ilin1 (947407), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Гл. 3. Теория пределов Если элементы неубывающей последовательности для всех номеров и удовлетворяют строгому неравенству х„<х„+ь то эту последовательность называют в о з р а с т а ю щ е й. Аналогично, если элементы невозрастающей последовательности для всех номеров и удовлетворяют строгому неравенству х >х +ь то эту последовательность называют у б ы в а ю ще й. Заметим, что всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны (лнбо сверху, либо снизу).

В самом деле, всякая неубывающая последовательность ограничена снизу (в качестве нижней грани можно взять величину ее первого элемента), а всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху (в качестве верхней грани также можно взять величину ее первого элемента). Отсюда следует, что неубывающая последовательность будет ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной, тогда и только тогда, когда опа ограничена сверху, а невозрастающая последовательность будет ограниченной тогда и только тогда, когда она ограничена снизу. Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.

1. Последовательность 1, 1, 2, 2, ... является неубывающей. Она ограничена снизу величиной своего первого элемента, а сверху не ограничена. 2 3 4 и+! 2. Последовательность —, —, —, ..., —, ... является 1 2 3 убывающей. Она ограничена с обеих сторон: сверху величиной своего первого элемента 2, а снизу, например, числом 1. 2. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Справедливо следующее фундаментальное утверждение. Основная теорем а 3.15, Если неубывающая (невозрастающая) последовательность (х„) ограничена сверху (снизу), то она сходится.

Д о к а з а т е л ь с т во. Рассмотрим случай неубывающей и ограниченной сверху последовательности (х„). Множество всех элементов такой последовательности ограничено сверху, а потому по основной теореме2.1 гл.2 у этого множества существуетточная верхняя грань, которую мы обозначим символом х, Докажем, что это число х и является пределом последовательности (х„). Во-первых, заметим, что по определению верхней грани любой элемент х» последовательности (х,) удовлетворяет неравенству (3.31) х ~х. Далее фиксируем произвольное положительное число е и заметим, что по определению точной верхней грани найдется хотя бы один элемент последовательности хн, удовлетворяющий неравенству (3.32) х — е <хи.

83 $ 2. Моиотоииые последоиательиости Учтем теперь, что последовательность (х„) является неубывающей и вследствие этого хи <я„для всех номеров и, удовлетворяющих неравенству и: Ф. Сопоставляя неравенство хнах„с неравенством (3.32), мы получим, что для всех и'ъИ (3.33) х — е<х„. Объединяя неравенства (3.31) и (3.33), мы получим, что для всех и) Й справедливы неравенства х — е<х ~х. Следовательно, для всех п~й! справедливо неравенство ~ х„ — х~ <е, которое и доказывает, что последовательность (х ) сходится к пределу х=зпр(х„). Если последовательность (х ) является невозрастающей и ограничена снизу, то совершенно аналогично доказывается, что она сходится к пределу х=1п1(х ). Теорема доказана.

3 а м е ч а и н е 1. Теорему 3.15 можно сформулировать в другом виде. Во-первых, заметим, что в силу сказанного в и. 1 последовательность (х„), удовлетворяющая условию теоремы 3.15, является ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной. Поэтому теорему 3.!5 можно переформулировать так: для того чтобы монотонная последовательность (х„) сходилась, достаточно, чтобы она была ограничена. Легко убедиться в том, что эта формулировка может быть заменена более «сильнойы для того чтобы монотонная последовательность (х ) сходилась, необходимо и достаточно, мтобы она была ограничена (необходимость вытекает из теоремы 3.8).

3 а м е ч а н и е 2. Конечно, не всякая сходящаяся последовательность является монотонной. Например, заведомо сходящаяся 1 1 1 1 1 1 к нулю последовательность — — — , — , — — , ..., — , — — , ... 2 2 3 3 и ' и не является монотонной, так как знаки ее элементов чередуются. 3 ам еч а ние 3. Из приведенного выше доказательства теоремы 3.15 вытекает, что все элементы неубывающей, ограниченной сверху последовательности (х„) не больше ее предела х (х„~х).

Аналогично легко убедиться в том, что все элементы невозрасгающей, ограниченной снизу последовательности не меньше ее предела х. Извлечем важное следствие из теоремы 3.15. Договоримся называть бесконечную последовательность сегментов (аь Ьт), (аа, Ьа),..., '1а, Ь ),...стягивающейся системой сегментов, если выполнены два требования: 1) каждый следующий сегмент содержится в предыдущем, т. е. а„<а +ь Ь ы<Ь для любого п=1, 2,...; 2) длина и-го сегмента (а„, Ь ), т. е. разность ܄— а„, стремится к нулю при п-+«о.

