ilin1 (947407), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Иными словами, приходится предугадывать величину предела а этой последовательности. В этом пункте мы установим «внутренний» критерий сходимости последовательности, позволяющий сделать заключение о ее сходи- мости лишь по величине ее элементов и не использующий величины предполагаемого предела этой последовательности. Для установления такого критерия введем понятие фундаментальной последовательности.

Определение. Последовательность (х ) называется фунд а м е н та л ь и о й, если для любого положительного числа в найдется номер У такой, что для всех номеров п, удовлетворяющих условию п»У, и для любого натурального р (р=1, 2,...) справедливо неравенство )х„+р — х„1 <е. Установим два важных свойства л ю бой фундаментальной последовательности. С в о й с т в о 1.

Для любого положительного числа в найдется элемент фундаментальной последовательности хн такой, что в а-окрестности этого элемента хи находятся все элементы х„этой последовательности с номерами и, удовлетворяющими условию п»У. Другими словами, для любого е>0 найдется элемент фундаментальной последовательности хи, вне е-окрестности которого лежит не более чем конечное число элементов этой последовательности. Для доказательства этого свойства следует фиксировать произвольное положительное число е и взять в определении фундаментальной последовательности номер и равным У.

Мы получим при этом, что для любого натурального р (р= 1, 2,...) элементы фундаментальной последовательности удовлетворяют неравенству ~ хи+ р — хи, ( < е или, что то же самое, неравенству хн — е < хи+ р < хи+ е. ' Огюстен Лук Коши — фраккузскка математик 11789 — 1857). $ 3. Произвольные иослеловательиости Так как р — любое натуральное число, то последние неравенства и означают, что все элементы фундаментальной последовательности, номер которых не меньше У, находятся в интервале (хл — г, хн+г), т.

е. в е-окрестности хн. Свойство 1 доказано. С в о й с т в о 2. Фундаментальная последовательность является ограниченной. Д о к а з а телье тв о. Фиксируем некоторое е)0. Так как последовательность (х„) является фундаментальной, то для этого у (в силу свойства 1) найдется элемент хн такой, что все элементы х„с номерами и) У удовлетворяют неравенству хн — е(х„<хи+~а. Обозначим теперь через А наибольшее из следующих (У+11 чисел: (хз), (хз(, ..., )хн з(, )хн — г1, )хн+е). Тогда, очевидно„длЯ всех номеров и будет справедливо неравенство ~хо( (А, которое и означает ограниченность последовательности (х ). Свойство 2 доказано. Докажем теперь следующую вспомогательную теорему. Т е о р е м а 3.17. Для того чтобьз последовательность (х„) была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и ее верхний и нижний пределы х и х совпадали между собой.

До к аз а тел ьс тв о. 1) Необходимость. Пусть последовательность (х„) сходится. Тогда она ограничена (в силу теоремы 3,8) и имеет единственную предельную точку (в силу леммы 1 из п, 1 этого параграфа). Это и означает, что ее верхний и нижний пределы х и х совпадают между собой. 2) Достаточность. Пусть последовательность (х„) ограничена (при этом она в силу теоремы 3.16 имеет верхний предел х и 'нижний предел х), и пусть х=х, Положим х=х=х. В силуследствия 1 из теоремы 3.16 для любого г>0 в интервале (х — г, х+г)' лежат элементы последовательности (х ), начиная с некоторого номера. В силу определения 3 сходящейся последовательности (см.

и. 4 $1) это и означает, что последовательность (х„) сходится к пределу х. Теорема 3.17 доказана. Докажем теперь следующую важнейшую теорему. Основная теорема 3.18 (критерий Коши сходи- мости последовательности). Для того чтобы последовательность (х„) была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Необходимость. Пусть последовательность (х„) сходится к некоторому пределу х. Докажем, что эта последовательность является фундаментальной. Фиксируем произвольное положительное число и.

Так как последовательность (х„) сходится к пределу х, то для положительного числа г/2 найдется номер Лт такой, что при всех и~ у 104 Гл. 3. Теория пределов ~х„— х~ <е/2. (3.54) Если р — любое натуральное число, то при всех пъй/ и подавно будет справедливо неравенство ~х +я — х~ <е/2 (3.55) (ибо при пъ.й/ заведомо будет справедливо неравенство и+ръ/у).

