ilin1 (947407), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Следствие из те о р е м З.З и З.4. Произведение двух (и любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность. Теорем а 3.5. Если все элементье бесконечно малой последовательности (а,) равны одному и тому же числу с, то с=О. Доказательство. Допустим, что с~О.

Обозначим через е положительное число е=1с~. По определению бесконечно малой последовательности для указанного е= )с'1 найдется номер М такой, что ~1а 1<1с~ при всех п»И. Но неравенство ~а„)<~с! (в силу того, что все а» равны с) превращается в заведомо абсурдное неравенство 1с(<)с~. Следовательно, наше допущение сааб не имеет места, и теорема доказана. Т е о р е м а 3.6.

Если (х„) — бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера и, определено частное й 1. Последовательность и ее предел — двух последовательностей (1) * и (х ), которое представля- Я 1 ет собой бесконечно малую последовательность. Если все элел(енть( бесконечно малой последовательности (о ) отличны от нуля, то частное ~ — ~ двух последовательностей (Ц и (а„) представляет 1 и„ собой бесконечно большую последовательность. Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы.

Заметим, что у бесконечно большой последовательности (х ) лишь конечное число элементов может быть равно нулю. В самом деле, по определению. бесконечно большой последовательности для числа А = 1 найдется номер Л(* такой, что 1х„1 >А= 1 для всех п>й(е. Значит, при я~У* все элементы х„не обращаются в нуль, 1 и мы можем, начиная с номера У', рассматривать частное ~ — ) последовательностей (1) и (х,). Докажем, что это частное является бесконечно малой последовательностью.

Фиксируем произвольное положительное число е. По определению бесконечно большой 1 последовательности для положительного числа — найдется нов мер М (этот номер мы возьмем таким, чтобы он превосходил Л(*) 1 1 такой, что )х„~ > — при пай или, что то же самое, е хл 1 ' е при пъ..)т'. Это и означает, что последовательность 1хл ! 1 1 — является бесконечно малой. хл Для доказательства второй части теоремы предположим, что все элементы бесконечно малой последовательности (а,) отличны от нуля.

Фиксируем произвольное положительное число А. Так как (а ) является бесконечно малой последовательностью, то для 1 1 положительного числа — найдется номер Л( такой, что 1(х„! (— А А 1 1 1 при п~й( или, что то же самое, ~ — ~= — >А при пъ--*г). ссе !о„! ( 1 Это и означает, что последовательность 1 — 1 является бесконечно ав ! большой. Теорема доказана. 4.

Сходящиеся последовательности и их свойства. Введем фундаментальное понятие сходящейся последовательности и ее предела. Определение 1, Последовательность (х„) называется сходящейся ся, если существует такое вещественное число а, что последовательность (х„— а) является бесконечно малой. При этом ве- '.Символ (1) обозначает последовательность, все влеиенты которой равны 1. Гл. 3.

Теория пределов щественное число а называется пределом последовательности (х„) *. Если последовательность (х„) является сходящейся и имеет своим пределом число а, то символически это записывают так: 1пп х„= а или х„-т-а при п-~-оо. Используя определение бесконечно малой последовательности, мы приходим к другому определению сходящейся последовательности, эквивалентному определению 1. Определение 2. Последовательность (х„) назьсвается сходящейся, если существует такое вещественное число а, что для любого положительного вещественного числа е найдется номер У такой*е, что при всех п~М элементы х. этой последовательности удовлетворяют неравенству ~х — а) (е. (3.15) При этом число а называется пределом последовательности (х„).

Неравенство (3.15) можно записать в эквивалентной форме — е(х„— а(+з нлн, что то же самое, а — е(х,(а+е. (3.15') На геометрическом языке неравенства (3.15') означают, что элементы х„при п~й1 лежат в интервале (а — з, а+з), который мы договорились называть е-окрестностью точки а. Это позволяет сформулировать еще одно определение сходящейся последовательности, эквивалентное определениям 1 и 2. Определение 3.

