ilin1 (947407), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Это и означает, что х является предельной точкой последовательности (х ). Утверждение 1' доказано. Подчеркнем, что попутно мы доказали, что для любого в>0 правее числа х+в лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„). Это последнее утверждение используем для доказательства утверждения 2' о том, что х является наибольшей предельной точкой.

Пусть х — любое число, большее х. Обозначим через е голожитсльное число е= (х — х)/2. При таком выборе е интервалы (х — в, х+е) и (х — е, х+в), т, е, в-окрестности точек х и х, не будут иметь общих точек, а точнее, вся в-окрестность точки х будет лежать правее числа х+в, т. е. правой границы и-окрестности точки х (рис. 3.3).

Выше мы установили, что для любого з>0 правее х+е лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„). Значит, в рассматриваемой нами в-окрестности точки х лежит ие более чем конечное число элементов последовательности (х ), а это и означает, что х не является предельной точкой последовательности (х„). Утверждение 2' доказано. 4 зак. Ул 98 Гл. 3. Теория пределов Мы доказали существование у ограниченной последовательности (х„) верхнего предела (т. е.

наибольшей предельной точки). Совершенно аналогично доказывается, что у такой последовательности существует нижний предел, являющийся точной верхней гранью того множества вещественных чисел (х), левее каждого из которых лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„). Теорема 3.16 доказана. С лед с та не 1 из теоремы 3.16.

Если (х„) — ограниченная последовательность, х и х — ее нижний и верхний пределы, и — любое положительное число, то на интервале (х — в, х+в) лежат все элементы этой последовательности; начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, ог в). Достаточно доказать, что для любого е>0 вне интервала (х — е, х+е) лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„). Тем более достаточно доказать, что правее е е х+ — и левее х — — лежит не более чем конечное число элемен- 2 — 2 тов последовательности (х„).

Тот факт, что для любого в>0 правее ге х+ — лежит не более чем конечное число элементов (х ), уже 2 установлен в процессе доказательства теоремы 3.16. Совершенно е аналогично доказывается, что для любого в>0 левее х — — лежит — 2 не более чем конечное число элементов последовательности (х ), След с т в не 2 из теорем ы 316. Луста (х„) — ограниченная последовательность, х и х — ее нижний и верхний пределы, (а, Ь) — интервал, вне которого лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„). Тогда интервал (х, х) содержится в интервале (а, Ь) и, в частности, х — х«Ь — а.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать два неравенства х«Ь и а«х. Первое из этих неравенств вытекает из того, что точка Ь, правее которой лежит не более чем конечное число элементов последовательности (х„), принадлежит множеству (х), рассмотренному при доказательстве теоремы 3.16, а х является точной нижней гранью этого множества. Второе неравенство а«х устанавливается аналогично.

Следствие 3 из теоремы 3.16 (теорема Больцан о — В е й е р ш т р а се а *). Из всякой ограниченной' последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательносгь. Эта теорема является непосредственным следствием теоремы 3.16 и определения 2 предельной точки. Теорема 3.16 проливает свет на то, как устроено множество всех предельных точек любой ограниченной последовательности. ' Бернгард Болнцано — чешский философ и математик (178! — 1848), Карл Бейерш грасс — немецкий математик (18!5 — 1897). $3.

Произвольные последовательности Если, как и выше, обозначить через х и х нижний и верхний пределы этой последовательности, то можно утверждать, что все ее предельные точки лежат на сегменте (х, х), причем если указанная последовательность не является сходящейся, то она имеет по крайней мере две предельные точки х и х. Рассмотренная нами 1 1 1 1 1 выше последовательность —,1 — —, —, 1 — —, ..., —,1— 2 2 ' 3 3 и — — представляет собой пример последовательности, имею- 1 и щей только две предельные точки х=О и х=1.

Другая рассмотренная выше последовательность (х ), содержащая все рациональные числа из сегмента (О, 1), представляет собой пример последовательности, предельные точки которой покрывают весь сегмент 1х, х), у которого х=О, х= 1. Легко построить пример последовательности, предельными точками которой служат; 1) наперед заданное конечное множество точек аь аз,..., ал; 2) наперед взятая бесконечная последовательность точек а,, аа,..., а„,...

* (во втором случае каждая предельная точка последовательности предельных точек (а„) будет являться предельной точкой исходной последовательности (х )). 2. Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов. Аналогом теоремы Вольцано — Вейерштрасса для неогранвченной последовательности является следующее утверждение. Л е м м а 2. Оз всякой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательносгь (и, в частности, бесконечно большую подпоследовательносгь, все элементы которой имеют определенный знак).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что если у неограниченной последовательности отбросить любое конечное число первых ее элементов, то после такого отбрасывания получится снова неограниченная последовательность "'*. Пусть (х„) — произвольная неограниченная последовательность. Тогда найдется элемент ха, этой последовательности, удовлетворяющий неравенству !ха,~ ) 1, Учитывая, что последовательность (х„), рассматриваемая с номера й~+1, также является неограниченной, мы получим, что найдется элемент этой последовательности ха„ удовлетворяющий неравенству ~хи ~ ) 2 при яа>йь Продолжая эти рассуждения далее, мы получим, что для любого номера и найдется элемент ха„, удовлетворяюший неравенству 1ха ~ ) п при й„>й„ь * Таковой является последовательность а„ах, о„о,, о„аа, ....

