (у„) — две сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, всв элементы третьей последовательности (гв), по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам Хн <гв <ув.

(3.26) Тогда последовательность (г„) сходится к тому же самому пределу а. Дока з а тель ство. Предположим, что неравенства (3.2Ц справедливы, начиная с номера У*. Тогда, начиная с того же самого номера тт'*, справедливы и неравенства х — а <г„— а <у„— а. (3.27). Из неравенств (3.27) вытекает, что для каждого номера и, превосходящего Ж", ]г„— а] <щах(]хв — а], ]у — а]). (3.28) (Эта запись означает, что ]г„— а] не превосходит наибольшего иж двух чисел ]х„— а] и ]у„— а].) Фиксируем произвольное положительное число е.

Тогда в силу. сходимости последовательностей (х„) и (у,) к пределу а найдутсв номера У, и Уа такие, что ! ]х„— а]< е при п)Жы (3.29) ] у„— а] <, е при и )~ тт'а. Если мы теперь обозначим через Тт" наибольший из трех номеров )т", Ж, и Жа, то при п)М будут справедливы 'оба неравенства в (3.29) н мы получим в силу (3.28), что при и) Л' справедливо неравенство ]г„— а] <н. Зто и доказывает сходимость последовательности (г ) к пределу а. Теорема доказана. 5 2.

МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1. Понятие монотонной последовательности. Определение 1. Последовательность (х„) называется н е у б ы— вающей (невозрастающей], если каждый элемент этой. последовательности, начиная со второго, не меньше 1не больше] предыдущего ее элемента, т. е. если для всех номеров п (п=1,2, ...) справедливо неравенство Хе<Хаю (Хв)~го+1]. (3,3О),. О п р е д е л е н и е 2. Последовательность (х„) называется лтонотонной, если она является либо неубывающей, либо невоэрастающей.

Характеристики

Список файлов книги