ilin1 (947407), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Таким образом, интервал (О, 1), а вместе с тем н сегмент [О, Ц несчетен. Теорема доказана. О п р е д е л е н и е 2. Множество, эквивалентное множеству то.чек сегмента [О, Ц, называется множеством м о щ и о с т и к о н г им у у лг а. Из доказанной теоремы 2.2 следует, что множества мощности континуума н счетные множества ие являются эквивалентными между собой множествами. В частности, нз теоремы 2.2 следует, что существуют иррациональные числа, так как уже на сегменте ,[О, Ц не все числа рациональны; в противном случае их можно было бы перенумеровать.

Из теоремы 2.2 также слсдуст, что иррациональных чисел несчетное множество, так как если бы их было счетное множество нли конечное число, то по утверждению 2 и всех чисел — рациональных и иррациональных — было бы счетное множество. Расс готрим два произвольных множества А и В. Если эти множества являются эквивалентными, го мы будем говорить, что они имеют одинаковую мои( ность или являются р а в и о м о щ н и м и. Для обозначения равномошности множеств А и В используют следующую символику: т(А) =т(В) '.

Если множество А эквивалентно некоторому подмножеству множества В и при этом множество А не содержит подмножест. ва, эквивалентного множеству В, то будем говорить, что мощностьь множества А меньше мощности множества В. Для обозначения того, что мощность множества А меньше мощности В, используют следующую символику: т(А) <т(В) .

Например, из данного выше определения множества мощности континуума, нз теоремы 2.2 и из утверждения 1 о счетных множествах следует, что мощность счетного множества меньше мощности множества сегмента [О, Ц, т. е. мощности континуума. Итак, нами введено сравнение мощностей двух множеств. Логически возможны еще два случая: * Величину гл(А), представлящщуго собой общую характеристику класса всех эквивалентных множеству А множеств, принято называть ка р дня а л ьн ы м ч н с л о м.

В частности, если А состоит нз конечного числа элементов, то т(А) равно количеству элементов этого множества. $ 7. Элементы теории множеств а) Множество А содержит подмножество, эквивалентное множеству В, а множество В содержит подмножество, эквивалентное А. б) Множества А и В не эквивалентны, и нн одно из них не содержит подмножества, эквивалентного другому множеству. Нетрудно доказать, что в случае а) множества А и В будут эквивалентны. Случай же б) на самом деле невозможен. Заметим еще, что трудной проблемой оказался вопрос о существовании множества промежуточной мошности между мощностью счетных множеств и мощностью континуума.

Оказалось, что утверждение как о существовании, так и об отсутствии множества промежуточной мощности не противоречит аксиомам теории множеств и не может быть выведено из них. Тем самым это утверждение является одной из аксиом аксиоматической теории множеств. В заключение докажем, что сегмент [О, Ц и интервал (О, 1)— эквивалентные нли, что то же, равномощные множества. Для этого установим взаимно однозначное соответствие между их элементами. Выберем на сегменте [О, Ц и интервале (О, 1) по- 1 1 1 следовательность точек 2 3 н Точке 0 сегмента [О, Ц поставим в соответствие точку 1 — интервала (О, 1), точке 1 сегмента [О, Ц поставим в соот- 2 ! 1 ветствие точку — интервала (О, 1), далее точке — сегмента 3 2 1 [О, Ц поставим в соответствие точку — интервала (О, 1) 4 и т. д., точке — сегмента [О, Ц поставим в соответствие точку 1 — интервала (О, 1), п)2.

Всем остальным точкам сегмента 1 н+ 2 (т. е. точкам, отличным от О,1 и не принадлежащим-выбранной последовательности) ставятся в соответствие те же точки интервала, т. е. точки, имеющие те же абсциссы. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между сегментом [О, Ц и интервалом (О, 1) установлено. 4.

Свойства операций над множествами. Отображение множеств. Отметим ряд свойств, введенных выше операций над множествами. Отношение в к л ю ч е н н я двух множеств обладает следуюшимн свойствами: 1') АсА; 2') если Ас:.В и Вс:.А, то А=В; 3') если ВсА и АсС, то ВсС; 4') Ис:А для любого множества А. 3 зак. 72 бб Гл. 2. Вещественные числа Операции суммы (объединения) и пересечения мно- жеств обладают следующими, непосредственно проверяемыми свойствами: б') (()Ач) ()В =() (А,ЯВ) (дистрибутивность пересечения); а а 6') (П А ) 0В = () (А„()В) (дистрибутивность объединения); о а 7') Ас:В эквивалентно условиям А()В=В или А()В=А. Напомним, что для подмножеств (А) некоторого фиксирован- ного множества Е мы ввели операцию дополнения А'= =Е,,А.

Очевидно эта операция удовлетворяет следующим свой- ствам: 8') АЦА'=Е, АДА'=Я; 9') И'=Е, Е'=Я; 10') (()А )'=ДА ', 11') (()А )'=БА . Последние два свойства суть правила де Моргана*. Симметрической разностью двух множеств А и В назовем множество С(А()В) 1А()В). Симметрическая разность множеств А и В обозначается символом АЬВ. Легко видеть, что А "~В=(А'ч,В)0(В~,А). Важнейшим понятием в анализе является понятие ото б р а- ж ения одного множества в другое. Пусть Х и У вЂ” какие-то множества. Если в силу некоторого закона 1 каждому элементу хе=Х соответствует элемент у=)'(х)е:-У, то говорят, что задано отображение )' множества Х в множество У.