" Ибо предположение о том, что это не так, приводит к противоречию с требованием неограниченности исходной последовательности. Гл. 3. Теория пределов 100 Очевидно, что построенная нами подпоследовательность ха„ ха„...,ха„, ... является бесконечно большой.

Замечая, что эта подпоследовательность заведомо содержит бесконечно много либо положительных, либо отрицательных членов, мы может выделить из нее бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определенный знак. Лемма доказана. Из леммы 2 и из теоремы Больцано — Вейерштрасса вытекает следующее утверждение.

Л е м м а 3. Из совершенно произвольной последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определенный знак. Лемма 3 естественно приводит к идее расширения понятия предельной точки последовательности. Договоримся формально дополнить введенные выше конечные предельные точки последовательности еще двумя возможными предельными точками +оо и Будем говорить, что + оо ( — оо) является предельной точкой последовательности (х„), если из этой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой положительны (отрицательны), При таком расширении понятия предельной точки из леммы 3 вытекает следующее утверждение: у совершенно произвольной последовательности существует хотя бьч одна предельная точка е.

Естественно, считая, что + со и — оо связаны с любым конечным вещественным числом х соотношением —.оо(х(+со, убедимся в том, что у совершенно произвольной последовательности (х„) существуют верхний и нижний пределье (т. е. существу'от наибольшая и наименьшая предельные точки).' Ради определенности остановимся на доказательстве существования верхнего предела.

В силу теоремы Зйб достаточно рассмотреть лишь случай, когда последовательность (х„) н е я в л я е т с я о г р а н и ч е н н о й. Если при этом последовательность (х ) не является ограниченной сверху, то из нее можно выделить бесконечно большую последовательность, все элементы которой положительны, и поэтому '+ оо является предельной точкой, а значит, и верхним пределом последовательности (х,). Остается рассмотреть случай, когда неограниченная последовательность (х,) является ограниченной сверху, т.

е. когда существует вещественное число М такое, что все элементы х последовательности удовлетворяют неравенству х„ (М. Так как прн этом последовательность (х,) не является ограниченной снизу, то нз нее можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, а Либо конечная, либо равная +ее или †. а 3. Прои»вольные последовательности все элементы которой отрицательны, т. е.

— оо является предель« ной точкой такой последовательности. Если при этом указанная последовательность (х„) не имеет ни одной конечной предельной точки, то единственная предельная точка — о и является верхним пределом этой последовательности. Если же при этом у указанной последовательности есть хотя бы одна конечная предельная точка хэ, то, фиксировав некоторое в>0, мы выделим из этой последовательности подпоследовательность тех ее элементов х, которые удовлетворяют неравенствам е хэ — в<ха ~М. Выделенная подпоследовательность ограничена, и по теореме 3.16 у нее существует наибольшая предельная точка, которая является наибольшей предельной точкой (т. е.

верхним пределом)' и всей последовательности (х ). Существование у совершенно произвольной последовательности верхнего предела доказано. Аналогично доказывается, что у совершенно произвольной последовательности существует нижний предел. В заключение заметим, что почти все понятия и утверждения, установленные нами в этом и в предыдущем пунктах, переносятся на случай и р о и з в о л ь н о г о числового множества (х), имеющего бесконечное число элементов. Точку а бесконемной прямой ( — оо, + со) назовем предельной точкой такого множества, если в любой е-окрестности точки а содержится бесконечно много элементов этого множества.

Наибольшую и наименьшую предельные точки множества (х) назовем соответственно верхней и нижней предельным н точ к а м и этого множества. Повторяя рассуждения теоремы 3.16 с заменой термина «последовательность (х„)» термином «множество (х), содержащее бесконечное число элементов>, мы придем к следующему утверждению: у всякого ограниченного множества (х), имеющего бесконечное число элементов, существуют верхняя и нижняя предельные точки (и, в частности, существует хотя бы одна предельная точка). Из этого утверждения вытекает следующее обобщение теоремы Больцано — Вейерштрасса: из элементов всякого ограни ченного множества (х), имеющего бесконечное число элементов, можно выделить сходящуюся подпоследовательность еэ.

Как и для случая последовательности, удобно расширить понятие предельной точки и считать, что + оо 1 в оо) является и р едел ьной точкой множества (х), если из элементов этого мно- ' Заметим, что ха(М, ибо все элементы х„последовательности (х ) удовлетворяют неравенству х„<М.

Далее эаметнм, что в силу того, что хэ— предельная точка, существует бесконечно много элементов х„ последовательности (х ), удовлетворяющих неравенству ха — е~х„(М. Любые два элемента иоторой являются различными элементами множества (х). 102 Гл. 3. Теория пределов жества можно выделить бесконечно болыиую последовательность, состоящую из положительных (стриг)ательных) чисел. Эта формализация позволяет нам утверждать, что у совергиеиио произвольного числового множества (х), имеющего бесконечное число элементов, существуют хотя бы одна предельная точка, а также верхняя и нижняя предельные точки. 3. Критерий Коши* сходимости последовательности. При изучении вопроса о сходимости последовательности (х„) с помощью определения сходящейся последовательности приходится оценивать разность х — а элементов последовательности и ее предполагаемого предела а.

Характеристики

Список файлов книги