Следствие из теоремы 3.15. У всякой стягивающейся системы сегментов ([а„, Ь )) существует и притом единственная томка с, принадлежащая всем сегментам этой системы. 86 Гл. 3. Теория пределов Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что точка с, принадлежащая всем сегментам, может быть только одна. В самом деле, если бы нашлась еще одна точка г), отличная от с и принадлежащая всем сегментам, то, предположив ради определенности, что д>с, мы получили бы, что сегмент [с, г(1 принадлежит всем сегментам [а„, Ь„1.

Но тогда для любого номера а выполнялись бы неравенства ܄— а„~д — с>0, что невозможно в силу того, что Ьа — па-е-0 прн и- Докажем теперь, что существует точка с, принадлежащая всем сегментам. Так как система сегментов является стягивающейся, то последовательность левых концов (а ) не убывает, а последовательность правых концов (Ь 1 не возрастает. Поскольку обе эти последовательности ограничены (все их элементы находятся на сегменте [а„Ь~~), то обе они сходятся (в силу теоремы 3.15). Из того, что разность Ь вЂ” а является бесконечно малой, вытекает, что этн две последовательности (а„) и (Ь„) сходятся к общему пределу, который мы обозначим через с. В силу замечания 3 для любого номера л справедливы неравенства ва <с <Ь„, т. е. с принадлежит всем сегментам [а„, Ь 1.

Следствие доказано. 3. Число е. Применим теорему 3.15 для доказательства сходи- мости последовательности (х„), элемент х„ которой определяется равенством х„= (1+ — ', )". В силу теоремы 3.15 достаточно доказать, что эта последовательность 1) является возрастающей; 2) ограничена сверху. Применяя формулу бинома Ньютона, получим для х„следующее выражение: 1 а(а — 1) 1 а(а — 1) (а — 2) а 2~ ае 31 аз + а(а — 1)(а — 2) ...

(а — (а — 1)1 1 а1 аи Это выражение перепишем в следующем виде: х„= 2+ 1 (1 — 1 ) + 1 (1 — — ) (1 — 2 ) + ... "— '(' — ')(' — ') ('- ') Для следующего элемента последовательности (х„) в полной аналогии с (3.34) получится следующее выражение: х„+, =-2+ — (1 — ) + — (1 — — ) (1 — — ) + Гл.

3. Теория пределов х„.ьт = — ( х„+ — ) (и = 1, 2, ... ), 1 г' а л а ( а (3.38у где в качестве первого приближения х, берется любое положительное число. Прежде всего докажем, что такая последовательность (х ) сходится, для чего в силу теоремы 3.15 достаточно доказать, что она ограничена снизу и, начиная со нторого номера, является не- возрастающей. Начнем с доказательства ограниченности снизу. По условию хг>0. Но тогда из рекуррентной формулы (3.38), взятой при я=1, вытекает, что ха>0, далее из той же формулы (3.38), взятой при п=2, вытекает, что ха>0, .... Продолжая эти рассуждения далее, мы последовательно докажем, что все х„>0. Итак, рассматриваемая последовательность ограничена снизу. Докажем теперь, что при п»2 все элементы х„удовлетворяют неравенству х„»)'и.

Переписав формулу (3.38) в виде эта /' ха )Га '( т йга (3.39) воспользуемся тривиальным неравенством 1 + — > 2, справед- 1 ливым для всех 1>0 **. ь Рекуррентная формула (от латинского геспггепа — возвращающийся) формула, выражающая (л+1)-й элемент последовательности через значения ее первых в элементов. "' Это неравенство для всех 1»0 эквивалентно неравенству и+1»21, вытекающему иа того, что (1 — 1)'»О, Убедимся в том, что число е удовлетворяет неравенствам 2<к<3. Для этого (в силу следствия 2 из теоремы 3.13) достаточно доказать, что каждый элемент х„последовательности (х„у удовлетворяет неравенствам 2~к(3. Неравенство х ~3 вытекает из (3.37), а неравенство 2~х вытекает из (3.34), если отбросить в (3.34) все члены, кроме первого. В дальнейшем выяснится, что число е играет важную роль в математике, и будет указан способ вычисления этого числа с любой степенью точности.

4. Примеры сходящихся монотонных последовательностей. Начнем с рассмотрения последовательности, которая широко используется в современной вычислительной математике для приближенного нахождения корня квадратного из положительного вещественного числа а. Эта последовательность определяется следующей рекуррентной формулой ": 89 4 2. Монотонные последовательности Взяв в этом неравенстве 1 = ~ " ) О, мы получим, что — "+ = 'Б- Ф + — > 2, н поэтому соотношение (3.39) дает х„+~~~а при а=1, нка ке 2, ....

Характеристики

Список файлов книги