Записывают этот факт в виде ~: Х -э. У или Х -т- 1'. В этом случае элемент у =7(х) называют о б р а з о м элемента х' или значением 7 на элем е н те х, а элемент х — и роо б р а з о м или одним из прообразов элемента у. Часто элемент хенХ называют переменным или аргумента м отображения 1. О б р а з о м множества Ас:Х при отображении 7: Х- У называют множество всех таких элементов из У, которые являются образами элементов хенА. Это множество обозначается символом 1(А). Если Вс:У, то прообразом (или полным прообразом) множества В называют совокупность всех элементов хенХ таких, что 1(х)енВ. Прообраз множества В обозначается символом 1 — '(В).

Отображение ):Х- У иногда удобно называть ф у н кци е й с областью определения Х и областью (или множеством) значений 1(Х) ~У. В некоторых разделах математики в зависимости от природы множеств Х и У и свойств 1 отображение 1 называется оператором, функционалом и т. д. " А. де Морган — шотландский математик (1806 — 1871). З 7.

Элементы теории множеств Про отображение ):Х- У говорят, что оно сюръективно (или является отображением Х на У), если ~(Х) =У; инъект и в н о (или является в л о ж е н и е м), если для любых элементов хь хт множества Х нз условия )(хД =)(хт) вытекает, что х~ =хт, т. е. различные элементы имеют различные образы; б и е к т и в н о (или в з а и м н о о д н о з н а ч н о ), если оно сюръективно и инъективно одновременно.

Если отображение ): Х- У биективно, то, как мы отмечали в и. 3, множества Х и У называются эквивалентнымн (или равномощными). В случае биекции 7:Х-+У можно определить обратное отображение 7 ': У-т.Х по правилу: если при отображении 7 элементу х~Х соответствует элемент уеиУ, то 7-'(у) полагается равным элементу х. Для любого уенУ в силу сюръективности отображения 7 элемент )-'(у) всегда существует, а ввиду инъективности отображения 7' этот элемент )-'(у) единственен. Глава 3 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ В гл. 1 уже указывалось, что одной из основных операций математического анализа является операция предельного перехода и что эта операция встречается в курсе анализа в различных формах.

В настоящей главе изучаются простейшие формы операции предельного перехода. Мы начинаем с изучения самой простейшей формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела так называемой числовой последовательности. Понятие предела числовой последовательности облегчит нам введение и другой весьма важной формы операции предельного перехода, основанной на понятии предельного значения (или, короче, предела) функции. В конце главы дается общее определение предела функции по базе.

$ Ь ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ЕЕ ПРЕДЕЛ 1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями. Понятие числовой последовательности известно из курса средней школы. Примерами числовых последовательностей могут служить: 1) последовательность всех элементов арифметической или геометрической прогрессии; 2) последовательность периметров правильных п-угольников, вписанных в данную окружность; 3) последовательность рациональных чисел х1=0,3, хе=0,33, ха=0,333, ..., приближающих число 1/3. Если каждому значению и из натурального ряда чисел 1, 2, ... ..., и, ... ставится в соответствие по определенному закону некоторое веи(ественное число х„, то множество занумерованных веи(ественных чисел хь хь - ха (3.1) мы и будем называть числовой по след ова тел ьно сть ю или и роста п о с л е д о в а т е л ь и о с т ь ю, Отдельные числа х„мы будем называть элементами или членами последовательности (3.1).

Для сокращенной записи последовательности (3.1) будем использовать символ (х,). 1'! Так, например, символ 1 — ! обозначает последовательность гР 1, 1/2з, 1/Зз, ..., 1/и', ..., а символ (1+( — 1)") обозначает последовательность О, 2, О, 2, .... ф 1. Последовательность и ее предел Рассмотрим наряду с последовательностью (3.1) еще одну последовательность уьух -,у» (3.2) Назовем последовательность х(+у(, хх+ух, ..., х»+у„... с у и м о й последовательностей (3.1) и (3.2), последовательность х! — Уь хх — уь ..., х» — у», ...— разнос ть ю последовательностей (3.1) и (3.2), последовательность х! у(, хх.уз, ..., х у, - — произведением последовательностей (3.1) и (3.2) и, наконец, последовательность —, —, ...,—, ...

— частным последохт хз л» Уз Уз У» вательностей (3.1) и (3.2). Конечно, прн определении частного последовательностей (3.1) н (3.2) необходимо требовать, чтобы все элементы последовательности (3.2) были отличны от нуля.

Заметим, однако, что если у последовательности (у„) обращается в нуль лишь конечное число (х»1 элементов, то частное ~ — ! можно определить с того номера, У» начиная с которого все элементы у отличны от нуля. 2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые н бесконечно большие последовательности. Совокупность всех элементов пронзвдльной последовательности (х ) образует некоторое числовое множество. Отправляясь от понятий ограниченного сверху, снизу нлн с обеих сторон множества, мы приходим к следующим определениям. Определение 1.

Характеристики

Список файлов книги