Так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей, то из неравенств (3.54) и (3.55) мы получим, что при всех п>й/ и для любого натурального р ~ха+и Хл ) = ~ [Хя» р Х) + (Х Ха) ~ ~ 1хп+я Х~ + ~ Хп Х ) (Е а это и означает фундаментальность последовательности (х ). 2) Достаточность. Пусть последовательность (х ) является фундаментальной. Требуется доказать, что эта последовательность является сходящейся.

В силу теоремы 3.17 достаточно доказать, что последовательность (х„) ограничена и что ее верхний и нижний пределы х и х совпадают между собой. Ограниченность любой фундаментальной последовательности уже установлена нами выше (см. свойство 2). Остается доказать, что для любой фундаментальной последовательности (х„) верхний предел х и нижний предел х совпадают. Фиксируем произвольное положительное число е.

В силу свойства 1 фундаментальной последовательности найдется элемент этой последовательности хн такой, что вне е-окрестности этого элемента, т. е. вне интервала (хн — е, хи+и) лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х ). Но тогда в силу следствия 2 из теоремы 3.16 'интервал (х, х) обязан содержаться в интервале (хь — е, хм+а) и, в частности, должно быть справедливо неравенство х — х( (хи+в) — (хн — е) =2е.

Так как, кроме того, х~х, то для любого з>0 будут справедливы неравенства 0<х — х~2е. В силу произвольности е из этих неравенств вытекает, что х — х=0 е, т. е. х=х. Критерий Коши полностью доказан. Применим критерий Коши для установления р а с х о д и м о с т и 1 1 последовательности (х ) с элементами х„ = 1 + — + ... + — . 2 и Заметим, что если для любого номера п натуральное число р взять равным и, то мы получим, что для всех номеров п 1Х„». — х 1 = 1хз„— х„~ = (1+ — + ...

+ — )— 1 1 ь В самом деле, если бы разность х — х равнялась положительному числу а, то, взяв а качестве з число а/3, мы бы получили противоречие с неравенством х — хз-2а 4 4. Предел функции 1 1 ! 1 1 1 — (.1+ — + ... + — ' = — + — +... + — > 2 и у и+1 и+2 2и 1 1 Р-и 2н 2 ибо подчеркнутая сумма содержит и слагаемых, наименьшее из 1 которых равно 2и 1 Таким образом, для положительного числа е= — не сущест- 2 вует номера М такого, что прн всех и) Л! и для любого натураль. ного р справедливо неравенство !х,+р — х ~ <е.

Это означает, что рассматриваемая последовательность не является фундаментальной н (в силу критерия Коши) расходится. В качестве второго примера применим критерий Коши для установления сходимости последовательности (х„) с элементами х„ =1+д+ ... +4!н, где д — любое число из интервала 0<д<1. Для любого номера и и любого натурального числа р (р=- = 1, 2,...) справедливо неравенство (х„» — х„~ = (1 + д+ ... + г(+р) (1+ д + .... + д") = 1 — 'ч ! —,1' Фиксируем произвольное положительное, число е.

Так как при 0<д<1 последовательность (7н) является бесконечно малой, то для положительного числа е(1 — д) найдется номер !к" такой, что при всех и:з.й! справедливо неравенство д" <е(1 — д). (3.57) Из неравенств (3.56) и (3.57) вытекает, что при всех и~У н для любого натурального р ~х„+ — х„~< е(1 — 4) =е, ! †а зто означает, что рассматриваемая последовательность является фундам=нтальной и (в силу критерия Коши) сходится.

й 4. ПРЕДЕЛ (ИЛИ ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ) функции Перейдем теперь к изучению другой более сложной формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела (или пределеного значения) функции. Но прежде всего мы должны уточнить сам! понятия переменной величины и функции. 1, Понятия переменной величины и функции. Как мы уже видели в гл. 1, к понятию функции приводит изучение'двух перемен- 1Об Гл. 3. Теория пределов ных величин, изменение которых взаимообусловлено. Поэтому естественно начать с уточнения понятия переменной величины. Рассмотрение реальных физических переменных величин приводит нас к выводу, что эти величины не всегда могут принимать произвольные значения. Так, скорость материальной точки не может быть больше 3 !01а см/с (т.

е. скорости света в пустоте), температура тела не может быть меньше — 273', смещение материальной точки, совершающей гармонические колебания по закону у=А соз(ой+б), может принимать значения только из сегмента ( — А, +А). Отвлекаясь от конкретных физических свойств наблюдаемых в природе переменных величин, мы приходим к понятию м а тем атической переменной велич ивы, характеризуемой только численными значениями, которые она может принимать *.

Характеристики

Список файлов книги