Последовательность (х ) называется сход я щ е й с я, если существует такое число а, что в любой с-окрестности точки а находятся все элементы последовательности (хн), начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от е). Установим специальное представление для элементов любой сходящейся последовательности (х„). В силу определения 1 разность х„— а=а„является элементом бесконечно малой последовательности. Следовательно, элемент х, сходящейся последователь'ности, имеющей своим пределом вещественное число а, может быть представлен в следующем специальном виде: х„=а+а„ (3.16)' где а„— элемент некоторой бесконечно малой последовательности (а ). * В соответствии с этим опраделением всякая бесконечно малая последовательность является скодягдейся я имеет своим пределом число о=п. '* Так кек этот номер Н, вообгде говоря, ээвнсит от е, то иногда пиштгг дг=у(е).

$ 1. Последовательность и ее предел Замечание 1. Из определения сходящейся последовательности и ее предела сразу же вьгтекает, что удаление любого конечного числа элементов последовательности не влияет на сходимость этой последовательности и величину ее предела. Замечание 2.

Последовательности, не являющиеся сходящимися, принято называть ра сходя щ им и с я. Замечание 3. Иногда формально договариваются трактовать бесконечно большие последовательности как последовательности, сходящиеся к пределу оо. Такая формализация позволяет использовать для бесконечно большой последовательности (х„) следующую символику 1пп х„= оо.

аиФ Если при этом элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный (отрицательный) знак, то используют следующую символику'. 1пп х„= + оо (1 пи х„= — сои. а-а а а РФ В качестве примера докажем, что последовательность (х„) с влементами О,аа., 9 "Р сходится к пределу а=1/3. Фиксируем произнольное положительное число е и докажем возможность выбора по этому г такого но- 1 мера /т', что ~х„— — ~ е при всех и» й/. Так как число 1/3 представимо бесконечной десятичной дробью 0,333..., то из правила упорядочения вещественных чисел вытекают следующие нера.

венства: 0,33 ... 3 ~< — ч~ 0,33 ... 3 +— — з а раа а раа справедливые для любого номера и. а ° р .„,ю...,г,а „...„-ааа ..: а следующее соотношение: ~х„— — ! ׄ— ! ! Так как — ь, — для всех пъУ, то для нахождения по дан- 10" 10 1 ному в>0 номера 1т' такого, что ~х„— — ~(.е при всех п»М, 1 достаточно выбрать этот номер У из условия — ( е. 1он " Иными словами, 1нпх„=+ос(= — сс), если для любого А>0 найдетсн а аа отвечаюпгнй атому А номер У такой, что х„)А(х„~ — А) длн всех х)тт'. 78 Гл.

3. Теория пределов Напомним, что в п. 2 мы установили возможность выбора номера М из условия 1д)н<е для любого ~о~ <1. Там доказано, что такой номер 1т' можно взять равным В нашем случае ~д) =-О, 1, так что Перейдем к установлению свойств произвольных сходящихся последовательностей. Теорема 3.7. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что два вещественных числа а и Ь являются пределами сходящейся последовательности (хв). Тогда в силу специального представления элементов сходящейся последовательности (3.16) мы получим, что х„=а+а„и х =Ь+рв, где (а ) и (р ) — некоторые бесконечно малые последовательности. Из последних двух равенств получим, что а — 6 =Ь вЂ” а. В силу теоремы 3.2 последовательность (а — р ) является бесконечно малой, а в силу равенства аь — р„=Ь вЂ” а все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же ве1цественному числу Ь вЂ” а.

На основании теоремы 3.5 это число Ь вЂ” а равно нулю, т. е. Ь=а. Теорема доказана. Т е о р е м а 3.8. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (х„) — сходящаяся последовательность и а — ее предел. Фиксируем некоторое положительное число и и по нему номер 1ч' такой, что ~х„— а~ <епрнп~йили,что то же самое, а — е<х„<а+е при п)Ф. Обозначим через А наибольшее из следующих (ЬГ+1) чисел: )а — е), 1а+е), ~х,), (х,~, ..., !хн-1 ~. Тогда, очевидно, 1х„~ ~А для всех номеров п, а это и доказывает ограниченность последовательности (х ). Теорема доказана. Замечание 4.

Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, последовательность О, 1, О, 1, ..., О, 1, ... является ограниченной, но не является сходящейся. В самом деле, обозначим и-й член этой последовательности символом хв н предположим, что эта последовательность сходится к некоторому пределу а. Но тогда каждая из последовательностей (хвы — а) и (х„— а) являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно малой и разность этих последовательностей (х +,— хв), а этого быть не может в силу того, что ~х.+1 — х„~ = =1 для всех номеров и. $1.

Характеристики

Список файлов книги