ilin1 (947407), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Рассмотрим совокупность в-окрестностей точки х, для которых з последовательно равно 1 ! 1 2 3 В первой нз этих окрестностей выберем элемент последовательности хл, с некоторым номером яь во второй нз указанных окрестностей выберем элемент последовательности хь, с номером яв, удовлетворяющим условию кз>йь в третьей из указанных окрест- Гл, 3. Теория пределов настей выберем элемент последовательности хм с номером йм удовлетворяющим условию яв>йв ....

Этот процесс можно продолжать неограниченно, так как в любой е-окрестности точки х содержится бесконечно много элементов последовательности (х ). В результате мы получим подпоследовательность хьохм,хь„..., .хл„, ... последовательности (х ), которая сходится к пределу х, ибо (хь †х~< — . 1 и л 2) Предположим, что из последовательности (х ) можно выде,лить подпоследовательность, сходящуюся к пределу х. Тогда в любой е-окрестностн точки х лежит бесконечно много элементов подчтоследовательности (все, начиная с некоторого номера). Так как каждый элемент подпоследовательности является элементом и всей последовательности, то в любой е-окрестности х лежит бесконечно много элементов последовательности. Эквивалентность определений 1 и 2 доказана. Выясним вопрос о наличии предельных точек у сходящейся г!оследовательности.

Л е м м а 1. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности. Доказательство. Пусть последовательность (х„) сходится и пределу х. Тогда в любой в-окрестностн х лежит бесконечно иного элементов последовательности (х ) (все, начиная с некоторото номера), а поэтому х является предельной точкой последовательности (х„). Остается доказать, что ни одно число х', отличное от х, не является предельной точкой последовательности (х 1, но это непосредственно вытекает из доказанного выше утверждения 1, согласно которому из сходимости всей последовательности к пределу х вытекает сходимость любой ее подпоследовательности к тому же пределу х. Приведем пример ограниченной последовательности (х„), имеющей две предельные точки.

Докажем, что последовательность 1 1 1 1 1 1 —, 1 — —, —, 1 — —, ..., —, 1 — —, ... имеет только две 2 2 3 3 л и предельные точки х=О и х=1. Тот факт, что эти две точки х=О и х=1 являются предельными, вытекает из того, что подпоследовательность всех нечетных элементов рассматриваемой последовательности сходится к пределу х=О, а подпоследовательность всех четных элементов рассматриваемой последовательности сходится и пределу х= 1. Остается доказать, что ни одно число хр, отличное от О и 1, ве является предельной точкой нашей последовательности. Так как хоай и хоФ-1, то заведомо можно указать столь малое положительное число е, что е-окрестности трех точек О, 1 и х, не будут иметь общих точек (рис.

3.1). $ 3. Произвольные нослеловательностн й т Рнс. 3,! Но все нечетные элементы нашей последовательности, начиная с некоторого номера, находятся в е-окрестности числа О, а все четные элементы нашей последовательности, начиная с некоторого нон мера, находятся в е-окрестности числа 1. Поэтому за пределами е-окрестностей чисел 0 и 1 (н, в частности, в е-окрестностн числа хс) может лежать лишь конечное число элементов нашей последовательности.

Это и означает, что х, не является предельной точко!г последовательности. Приведем теперь пример ограниченной последовательности (х ), имеющей бесконечно много предельнсчх точек. Выше (в п. 3 5 7 гл. 2) мы установили, что множество всех рациональных чисел нз сегмента [О, 1] можно занумеровать в последовательность (х„). Докажем, что любое вещественное число х нз сегмента [О, 1] является предельной точкой указанной последовательности (х„). Заметим, что, каково бы ни было число х из сегмента [О, 1] для любого 0<в<1/2 хотя бы одно из двух чисел х — е и х+е также принадлежит сегменту [О, 1].

Предположим ради определенности, что число х+е принадлежит сегменту [О, 1]. Между двумя не равными друг другу вещественными числами х и х+е, в силу леммы 2 $ 3 гл. 2, лежит бесконечно много различных рациональных чисел, Это означает, что при любом 0<в<1/2 в е-окрестности точки х лежит бесконечно много элементов последовательности (х„), т.

е. х является пределыюй точкой этой последовательности. Естественно, возникает идея рассмотрення наибольшей и наименьшей предельных точек последовательности. О п р е де лен не 3. Наибольшая предельная точка последовательности (х„) называется ее р хи им пределом этой последовательности и обозначается символом х=1ппх„. н о О п р е де л е н и е 4. Наименьшая предельная точка последоеательности (х„) называется нижним пределом этой последовательности и обозначается символом х = 1пп хн.

и-~ Возникает вопрос о существовании хотя бы одной предельной точки и верхнего и нижнего пределов у любой ограниченной последовательности. Гл. 3. Теория пределов Справедлива следующая замечательная теорема. Оси о в н а я теорема 3.16. У всякой ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы и, в. частности, существует хотя бы одна предельная гочка. Доказательство.

Остановимся на доказательстве существования у любой ограниченной последовательности хотя бы одной предельной точки и верхнего предела. (Существование нижнего предела доказывается аналогична.) Пусть (х,) — произвольная ограниченная последовательность. По условию ограниченности найдутся два вещественных числа т и М такие, что любой элемент х„последовательности (х„) удовлетворяет неравенствам и (х <М. Рассмотрим множество (х) всех вещественных чисел х таких, что правее* каждого из этих чисел либо вовсе пет элементов последовательности (х„), либо таких элементов лишь конечное число.

Иными словами, вещественное число х принадлежит множеству (х), если правее х лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х ), и не принадлежит множеству (х), если правее этого числа х лежит бесконечно много элементов последовательности (х„). Заметим, что множество (х) заведомо не является пустым: ему принадлежит любое вещественное число х, удовлетворяющеенеравенству х~М (ибо правее такого х нет элементов последовательности (х„) ).

Кроме того, очевидно, что множество (х) ограничено снизу и в качестве его нижней грани может быть взято любое число, меньшее тп (правее такого числа лежат все элементы последовательности (х„), а нх бесконечно много). По основной теореме 2.1 гл. 2 у множества (х) сушествует точная нижняя грань, которую мы обозначим символом х. Докажем, что это число х=1п((х) и является верхним пределом последовательности (х ). Достаточно доказать два утверждения: 1'.

Число х является предельной точкой последовательности (х„) (т. е. в любой е-окрестности х лежит бесконечно много элементов последовательности (х )). 2'. Нн одно число х, большее х, уже не является предельной точкой последовательности (х„) (это и будет означать, что х является наибольшей предельной точкой, т. е. верхним пределом (х,)). Для доказательства утверждения 1' фиксируем произвольное положительное число е. По определению нижней грани любое число, меньшее х (и, в частности, число х — е), ве принадлежит введенному нами множеству (х), Значит, правее х — е лежит бесконечно много элементов последовательности (х ).

* Напомним, что термин «у лежит правее х» означает, что числа х и у связаяы неравенством у)х. $3. Произвольные последовательности 97 Далее, из того, что число х является точной нижней гранью (х), и из неравенства х<х+в вытекает, что найдется хотя бы один элемент х' множества (х), удовлетворяющий неравенствам х~х'< <х+в, т. е. лежащий левее х+е (рнс, 3.2). В силу определения множества (х) правее этого числа х' лежит не более чем конечное числа элементов последовательности (х ).

На рис. 3.2 условно указано, что правее числа х — з лежит бесконечно много элементов последовательности (х„), а правее числа х' лежит не более чем конечное число элементов этой последовательности. Бвсллллелле еослл ллелтееаФ лллеелле елслл делателей л'-е х х е=х-г Х хее Е Е Е и Рис. 3.3 Рис. ЗД Так как правее х — е лежит бесконечно много, а правее х'— лишь конечное число элементов последовательности (х„), то мы приходим к выводу, что на полусегменте (х — з, х') (а значит, н на интервале (х — и, х+е)) лежит бесконечно много элементов последовательности (х ). Итак, мы доказали, что для любого е>0 в з-окрестности точки х лежит бесконечно много элементов последовательности (х,).

Характеристики

Список файлов книги